1、第八章解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线方程微知识 小题练微考点 大课堂微考场 新提升微专题 巧突破2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；2.掌握确定直线位置的几何要素；3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系。2014，四川卷，14,5 分(最值问题)2014，福建卷，3,5 分(求直线的方程)2014，安徽卷，2,5 分(直线的倾斜角)直线是解析几何中最基本的内容，对直线的考查一是在选择题、填空题中考查直线的倾斜角、斜率、直线的方程等基本知识，二是在解答题中与圆、椭圆、
2、双曲线、抛物线等知识进行综合考查。微知识 小题练 教材回扣 基础自测自|主|排|查1直线的倾斜角(1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线l之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角。当直线 l 与 x 轴时，规定它的倾斜角为 0。(2)范围：直线 l 倾斜角的范围是。0，)向上方向平行或重合2直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角 不是 90，则斜率 k。(2)计算公式：若由 A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于 x 轴，则 k。tany2y1x2x13直线方程的五种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率 k 与点(x0，y0)不含直线 xx0斜截式斜率
3、 k 与截距 b不含垂直于 x 轴的直线两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)不含直线 xx1(x1x2)和直线 yy1(y1y2)yy0k(xx0)ykxb yy1y2y1 xx1x2x1截距式截距 a 与 b 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用xayb1AxByC0(A2B20)微点提醒1斜率的求解可以通过过两点的直线的斜率公式，也可以通过求倾斜角的正切值来实现。2对于直线的五种形式，一定要理解其结构特点及适用范围。3直线的点斜式、斜截式是最常用的形式，点斜式重在突出斜率与定点，斜截式主要体现斜率及在 y 轴上的截距，都具有非常鲜明的几何特点。小|题|快|练
4、一、走进教材 1(必修 2P100 练习 T3 改编)直线 l：xsin30ycos15010 的斜率是()A.33B.3C 3D33【解析】设直线 l 的斜率为 k，则 ksin30cos15033。故选 A。【答案】A2(必修 2P100A 组 T3 改编)已知点 A(1,2)，B(3,1)，则线段 AB 的垂直平分线方程为()A4x2y50 B4x2y50Cx2y50 Dx2y50【解析】线段 AB 的中点坐标为2，32，kAB123112，则线段AB 的垂直平分线的斜率为 2，且过点2，32，故线段 AB 的垂直平分线方程为 y322(x2)，即 4x2y50。故选 B。【答案】B二、
5、双基查验1过点 M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为()A1 B4C1 或 3 D1 或 4【解析】显然 m2，由 14mm2，得 m24m，m1。故选 A。【答案】A2直线 x 3ym0(mR)的倾斜角为()A30 B60C150 D120【解析】由 ktan33，0，180)得 150。故选 C。【答案】C3已知直线 l 过点 P(2,5)，且斜率为34，则直线 l 的方程为()A3x4y140 B3x4y140C4x3y140 D4x3y140【解析】由 y534(x2)，得 3x4y140。故选 A。【答案】A4若点 A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三
6、点共线，则 a 的值为_。【解析】kAC53641，kABa354a3。由于 A，B，C 三点共线，所以 a31，即 a4。【答案】45过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12 的直线方程是_。【解析】由题设知截距不为 0，设直线方程为xay12a1，又直线过点(3,4)，从而3a 412a1，解得 a4 或 a9。故所求直线方程为 4xy160 或 x3y90。【答案】4xy160 或 x3y90微考点 大课堂 考点例析 对点微练考点一直线的倾斜角与斜率母题发散【典例 1】(1)直线 2xcosy306，3的倾斜角的取值范围是()A.6，3 B.4，3C.4，2D.4，23(2)直线
7、 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为_。【解析】(1)直线 2xcosy30 的斜率 k2cos，因为 6，3，所以12cos32，因此 k2cos1，3。设直线的倾斜角为，则有 tan1，3。又 0，)，所以 4，3，即倾斜角的取值范围是4，3。(2)如图，kAP10211，kBP3001 3，k(，31，)。【答案】(1)B(2)(，31，)【母题变式】1.若将本典例(2)中“P(1,0)”改为“P(1,0)”，其他条件不变，求直线 l 斜率的取值范围。【解析】如图，P(1,0)，A(2,1)，B(0，3)，kAP1
8、02113，kBP3001 3。所以，直线 l 斜率的取值范围为13，3。【答案】13，32若将本典例(2)中的 B 点坐标改为 B(2，1)，其他条件不变，求直线 l 倾斜角的范围。【解析】如图：直线 PA 的倾斜角为 45，直线 PB 的倾斜角为 135，由图象知 l 的倾斜角的范围为0，45135，180)。【答案】0，45135，180)反思归纳 直线倾斜角的范围是0，)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，2 与2，两种情况讨论。由正切函数图象可以看出，当 0，2 时，斜率 k0，)；当 2时，斜率不存在；当 2，时，斜率 k(，0)。【拓展变式】
9、已知实数 x，y 满足 2xy8，当 2x3 时，则yx的最大值为_；最小值为_。【解析】如图，设点 P(x，y)，因为 x，y 满足 2xy8，且 2x3，所以点 P(x，y)在线段 AB 上移动，并且 A，B 两点的坐标分别是(2,4)，(3,2)。因为yx的几何意义是直线 OP 的斜率，且 kOA2，kOB23，所以yx的最大值为 2，最小值为23。【答案】2 23考点二求直线的方程【典例 2】(1)求过点 A(1,3)，斜率是直线 y4x 的斜率的13的直线方程。(2)求经过点 A(5,2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的 2 倍的直线方程。【解析】(1)设所求直线的斜率为
10、 k，依题意 k41343。又直线经过点 A(1,3)，因此所求直线方程为 y343(x1)，即 4x3y130。(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x2aya1，将(5,2)代入所设方程，解得 a12，所以直线方程为 x2y10；当直线过原点时，设直线方程为 ykx，则5k2，解得 k25，所以直线方程为 y25x，即 2x5y0。故所求直线方程为 2x5y0 或 x2y10。【答案】(1)4x3y130(2)2x5y0 或 x2y10反思归纳 1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件。2对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜
11、率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)。【变式训练】已知直线 l 过(2,1)，(m,3)两点，则直线 l 的方程为_。【解析】当 m2 时，直线 l 的方程为 x2；当 m2 时，直线 l 的方程为y131x2m2，即 2x(m2)ym60。因为 m2 时，代入方程 2x(m2)ym60，即为 x2，所以直线 l 的方程为 2x(m2)ym60。【答案】2x(m2)ym60考点三直线方程的应用多维探究角度一：与不等式相结合的最值【典例 3】(2015福建高考)若直线xayb1(a0，b0)过点(1,1)，则ab 的最小值等于()A2 B3C4 D5【解析】将(1,1)代入直线xa
12、yb1 得1a1b1，a0，b0，故 ab(ab)1a1b 2baab224，等号当且仅当 ab 时取到，故 ab 的最小值为 4。故选 C。【答案】C角度二：与函数相结合的最值【典例 4】(2016北京高考)已知 A(2,5)，B(4,1)。若点 P(x，y)在线段 AB 上，则 2xy 的最大值为()A1 B3C7 D8【解析】依题意得 kAB51242，线段 lAB：y12(x4)，x2,4，即 y2x9，x2,4，故 2xy2x(2x9)4x9，x2,4。设 h(x)4x9，易知 h(x)4x9 在2,4上单调递增，故当 x4 时，h(x)max4497。故选 C。【答案】C角度三：与
13、圆相结合的直线方程问题【典例 5】(2016运城二模)已知圆(x2)2(y1)216 的一条直径通过直线 x2y30 被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为()A3xy50 Bx2y0Cx2y40 D2xy30【解析】直线 x2y30 的斜率为12，已知圆的圆心坐标为(2，1)，该直径所在直线的斜率为2，所以该直径所在的直线方程为 y12(x2)，即 2xy30。故选 D。【答案】D反思归纳 与直线有关的最值问题的解题思路1借助直线方程，用 y 表示 x 或用 x 表示 y。2将问题转化成关于 x(或 y)的函数。3利用函数的单调性或基本不等式求最值。微考场 新提升考题选萃 随堂自测1如图
14、中的直线 l1，l2，l3 的斜率分别为 k1，k2，k3，则()Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2解析 直线 l1 的倾斜角 1 是钝角，故 k13，所以 0k3k2，因此 k1k3k2,故选 D。答案 D2(2017太原模拟)已知直线 l 的斜率为 1，在 y 轴上截距为另一条直线 x2y40 的斜率的倒数，则直线 l 的方程为()Ayx2 Byx2Cyx12Dyx2解析 因为 x2y40 的斜率为12，所以直线 l 在 y 轴上的截距为2，所以直线 l 的方程为 yx2。故选 A。答案 A3(2016海淀统考)若直线 l 经过点 A(1,2)，且在 x 轴上的截距的
15、取值范围是(3,3)，则其斜率的取值范围是()A1k1 或 k12C.15k12或 k1解析 设直线的斜率为 k，则直线方程为 y2k(x1)，直线在 x轴上的截距为 12k，令312k12或 k0)。联立ykx，y2x，得 P2kk，2k，Q2kk，2k。|PQ|2kk 2kk2 2k 2k28k8k 164。当且仅当8k8k，即 k1 时取等号。答案 4微专题 巧突破 冲击名校 自主阅读妙用斜率公式经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为 kP1P2y2y1x2x1。对所给的数学表达式适当变形，化成其直线斜率的形式，利用数形结合来解决问题，是斜率公式的
16、一个应用。1比较大小对于函数 f(x)图象上的两点(a，f(a)，(b，f(b)，比较faa 与fbb 的大小时，可转化为这两点与原点连线的斜率来比较大小。【典例 1】已知函数 f(x)log2(x1)，且 abc0，则faa，fbb，fcc 的大小关系为_。【解析】作出函数 f(x)log2(x1)的大致图象，如图所示，可知当x0 时，曲线上各点与原点连线的斜率随 x 的增大而减小，因为 abc0，所以faa fbb fcc。【答案】faa fbb fcc【变式训练 1】已知 a，b，m(0，)，且 ab，试比较ambm与ab的大小。【解析】如图所示，设点 P，M 的坐标分别为(b，a)，(
17、m，m)。因为 0a0，所以点 M 在第三象限，且在直线 yx 上。连接 OP，PM，则 kOPab，kMPambm。因为直线 MP 的倾斜角大于直线 OP 的倾斜角，且两条直线的倾斜角都是锐角，所以 kMPkOP，即ambmab。【答案】ambmab2求最值对于求形如 ky2y1x2x1，ycdxabx的最值问题，可利用定点与动点的相对位置，转化为求直线斜率的范围，借助数形结合进行求解。【典例 2】已知实数 x，y 满足 yx22x2(1x1)，试求y3x2的最大值和最小值。【解析】如图，作出 yx22x2(1x1)的图象曲线段 AB，则y3x2表示定点 P(2，3)和曲线段AB 上任一点(x，y)的连线的斜率 k，连接 PA，PB，则kPAkkPB。易得 A(1,1)，B(1,5)，所以 kPA131243，kPB53128，所以43k8，故y3x2的最大值是 8，最小值是43。【变式训练 2】已知 M(m，n)为圆 C：x2y24x14y450 上任意一点，求n3m2的最值。【解析】圆 C 的圆心为 C(2,7)，半径 r2 2，n3m2表示(m，n)与(2,3)连线的斜率，设过(2,3)的直线方程为 y3k(x2)，所以|2k72k3|1k22 2。可得 2 3k2 3，所以n3m2的最大值为 2 3，最小值为 2 3。【答案】最大值为 2 3，最小值为 2 3