1、第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 第2课时 等式性质与不等式性质 学 习 目 标核 心 素 养 1.掌握不等式的性质(重点)2能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明(难点)3通过类比等式与不等式的性质，探索两者之间的共性与差异.1.通过不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理能力2借助不等式性质求范围问题，提升数学运算素养.情 景 导 学 探 新 知 在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表示这一现象 问题：你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？提示：糖水变甜这一现象对应的不等式为abacbc，其中 ab，c0.1等式的性质(1)
2、性质 1：如果 ab，那么 ba；(2)性质 2：如果 ab，bc，那么 ac；(3)性质 3：如果 ab，那么 acbc；(4)性质 4：如果 ab，那么 acbc；(5)性质 5：如果 ab，c0，那么acbc.2不等式的基本性质(1)性质 1：ab.(2)性质 2：ab，bc.(3)性质 3：ab.(4)性质 4：ab，c0；ab，c0.(5)性质 5：ab，cd.(6)性质 6：ab0，cd0.(7)性质 7：ab0baacacbcacbcacbcacbdacbdanbn(nN，n2)1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若 ab，则 acbc 一定成立()(2)若 acbd，
3、则 ab，cd.()提示(1)错误由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此若 ab，则 acbc 不一定成立(2)错误取 a4，c5，b6，d2.满足 acbd，但不满足 ab.答案(1)(2)2若ab，cd，则下列不等关系中不一定成立的是()Aabdc BadbcCacbcDacadB 根据不等式的性质3与 ab 等价的不等式是()A|a|b|Ba2b2C.ab1Da3b3D 可利用赋值法令 a5，b0，则 A、B 正确而不满足ab.再令 a3，b1，则 C 正确而不满足 ab，故选 D.4用不等号“”或“”填空(1)如果 ab0，cd0，那么 ac_bd；(2
4、)如果 ab0，那么 1a2_ 1b2；(3)如果 abc0，那么ca_cb.(1)(2)(3)(1)cd0，cd0.又 ab0，acbd，即 acbd.(2)ab0，a2b20，1a2 1b2.(3)ab0，01a1b.又c0，cacb.合 作 探 究 释 疑 难 利用不等式性质判断命题真假【例 1】对于实数 a，b，c，下列命题中的真命题是()A若 ab，则 ac2bc2B若 ab0，则1a1bC若 ab0，则baabD若 ab，1a1b，则 a0，b0思路点拨 本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假，也可以采用特殊值法判断 D 法一：c20，c0时，有ac2bc2，故A为假命题；由a
5、b0，有ab0 aab bab1b1a，故B为假命题；ab0ab01b1a0ab0ab0abba，故C为假命题；abba01a1b1a1b0baab 0 ab0.ab，a0且b0，故D为真命题 法二：特殊值排除法 取c0，则ac2bc2，故A错 取a2，b1，则1a12，1b1.有1a1b，故B错 取a2，b1，则ba12，ab2，有baab，故C错 故D为真命题运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.跟进训练1下列命
6、题正确的是()A若 a2b2，则 abB若1a1b，则 abC若 acbc，则 abD若 a b，则 abD A错，例如(3)222；B错，例如 12 13；C错，例如当c2，a3，b2时，有acbc，但ab.故D正确利用不等式性质证明简单不等式【例2】若ab0，cd0，e0，求证：eac2ebd2.思路点拨 可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果 证明 cd0，cd0.又ab0，acbd0.(ac)2(bd)20.两边同乘以1ac2bd2，得1ac21bd2.又e0，eac2ebd2.利用不等式的性质证明不等式的注意事项 1利用不等式的性质及其推论可以证明一些不
7、等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.2应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.跟进训练2已知 ab，ef，c0，求证：facb，c0，acbc.又ef，eacfbc，ebcfac，facebc.不等式性质的应用 探究问题1小明同学做题时进行如下变形：2b3，131b12.又6a8，2ab4.你认为正确吗？为什么？提示：不正确因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道6a8，不明确 a 值的正负故不能将131b
8、12与6a8 两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘2由6a8，4b2，两边分别相减得2ab6，你认为正确吗？提示：不正确因为同向不等式具有可加性，但不能相减，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质3你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？2ab4，4ba2.又2ab2，0a3，3b0，3ab3.这怎么与2ab2 矛盾了呢？提示：利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形本题中将 2ab4 与2ab2 两边相加得 0a3，又将4ba2 与2ab2 两边相加得出3b0，又将该式与 0a3 两边
9、相加得出3ab3，多次使用了这种转化，导致了 ab 范围的扩大【例 3】已知 1a4,2b8，试求 ab 与ab的取值范围思路点拨 依据不等式的性质，找到b 与1b的范围，进而求出ab 与ab的取值范围 解 因为 1a4,2b8，所以8b2.所以 18ab42，即7ab2.又因为181b12，所以18ab422，即18ab2.求含字母的数或式子的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除.跟进训练3已知22，求2，2 的取值范围解 22，424，424，两式相加，得22 2.424，424.22 2.又知，2 0.故22 0.即2
10、2 2，22 0.课 堂 小 结 提 素 养 1记牢 2 组性质(1)等式的 5 个性质；(2)不等式的 7 个性质2掌握不等式性质的应用条件(1)性质 1 和性质 2，分别称为“对称性”与“传递性”，在它们的证明中，要用到比较大小的“定义”等知识(2)性质 3(即可加性)的依据是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”(3)性质 4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”.(4)性质 5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”(5)性质 6 和性质 7(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等
11、式，并无相除式3规避 1 个易错注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性1设 xa0，则下列不等式一定成立的是()Ax2axaxa2Cx2a2a2axB xaa2.x2axx(xa)0，x2ax.又 axa2a(xa)0，axa2.x2axa2.2如果 ab0，cd0，则下列不等式中不正确的是()AadbcBadbcCadbcDacbdC 由已知及不等式的性质可得 acbd，即 adbc，所以 A 正确；由 cd0，得1d1c0.又 ab0，所以adbc，adbc，即 B 正确；显然 D 正确，因此不正确的选项是 C.3若11，则下列各式中恒成立的是()A20B21C10 D11A 由11，11，得11.22，但，故知20.4下列命题中，真命题是_(填序号)若 ab0，则 1a2 1b2；若 ab，则 c2ac2b；若 a0，b0，则 a b；若 ab，则 2a2b.ab001a1b 1a2 1b2；ab2a2bc2ac2b；对取 a2，b1，则 a b不成立正确5若 bcad0，bd0.求证：abb cdd.证明 因为 bcad0，所以 adbc，因为 bd0，所以abcd，所以ab1cd1，所以abb cdd.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!