1、51任意角与弧度制51.1角的概念的推广新课程标准解读核心素养1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角数学抽象2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合数学抽象3.了解象限角的概念数学抽象周日早晨，小明起床后，发现自己的闹钟停在5：00这一刻，他立即更换了电池，调整到了正常时间6：30，并开始正常的学习问题小明在调整闹钟时间时，时针与分针各转过了多少度？知识点一任意角的概念1角的概念角可以看作是平面内一条射线绕着其端点从初始位置旋转到终止位置时所形成的图形2角的分类名称定义图形正角一条射线绕着端点以逆时针方向旋转所形成的角负角以顺时针方向旋转所形成的角零角没有作任何旋转
2、所形成的角3角的加法(1)若两角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称；(2)设，是任意两个角，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是；(3)相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角的相反角记为，()当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？提示：不是的虽然始边、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)小于90的角都是锐角()(2)大于90的角都是钝角()(3)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是120.()答案：(1)(2)(3)2下列说法正确的是()A最大的角是18
3、0B最大的角是360C角不可以是负的 D角可以是任意大小答案：D3下列所示图形中，的是_；的是_解析：在中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以.在中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以().同理可知，中，中.答案：知识点二象限角与终边相同的角1象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限2各象限角的集合象限角象限角的集合表示第一象限角|k360k36090，kZ第二象限角|k36090k360180，kZ第三象限角|k360180k
4、360270，kZ第四象限角|k360270k360360，kZ3.终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和对集合S|k360，kZ的理解(1)角为任意角，“kZ”不能省略；(2)k360与中间要用“”连接，k360可理解成k360()；(3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360的整数倍 1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)终边相同的角一定相等()(2)30是第四象限角()(3)第二象限角是钝角()(4)225是第三象限角()答案：(1)(2
5、)(3)(4)2与 610角终边相同的角表示为(其中kZ)()Ak360230 Bk360250Ck36070 Dk180270答案：B3179角是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案：C任意角的概念例1(多选)下列说法正确的是()A锐角都是第一象限角B第一象限角一定不是负角C小于180的角是钝角、直角或锐角D在90180范围内的角不一定是钝角解析锐角是大于0且小于90的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以A正确；350角是第一象限角，但它是负角，所以B错误；0角是小于180的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以C错误；由于在90180范围内的角包含90角，所以
6、不一定是钝角，所以D正确答案AD理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要举一个反例即可 跟踪训练1射线OA绕端点O逆时针旋转120到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270到达OC位置，则AOC()A150B150C390 D390解析：选B各角和的旋转量等于各角旋转量的和所以120(270)150，故选B.2下列结论：三角形的内角必是第一、二象限角；始边相同而终边不同的角一定不相等；钝角比第三象限角小其中正确的结论为_(填序号)解析：
7、90的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故不正确；始边相同而终边不同的角一定不相等，故正确；钝角大于100，而100的角是第三象限角，故不正确答案：终边相同的角的表示例2(链接教科书第153页例2)已知角2 021.(1)把改写成k360(kZ，0360)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求，使与终边相同，且360360；(3)求与终边相同的最大负角与最小正角解(1)由2 021除以360，得商为5，余数为221，取k5，221，则5360221.又221是第三象限角，为第三象限角(2)与2 021角终边相同的角为k3602 021，kZ.令360k3602 021360，kZ，k可取6
8、，5，将k的值代入k3602 021中，得角为139，221.(3)由(2)知，与终边相同的最大负角是139，最小正角是221.终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360的整数倍；(2)终边在同一直线上的角之间相差180的整数倍；(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90的整数倍 跟踪训练1(2021吉林实验中学高一月考)将880化为k360(0360，kZ)的形式是()A160(3)360 B200(2)360C160(2)360 D200(3)360解析：选D易知880200(3)360，故选D.2在直角坐标系中写出下列角的集合：(1)终边在x轴的非负半轴上；(2)终边在
9、yx(x0)上解：(1)在0360范围内，终边在x轴的非负半轴上的角有一个0.故终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为|k360，kZ(2)在0360范围内，终边在yx(x0)上的角有一个45.故终边在yx(x0)上的角的集合为|k36045，kZ象限角的判定例3(链接教科书第153页例1)(1)(多选)在160；480；960；1 530这四个角中，是第二象限角的是()A BC D解析第二象限角需满足k36090k360180，kZ，分析可知：是第二象限角；是第二象限角；是第二象限角；不是第二象限角故选A、B、C.答案ABC(2)已知是第二象限角，求角所在的象限解是第二象限角，k36090k3
10、60180(kZ)3604536090(kZ)当k为偶数时，令k2n(nZ)，得n36045n36090，这表明是第一象限角；当k为奇数时，令k2n1(nZ)，得n360225n360270，这表明是第三象限角为第一或第三象限角母题探究1(变设问)在本例(2)的条件下，求角2的终边的位置解：是第二象限角，k36090k360180(kZ)k7201802k720360(kZ)角2的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上2(变条件)若将本例(2)中的“第二象限”改为“第一象限”，如何求解？解：k360k36090(kZ)，k180k18045(kZ)当k2n(nZ)时，n360n36045，是
11、第一象限角当k2n1(nZ)时，n360180n360225，是第三象限角是第一或第三象限角1给定一个角判断它是第几象限角的思路判断角是第几象限角的常用方法为将写成k360(其中kZ，在0360范围内)的形式，观察角的终边所在的象限即可2分角、倍角所在象限的判定思路(1)求解的思维模式应是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住内在联系，确定解题方略；(2)由的象限确定2的象限时，应注意2可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出如135，而2270就不再是象限角 跟踪训练11 060的终边落在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选A因为1 060336020，所以1 060的终边落
12、在第一象限2若是第四象限角，则180是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：选C因为是第四象限角，则角应满足：k36090k360，kZ，所以k360k36090，kZ，则k360180180k360270，kZ，当k0时，180180270，故180为第三象限角1期中考试，数学科目从上午8时30分开始，考了2小时从考试开始到考试结束分针转过了()A360 B720C360 D720解析：选D因为分针转一圈(即1小时)是360，所以从考试开始到考试结束分针转过了720.故选D.2已知集合A|为锐角，B|为小于90的角，C|为第一象限角，D|为小于90的正角，则下列等式中成立的是()AAB BBCCAC DAD解析：选D集合A中锐角满足090；集合B中90，可以为负角；集合C中满足k360k36090，kZ；集合D中满足090.故AD.3下面各组角中，终边相同的是()A390，690 B330，750C480，420 D3 000，840解析：选B33036030，75072030，330角与750角的终边相同4若角满足180360，角5与有相同的始边与终边，则角_解析：角5与具有相同的始边与终边，5k360，kZ，得4k360，kZ，k90，kZ.又180360，270.答案：270