1、44函数与方程44.1方程的根与函数的零点新课程标准解读核心素养1.结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与方程解的关系数学抽象、直观想象2.了解函数零点存在定理，会判断函数零点的个数直观想象、逻辑推理路边有一条河，小明从A点走到了B点观察下列两幅图问题推断哪一幅能说明小明一定曾渡过河？知识点函数零点存在定理当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化且有f(a)f(b)0，则存在点x0(a，b)，使得f(x0)0，这个x0也就是方程f(x)0在(a，b)内的一个解特别的，当f(x)在a，b上单调递增或单调递减且f(a)f(b)0，f(x)在(a，b)内恰有个零点1函数yf(x)在区间a，b上
2、的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？提示：只能判断有无零点，不能判断零点的个数2函数yf(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)0.1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内一定没有零点()(3)“f(a)f(b)0时，令2ln x0，解得xe2.所以函数f(x)的零点为3和e2.(2)由已知得f(3)0，即3ab0，则b3a，故g(x)3ax2axax(3x1)令g(x)0，即ax(3x1)0，解得x0或x.所以函
3、数g(x)bx2ax的零点为0和.函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)0，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点 跟踪训练1函数f(x)2x23x1的零点是()A，1B，1C.，1 D，1解析：选B方程2x23x10的两根分别为x11，x2，所以函数f(x)2x23x1的零点是，1.2若f(x)则函数g(x)f(x)x的零点为_解析：求g(x)的零点即求f(x)x的根，或解得x1或x1.g(x)的零点为1，1.答案：1，1函数零点个数问题角度一判断函数零点个数例2(链接教科书第126页例1)求
4、函数f(x)2xlg(x1)2的零点个数解法一：f(0)10210，f(x)在(0，1)上必定存在零点又显然f(x)2xlg(x1)2在(1，)上为增函数故函数f(x)有且只有一个零点法二：在同一坐标系下作出h(x)22x和g(x)lg(x1)的草图由图象知g(x)lg(x1)的图象和h(x)22x图象有且只有一个交点，即f(x)2xlg(x1)2有且只有一个零点判断函数零点个数的4种常用方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点；(2)画出函数yf(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数；(3)结合单调性，利用零点存在定理，可判定yf(x)在(a，b)
5、上零点的个数；(4)转化成两个函数图象的交点问题 角度二根据零点个数求参数范围例3已知函数f(x)(aR)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()A(，1) B(，0)C(1，0) D1，0)解析当x0时，f(x)3x1有一个零点x.因此当x0时，f(x)exa0只有一个实根，aex(x0)，则1a0时，由f(x)ln x0，得x1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x0时，函数f(x)2xa有一个零点，令f(x)0得a2x，因为02x201，所以0a1，所以实数a的取值范围是(0，1答案：(0，1讨论函数零点(方程解)的分布例4(链接教科书第127页例2、例3)f(x)ex
6、x2的零点所在的区间是()A(2，1) B(1，0)C(0，1) D(1，2)解析法一：f(0)10，f(x)在(0，1)内有零点法二：exx20，即ex2x，原函数的零点所在区间即为函数yex和y2x的图象交点的横坐标所在的区间如图，由图象可得函数yex和y2x的图象交点所在的区间为(0，1)答案C确定函数f(x)零点(方程解)所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上；(2)利用函数零点存在定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点；(3
7、)数形结合法：通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 跟踪训练1函数f(x)ln xx3的零点所在的区间为()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)解析：选Cf(1)ln 11320，f(2)ln 223ln 210，且f(x)的图象是连续不断的，f(x)在(2，3)内有零点，故选C.2函数f(x)x2ax1在区间上有零点，则实数a的取值范围是()A(2，)B2，)C. D解析：选D由题意知方程axx21在上有解，即ax在上有解，设tx，x，则t的取值范围是，实数a的取值范围是.1若f(x)，则函数yf(4x)x的零点是()A. BC2 D2解析：选A根据函数零点的概念
8、，函数yf(4x)x的零点就是方程f(4x)x0的根，解方程f(4x)x0，即x0，得x，故选A.2函数yx2bx1有一个零点，则b的值为()A2 B2C2 D3解析：选C因为函数有一个零点，所以b240，所以b2.3(多选)下列说法中正确的是()A函数f(x)x1，x2，0的零点为(1，0)B函数f(x)x1，x2，0的零点为1C函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点D函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标解析：选BD根据函数零点的定义，可知f(x)x1，x2，0的零点为1，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标因此B，D正确4已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：x123456f(x)15107645则函数f(x)在区间1，6上的零点至少有()A2个 B3个C4个 D5个解析：选B由题表可知f(2)f(3)0，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0，又函数f(x)的图象是连续不断的曲线，故f(x)在区间1，6上至少有3个零点5方程2x2x0在下列区间内一定有解的是()A1，0 B3，2C1，2 D3，4解析：选A由于函数f(x)2x2x是单调递增函数，且f(1)20，由函数零点存在定理可知，函数在区间1，0上一定存在零点故方程2x2x0在1，0上一定存在解