1、第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系【知识梳理】1.必会知识 教材回扣 填一填(1)直线与圆的位置关系与判断方法 方法过 程依据结论代 数 法联立方程组消去x(或y)得一元二次方程,计算 =b2-4ac 0_=0_ 0_几 何 法计算圆心到直线的距离 d,比较d与半径r的关系.相交时弦长为 d_r相交d_r相切d_r相离222 rd相交 相切 相离 (2)圆与圆的位置关系 设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r10),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r20).方法 位置关系几何法:圆心距d与r1,r2的关系代数法:两圆方程联立组成方程组的解的情况外离_解外切_实数解
2、相交_实数解内切d=_(r1r2)一组实数解内含0_d_|r1-r2|(r1r2)无解dr1+r2 无 d=r1+r2 一组|r1-r2|dr1+r2 两组不同的|r1-r2|0的前提下,利用根与系数的关系,根据弦长公式求弦长.(2)几何方法:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长 提醒:代数法计算量较大,一般选用几何法.222 rd.l【变式训练】(2014湖北高考)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=.【解析】依题意，圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长 度都是圆周的 圆心到l1:y=x+a的距离为 圆心到l2:y=
3、x+b的距离为 即 所以a2=b2=1，故a2+b2=2.答案：2 14，22|0 101a|11，22|0 1 01b|11，aba2cos 452222，【加固训练】1.(2015丽水模拟)若圆心在x轴上,半径为 的圆C 位于y轴左侧,且被直线x+2y=0截得的弦长为4,则圆C的方程是()A.(x-)2+y2=5 B.(x+)2+y2=5 C.(x-5)2+y2=5 D.(x+5)2+y2=5 555【解析】选B.设圆心为(a,0)(a0)，因为截得的弦长为4，所以弦 心距为1，则 解得a=-,所以，所求圆的方程为:(x+)2+y2=5.22a2 0d112，552.直线ax-y+2a=0
4、与圆x2+y2=9的位置关系是()A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定【解析】选C.直线ax-y+2a=0a(x+2)-y=0,即直线恒过点(-2,0),因为点(-2,0)在圆内,所以直线与圆相交.3.过圆x2+y2=1上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于A,B两点,则|AB|的最小值为()A.B.C.2 D.3 23【解析】选C.设圆上的点为(x0，y0)，其中x00，y00，则切线方程为x0 xy0y1.分别令x0，y0得 0011A(0)B(0)xy，22220000001111AB()()2.xyxyx y2所以考点2 圆与圆的位置关系【典例2】(1)与圆x2+y2+4x-4y
5、+7=0和x2+y2-4x-10y+13=0都相切的直线共有()A.1条 B.2条 C.3条 D.4条(2)圆O1的方程为:x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心坐标为(2,1).若圆O1与圆O2外切,求圆O2的方程;若圆O1与圆O2相交于A,B两点,且|AB|=求圆O2的方程.2 2，【解题提示】(1)先判断两圆的位置关系,然后再判断切线的条数.(2)根据两圆外切确定圆O2的半径,然后求圆的方程.若两圆相交,则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.【规范解答】(1)选C.由题意知,两圆圆心分别为(-2,2)与(2,5),半 径分别为1和4,圆心距为 =5,显然两圆外
6、切,故公切 线的条数为3.(2)因为圆O1的方程为:x2+(y+1)2=4,所以圆心O1(0,-1),半径r1=2.设圆O2的半径为r2,由两圆外切知|O1O2|=r1+r2,圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=12-8 .222225 22122121O O201 12 2rO Or2 22又，所以，2设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r22，又圆O1的方程为：x2+(y+1)2=4,相减得公共弦AB所在的直线方程为4x+4y+r22-8=0.作O1HAB于H，则|AH|=因为r1=2，所以|O1H|=又|O1H|=所以 得r22=4或r22=20，所以圆O2的方程为(x-2
7、)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.1 AB22，221rAH2，2222224 041r8r124 244 ，22r1224 2，【规律方法】1.判断两圆位置关系的方法 常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系,一般不用代数法.2.两圆公共弦长的求法 两圆公共弦长,在其中一圆中,由弦心距d,半弦长 ,半径r所在线段构成直角三角形,利用勾股定理求解.2l【变式训练】若O:x2+y2=5与O1:(x-m)2+y2=20(mR)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是 .【解析】依题意得|OO1|5，且OO1A是直角三角形，OO1A的
8、面积 因此|AB|答案：4 52011AB11|OO|OA|AO222，112|OA|AO252 54.OO5【加固训练】1.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两 圆心的距离|C1C2|=()A.4 B.4 C.8 D.8 22【解析】选C.依题意,可设圆心坐标为(a,a)、半径为r,其中r=a0,因此圆的方程是(x-a)2+(y-a)2=a2,由圆过点(4,1)得(4-a)2+(1-a)2=a2,即a2-10a+17=0,则该方程的两根分别是圆心C1,C2的横坐标,|C1C2|=8,选C.22104 17 2.若圆(x-a)2+(y-b)2=b2+1始终平分圆(x+1)
9、2+(y+1)2=4的周长,则a,b满足的关系是()A.a2+2a+2b-3=0 B.a2+b2+2a+2b+5=0 C.a2+2a+2b+5=0 D.a2-2a-2b+5=0【解析】选C.两圆的公共弦必过(x+1)2+(y+1)2=4的圆心,两圆相减得相交弦的方程为-2(a+1)x-2(b+1)y+a2+1=0,将圆心坐标(-1,-1)代入可得a2+2a+2b+5=0.3.(2015天津模拟)两个圆x2+y2+2ax+a2-4=0与x2+y2-4by-1+4b2=0恰 有三条公切线,若aR,bR,ab0,则 的最小值为 .2211ab【解析】两圆有三条公切线,说明两圆外切.两个圆的方程分别为
10、(x+a)2+y2=22,x2+(y-2b)2=12,所以a,b满足 =3,即a2+4b2=9,所以 等号当且仅当a2=2b2时成立.答案:1 22a4b22222222222222111111a4b1a4b(a4b)()(5)(52)1ab9ab9ba9ba，考点3 直线与圆的综合问题 知考情 直线与圆的综合问题是高考中的一个命题热点,主要以选择、填空题的形式出现,考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离,有时也与函数、不等式交汇命题.明角度 命题角度1:根据直线与圆的位置关系解决最值、弦长等问题【典例3】(2014江西高考)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的
11、圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为()435A.B.C.62 5D.544【解题提示】数形结合，找到圆的半径最小时是怎样的情况即可.【规范解答】选A.由题意得圆C过坐标原点，当原点到已知直线的 距离恰为圆的直径时，圆的面积最小，此时圆的半径为 圆的面积为 2 00412255，224S().55 命题角度2：已知直线与圆的位置关系确定直线(或圆)的方程【典例4】过点(，0)引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()【解题提示】确定曲线的形状，利用几何法求得取最值时的情况，再求l的斜率.221x333A.B.C.D.3333
12、【规范解答】选B.如图，设直线AB的方程为x=my+(显然m0，所以m21，由根与系数的关系得 222xmy2y1x,，21212222 2m1yyy y1m1m，所以SAOB=SPOB-SPOA=|OP|y2-y1|令t=1+m2(t2)，所以SAOB=所以当 即t=4，m=-时，AOB的面积取得最大值，此时，直线l的斜率为 1222222224 m128m42.21m21m1m22t2111222()tt48，11t4，33.3悟技法 1.解决直线与圆综合问题的常用结论(1)圆与直线l相切的情形:圆心到l的距离等于半径,圆心与切点的连线垂直于l.(2)圆与直线l相交的情形:圆心到l的距离小
13、于半径,过圆心而垂直于l的直线平分l被圆截得的弦;连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦;过圆内一点的所有弦中,最短的是垂直于过这点的直径的那条弦,最长的是过这点的直径.2.解决直线与圆综合问题的一般思路:分析题意,根据直线与圆位置关系列出相应关系式,然后求解.通一类 1.(2013山东高考)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0【解析】选A.由图象可知,A(1,1)是一个切点,根据切线的特点可知 过点A,B的直线与过点(3,1),(1,0)的直线互相垂直,kA
14、B=-2,所以直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0.11031 2.(2015衡水模拟)若直线y=k(x-2)与曲线 有交点，则()A.k有最大值 ，最小值-B.k有最大值 ,最小值-C.k有最大值0，最小值-D.k有最大值0，最小值-2y1x333312123312【解析】选C.如图：当直线与半圆相切时，直线的斜率k最小.此时 (舍去正值)；当直线过半圆圆心时，k最大，为0.2|k 002k|31,k3k1 所以3.(2015杭州模拟)过原点且倾斜角为60的直线被圆x2+y2-4y=0 所截得的弦长为 .【解析】依题设知：直线方程为y=x,圆心到该直线的距离 答案：22
15、302d1,2 212 3.3 1 所以弦长2 33创新体验7 与圆有关的交汇问题【创新点拨】1.高考考情:与圆有关的创新交汇问题是近几年高考命题的一个热点,此类问题多以其他相关知识为依托,考查圆的方程以及直线与圆的位置关系,考查分类讨论思想;或以圆为依托考查基本不等式求最值等.2.命题形式:常见的有与集合问题相交汇、与线性规划相交汇、与不等式相交汇、与向量相交汇等.【新题快递】1.(2015淮安模拟)设m,nR,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是()A.1313 B.(1313)C.22 2 22 2 D.(22 222 2)
16、，【解析】选D.圆心(1，1)到直线(m+1)x+(n+1)y-2=0的距离 222mn1m1n11mn1mnmn4mn22 2mn22 2.为，所以，所以或2.(2015泰安模拟)M=(x，y)|y=，a0，N=(x，y)|(x-1)2+(y-)2=a2，a0，则MN时，a的最大值与最小值分别 为_、_.222ax3【解析】因为集合M=(x，y)|y=，a0，所以集合M表示以O(0，0)为圆心，半径为r1=a的上半圆.同理，集合N表示以O(1，)为圆心，半径为r2=a的圆上的点.这两个圆的半径随着a的变化而变化，但|OO|=2.如图所示.当两圆外切时，由 a+a=2，得a=2 -2；当两圆内
17、切时，由 a-a=2，得a=2 +2.所以a的最大值为2 +2，最小值为2 -2 答案：2 +2 2 -2 222ax23222222223.(2015东莞模拟)如果点P在平面区域 点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为 .【解析】由点P在平面区域 上,画出点P所在的平面 区域.由点Q在圆x2+(y+2)2=1上,画出点Q所在的圆,如图所示.2xy20,x2y10,xy20 上2xy20,x2y10,xy20 由题意,得|PQ|的最小值为圆心(0,-2)到直线x-2y+1=0的距离减去半 径1.又圆心(0,-2)到直线x-2y+1=0的距离为 此时垂 足(-1,0)在满足条件的平面区域内,故|PQ|的最小值为 -1.答案:-1 22|0221|512 ，55【备考指导】1.准确转化:解决此类创新问题时,一定要读懂题目的本质含义,紧扣题目所给条件,结合题目要求进行恰当转化,将问题转化为熟知的问题解决.2.方法选取:对于此类问题要特别注意圆的定义及其性质的应用,要根据条件,合理选择代数方法或几何方法,对于涉及参数的问题,要注意参数的变化对问题的影响,以便确定是否需要分类讨论.
