1、第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第2课时 一元二次不等式的应用 学 习 目 标核 心 素 养 1.掌握一元二次不等式的实际应用(重点)2.理解三个“二次”之间的关系.3.会解一元二次不等式中的恒成立问题(难点)1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养.2.借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养.情 景 导 学 探 新 知 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素 在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况
2、不对，同时刹车，但还是相撞了事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲0.1x0.01x2，s乙0.05x0.005x2.问题：如何判断甲、乙两车是否超速？提示：由题意知，对于甲车，有0.1x0.01x212，即x210 x1 2000，解得x30或x40(不符合实际意义，舍去)这表明甲车的车速超过30 km/h，但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.对于乙车，有0.05x0.005x210，即x210 x2 0000，解得x40或x50(不符
3、合实际意义，舍去)这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速1分式不等式的解法 主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式 axbcxd0(0)(其中 a，b，c，d 为常数)法一：axb00cxd0或axb00cxd0 法二：(axb)(cxd)0(0)axbcxd0(0)法一：axb00cxd0或axb00cxd0 法二：axbcxd00cxd0axbcxdk0 与(x3)(x2)0 等价吗？将x3x20 变形为(x3)(x2)0，有什么好处？提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式2(1)不等式的解集为 R(或恒成立)的条件不等式ax2bxc0ax
4、2bxc0b0，c00a01 的解集为 xax2bxc(a0)恒成立时，可转化为求解 yax2bxc 的最小值，从而求出 m 的范围()提示(1)1x11x10 x1x 0 x|0 xax2bxc(a0)恒成立转化为 m 大于 yax2bxc 的最大值，故(2)错答案(1)(2)2若集合 Ax|12x13，Bxx2x 0，则 AB等于()Ax|1x0 Bx|0 x1Cx|0 x2Dx|0 x1B Ax|1x1，Bx|0 x2，ABx|0 x13不等式x1x 5 的解集是_x0 x14 原 不 等 式 x1x 5xx 4x1x0 x4x10，x0，解得 0 x14.4若不计空气阻力，则竖直上抛的
5、物体距离抛出点的高度 h 与时间 t 满足关系 hv0t12gt2，其中 g10 m/s2.一名同学以初速度 v012 m/s 竖直上抛一排球，排球能够在抛出点 2 m 以上的位置最多停留的时间为_s(精确到 0.01 s)2.04 依题意得 12t1210t22，即 5t212t20，解得12 10410t12 10410.12 1041012 10410 10452.04.合 作 探 究 释 疑 难 分式不等式的解法【例 1】解下列不等式：(1)x3x20；(2)x12x31.解(1)x3x20(x3)(x2)02x3，原不等式的解集为x|2x3(2)x12x31，x12x310，x42x
6、3 0，即x4x320.此不等式等价于(x4)x32 0 且 x320，解得 x32或 x4，原不等式的解集为xx32或x4.1对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零2对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解跟进训练1解下列不等式：(1)x1x30；(2)5x1x1 3.即知原不等式的解集为x|x1 或 x3(2)不等式5x1x1 3 可改写为5x1x1 30，即2x1x1 0.可将这个不等式转化成 2(x1)(x1)0，解得1x1.所以原不等式的解集为x|1x1
7、一元二次不等式的应用【例 2】一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量 x(单位：辆)与创造的价值 y(单位：元)之间有如下的关系：y20 x22 200 x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 60 000 元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解 设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产 x辆摩托车，根据题意，得 20 x22 200 x60 000.移项整理，得 x2110 x3 0000.对于方程 x2110 x3 0000，1000，方程有两个实数根x150，x260.画出二次函数 yx2110 x3 000 的图象如图所示
8、，结合图象得不等式 x2110 x3 0000 的解集为x|50 x60，从而原不等式的解集为x|50 x60 因为 x 只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在 5159 辆时，这家工厂能够获得 60 000 元以上的收益求解一元二次不等式应用问题的步骤跟进训练2国家原计划以 2 400 元/吨的价格收购某种农产品 m 吨按规定，农户向国家纳税为：每收入 100 元纳税 8 元(称作税率为 8 个百分点，即 8%)为了减轻农民负担，制定积极的收购政策根据市场规律，税率降低 x 个百分点，收购量能增加 2x 个百分点试确定 x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划
9、的 78%.解 设税率调低后“税收总收入”为 y 元 y2 400m(12x%)(8x)%1225m(x242x400)(0 x8)依题意，得 y2 400m8%78%，即1225m(x242x400)2 400m8%78%，整理，得 x242x880，解得44x2.根据 x 的实际意义，知 x 的范围为 00 恒成立，如何求实数 a 的取值范围？提示：若 a0，显然 y0 不能对一切 xR 都成立所以 a0，此时只有二次函数 yax22x2 的图象与直角坐标系中的 x 轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则a0，48a12.2若函数 yx2ax3 对3x1 上恒有 x2ax30 成立，如
10、何求 a 的范围？提示：要使 x2ax30 在3x1 上恒成立，则必使函数yx2ax3 在3x1 上的图象在 x 轴的下方，由 y 的图象可知，此时 a 应满足 323a30，12a30，即3a60，a20，解得 a2.故当 a2 时，有 y0 在3x1 上恒成立3若函数 yx22(a2)x4 对任意3a1 时，y0 恒成立，如何求 x 的取值范围？提示：由于本题中已知 a 的取值范围求 x，所以我们可以把函数y 转化为关于自变量是 a 的函数，求参数 x 的取值问题，则令 y2xax24x4.要使对任意3a1，y0 恒成立，只需满足 2xx24x40，32xx24x40，即x22x40，x2
11、10 x40.因为 x22x40 的解集是空集，所以不存在实数 x，使函数 yx22(a2)x4 对任意3a1，y0 恒成立【例 3】已知 yx2ax3a，若2x2，x2ax3a0恒成立，求 a 的取值范围思路点拨 对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解 解 设函数 yx2ax3a 在2x2 时的最小值为关于 a的一次函数，则(1)当对称轴 xa24 时，g(a)(2)2(2)a3a73a0，解得 a73，与 a4 矛盾，不符合题意(2)当2a22，即4a4 时，g(a)3aa24 0，解得6a2，此时4a2.(3)当a22，即 a4 时，g(a)
12、222a3a7a0，解得a7，此时7a4.综上，a 的取值范围为7a2.1(变结论)本例条件不变，若 yx2ax3a2 恒成立，求 a的取值范围解 若2x2，x2ax3a2 恒成立可转化为：当2x2 时，y 最小值2 a22，y最小值222a3a7a2，解得 a 的取值范围为5x22 2.2(变条件)将例题中的条件“yx2ax3a，2x2，y0恒成立”变为“不等式 x22xa230 的解集为 R”，求 a 的取值范围解 法一：不等式 x22xa230 的解集为 R，函数 yx22xa23 的图象应在 x 轴上方，44(a23)2 或 a0 的解集为 R，则 a 满足 y 最小值a240，解得 a2 或 a0，得 a2x22x3，即 a2(x1)24，要使该不等式在 R 上恒成立，必须使 a2 大于(x1)24 的最大值，即 a24，故 a2 或 a0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当 a0 时，b0，c0；当 a0 时，a0，0.2不等式 ax2bxc0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当 a0 时，b0，c0；当 a0 时，a0，0，y0，x40，y400，解得：15x20.所以为了使这批台灯每天获得 400 元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为 15x20.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!