1、主要考查基础知识、基本技能，应用所学分析解决问题的能力 题型专题（八）不等式求解题型常讨论，解的问题常转化 (1)一元二次不等式ax2bxc0(或0)，如果a与ax2bxc同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2bxc异号，则其解集在两根之间简言之：同号两根之外，异号两根之间 (2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解.考点一：不等式的解法典例(1)关于x的不等式 xax1 0的解集为P，不等式log2(x21)1的解集为Q.若QP，则a的取值范围为()A(1,0)B1,1C(1，)D1，)解析 当a1时，P(，1)(a，)；当a1
2、时，P(，a)(1，)Q：x212，x210，3x 3，x1或x1，Q 3，1)(1，3 QP，P(，1)(a，)1a1.答案 B(2)(2015洛阳统考)若关于x的不等式ax2|x|2a0的解集为空集，则实数a的取值范围为_解析 当a0时，不等式为|x|0，解集不为空集当a0时，由题意知a0.令t|x|，则原不等式等价于at2t2a0(t0)，所以att22(t0)根据题意知att22 max(t0)而tt22t2 2t2 24，所以a 24.答案 24，(1)对含参数的不等式，难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，明确分类标准(如最高次系数、判别式、根相等)，层次清楚地
3、求解(2)与一元二次不等式有关的恒成立问题，通常转化为根的分布问题，求解时一定要借助二次函数的图象，一般考虑四个方面：开口方向、判别式的符号、对称轴的位置、区间端点函数值的符号(如应用2)1(2015大连模拟)已知函数f(x)(ax1)(xb)，若不等式f(x)0的解集是(1,3)，则不等式f(2x)0，得ax2(ab1)xb0，又其解集是(1,3)，a0，且1aba2，ba3，解得a1或13(舍去)，a1，b3，f(x)x22x3，f(2x)4x24x3，由4x24x30，解得x12或x0，ab5，则a1 b3的最大值为_解析 令t a1 b3，则t2a1b32 a1b392 a1b39a1
4、b313ab13518，当且仅当a1b3时取等号，此时a72，b32.tmax 183 2.答案 3 21求条件最值问题的两种方法(1)借助条件转化为所学过的函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，借助于函数单调性求最值；(2)可考虑通过变形直接利用基本不等式解决2基本不等式常用变形(1)a2b22ab(a，bR)(2)baab2(a，b 同号)(3)abab22(a，bR)(4)a2b22ab22(a，bR)说明 若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错 1若正实数x，y满足xy1x1y5，则xy的最大值是()A2 B3C4 D5即时应用解析：由已知xy1x1
5、y5，得xyxyxy 5.xyxy24，1xy4xy2，xyxy 4xy，xy 4xy5.设xyt，即t4t5，得到t25t40，解得1t4，所以xy的最大值是4.答案：C2要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是()A80 元B120 元C160 元D240 元解析：设该容器的总造价为 y 元，长方体的底面矩形的长为x m，因为无盖长方体的容积为 4 m3，高为 1 m，所以长方体的底面矩形的宽为4x m，依题意，得 y204102x24x8020 x4x 80202 x4x16
6、0当且仅当x4x，即x2时取等号.所以该容器的最低总造价为 160 元答案：C一作图，二平移，三求值 (1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l；(2)平移将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置有时需要对目标函数l和可行域边界的斜率的大小进行比较；(3)求值解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.考点三：线性规划问题典例(1)(2015福建高考)若变量x，y满足约束条件x2y0，xy0，x2y20，则z2xy的最小值等于()A52 B2C32D2解析 作可行域如图，由图可知，当直线z2xy过点A时，z值最小由x2y20，x
7、2y0得点A1，12，zmin2(1)1252.答案 A(2)(2015山东高考)已知x，y满足约束条件xy0，xy2，y0.若zaxy的最大值为4，则a()A3 B2C2 D3解析 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若zaxy的最大值为4，则最优解为x1，y1或x2，y0，经检验知x2，y0符合题意，2a04，此时a2.答案 B含参数线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是：(1)准确无误地作出可行域；(2)画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率比较，避免出错(如本例(2)；(3)一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取
8、得 1(2015兰州诊断)已知不等式组xy1，xy1，y0所表示的平面区域为 D，若直线 ykx3 与平面区域 D 有公共点，则 k 的取值范围为()A.，13 13，B3,3C(，33，)D.13，13即时应用解析：满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示因为直线ykx3过定点(0，3)，所以当ykx3过点C(1,0)时，k3；当ykx3过点B(1,0)时，k3，所以k3或k3时，直线ykx3与平面区域D有公共点答案：C 2(2015山西四校三联)设zxy，其中实数x，y满足x2y0，xy0，0yk，若z的最大值为6，则z的最小值为()A3 B2C1 D0解析：作出满足实数x，y的平面区域，
9、如图阴影部分所示，由图可知当目标函数zxy经过点A(k，k)时取得最大值，即kk6，所以k3.当目标函数zxy经过点B(2k，k)时取得最小值，最小值为2kkk3.答案：A主要考查迁移思维、数学素养，多角度、创造性地思考和解决问题的能力 基本不等式与其他知识的交汇点近年对不等式的考查由单纯的应用不等式求最值转化为与其它知识交汇求最值的题目越来越多，常与方程、不等式、直线与圆、函数、数列等知识交汇，求其最值范围.典例 对于 c0，当非零实数 a，b 满足 4a22abb2c0 且使|2ab|最大时，1a2b4c 的最小值为_学审题方程关于2ab的等式分类讨论 转化为不等式a，b，c的关系 关于c
10、的函数 结果解析 由题意知，c4a22abb2(2ab)26ab，(2ab)2c6ab.若|2ab|最大，则ab0.当a0，b0时，(2ab)2c6abc32abc32ab22，(2ab)2c34(2ab)2，(2ab)24c，|2ab|2 c，当且仅当b2a，即a c2，b c时取等号此时1a2b4c 2c 2c4c0.当a0，b0，b0)的最大值为4，则ab的取值范围是()A(0,4)B(0,4C4，)D(4，)即时应用解析：作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，zaxby(a0，b0)过点A(1,1)时取最大值，ab4，abab224，a0，b0，ab(0,4，故选B.答案：B2(2015台州中学模拟)已知b0，直线(b21)xay20与直线xb2y10互相垂直，则ab的最小值为()A1 B2C2 2D2 3解析：因为直线(b21)xay20与直线xb2y10互相垂直，所以(b21)1a(b2)0，即ab21b2(b0)，所以abb21bb1b2(b0)，当且仅当b1时等号成立故选B.答案：B THANKS!谢谢观看