1、第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时 一元二次不等式及其解法 学 习 目 标核 心 素 养 1.掌握一元二次不等式的解法(重点)2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点)通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养.情 景 导 学 探 新 知(1)已知三个方程：x24x30；x24x40；x24x50.(2)已知三个函数y1x24x3，y2x24x4，y3x24x5及三个函数对应的图象 问题：(1)中三个方程的解分别为 x11，x23；x1x22；无解，(2)中三个函数与 x 轴交点横坐标分别为 1,3；2；无交点由图象观察可知在(2)中
2、三个函数中，x 分别取何值函数值为正、负？提示：对于 y1x24x3，当 x1 或 x3 时，y1x24x30，当 1x3 时，y1x24x30；对于 y2x24x4，当 x2时，y2x24x40；对于 y3x24x5，当 xR 时，y3x24x50.1一元二次不等式的概念 只含有未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式2一元二次不等式的一般形式(1)ax2bxc0(a0)(2)ax2bxc0(a0)2一个思考 1：不等式 x2y20 是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义可知不是一元二次不等式3一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立
3、的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集思考 2：类比“方程 x21 的解集是1，1，解集中的每一个元素均可使等式成立”不等式 x21 的解集及其含义是什么？提示：不等式 x21 的解集为x|x1，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立4三个“二次”的关系设 yax2bxc(a0)，方程 ax2bxc0 的判别式 b24ac 判别式000求方程 y0的解有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)有两个相等的实数根 x1x2 b2a没有实数根解不等式 y0或 y0的步骤画函数 yax2bxc(a0)的图象 y0_ 解不等式 y
4、0或 y0的步骤得等的集不式解y0 _ x|x x1或 xx2xx b2aR x|x1xx2思考 3：若一元二次不等式 ax2x10 的解集为 R，则实数 a应满足什么条件？提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式 ax2x10的解集为 R，则a0，14a0 的解集为 R.1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)mx25x0，则一元二次不等式 ax210 无解()(3)若一元二次方程 ax2bxc0 的两根为 x1，x2(x1x2)，则一元二次不等式 ax2bxc0 的解集为x|x1x0 的解集为 R.()提示(1)错误当 m0 时，是一元一次不等式；当 m0 时，是一元二次不等式(
5、2)错误因为 a0，所以不等式 ax210 恒成立，即原不等式的解集为 R.(3)错误当 a0 时，ax2bxc0 的解集为x|x1xx2，否则不成立(4)正确因为(2)2120 的解集为 R.答案(1)(2)(3)(4)2不等式 3x22x10 的解集为()A.x1x13 Bx13x1CDRD 因为(2)243141280，所以不等式 3x22x10 的解集为 R.3不等式 35x2x20 的解集为()A.xx3或x12B.x12x3C.xx3或x12DRC 35x2x202x25x30(x3)(2x1)0 x3或 x12.4若 x2x12有意义，则实数x的取值范围为_x3或x4 要使x2x
6、12有意义，则x2x120，(x3)(x4)0，x3或x4.合 作 探 究 释 疑 难 一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)2x27x30；(2)4x218x814 0；(3)2x23x20，所以方程2x27x30有两个不等实根x13，x2 12.又二次函数y2x27x3的图象开口向上，所以原不等式的解集为xx12或x0，因为942270；(2)x24x40；(3)x22x30.解(1)0，方程 2x23x20 的根是 x112，x22，不等式 2x23x20 的解集为 xx2.(2)0，方程 x24x40 的根是 x1x22，不等式 x24x40 的解集为x|x2.(3)原不等式
7、可化为 x22x30，由于 0，方程 x22x30 无解，不等式x22x30 的解集为 R.(4)原不等式可化为 3x25x20，方程 3x25x20 的两根为 x123，x21，不等式3x25x20 的解集为x23x1.含参数的一元二次不等式的解法【例 2】解关于 x 的不等式 ax2(a1)x10.思路点拨 对于二次项的系数 a 是否分 a0，a0 三类进行讨论？当 a0 时，是否还要比较两根的大小？解 当 a0 时，原不等式可化为 x1.当 a0 时，原不等式可化为(ax1)(x1)0.当 a0，1a1，x1.当 a0 时，原不等式可化为x1a(x1)0.若1a1，则1ax1，即 0a1
8、，则 1x1a.综上所述，当 a0 时，原不等式的解集为xx1；当 a0 时，原不等式的解集为x|x1；当 0a1 时，原不等式的解集为x1x1 时，原不等式的解集为x1ax1.解含参数的一元二次不等式的一般步骤提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并跟进训练2解关于 x 的不等式：ax222xax(a0)解 原不等式移项得 ax2(a2)x20，化简为(x1)(ax2)0.a0，(x1)x2a 0.当2a0 时，2ax1；当 a2 时，x1；当 a2 时，1x2a.综上所述，当2a0 时，解集为x2ax1；当 a2 时，解集为x|x1；当 a0，y0 时自变
9、量 x组成的集合，亦即二次函数 yx22x3 的图象在 x 轴上方时点的横坐标 x 的集合x|x3；同理，满足 y0 时 x 的取值集合为x|1x0(a0)或 ax2bxc0)是函数 yax2bxc(a0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当 y0 时，函数 yax2bxc(a0)就转化为方程，当 y0 或 y0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？提示：方程 x22x30 的解集为1,3 不等式 x22x30 的解集为x|x3，观察发现不等式x22x30 解集的端点值恰好是方程 x22x30 的根3设一元二次不等式 ax2bxc0(a0)和 ax2bxc0)的解
10、集分别为x|xx2，x|x1xx2(x10(a0)和 ax2bxc0)的解集分别为x|xx2，x|x1xx2(x10的解集为x|2x3，求关于 x 的不等式 cx2bxa0的解集为x|2x3可知，a0，且2和3是方程ax2bxc0的两根，由根与系数的关系可知 ba5，ca6.由a0知c0，bc56，故不等式cx2bxa0，即x256x160，解得x12，所以不等式cx2bxa0的解集为x|2x3可知，a0，且2和3是方程ax2bxc0的两根，所以ax2bxca(x2)(x3)ax25ax6ab5a，c6a，故不等式cx2bxa0，即6ax25axa06ax13 x12 0的解集解 由根与系数的
11、关系知ba5，ca6且a0.c0，即x2bcxac0，即x256x160.解之得x12x0的解集为x|2x3变为“关于x的不等式ax2bxc0的解集是x13x2.求不等式cx2bxa0的解集解 由ax2bxc0的解集为x13x2知a0.又132ca0，则c0.又13，2为方程ax2bxc0的两个根，ba53，ba53.又ca23，b53a，c23a，不等式cx2bxa0变为23a x253a xa0，即2ax25ax3a0.又a0，2x25x30，所求不等式的解集为x3x12.已知以a，b，c为参数的不等式如ax2bxc0的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：1根据解集来判断二次项系数的符
12、号；2根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；3约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.课 堂 小 结 提 素 养 1掌握1个知识点一元二次不等式的解法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：化不等式为标准形式：ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)；求方程ax2bxc0(a0)的根，并画出对应函数yax2bxc图象的简图；由图象得出不等式的解集(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解当m0)，一根(0)，无根(2x的解集是_x|x5或x2x，得x24x50，因为x24x50的两根
13、为1,5，故x24x50的解集为x|x52不等式x26x100的解集为_ 原不等式可化为x26x100，364040，方程x26x100无实根，原不等式的解集为.3设a1，则关于x的不等式a(xa)x1a0的解集为_xx1a 因为a1，所以a(xa)x1a0.又aa，所以x1a或xa.4已知关于x的不等式ax2bxc0的解集是xx12，则ax2bxc0的解集为_x12x2 由题意，2，12是方程ax2bxc0的两个根且a0，即为2x25x20，解得12x0的解集为x12x2(x1)解(1)原不等式可化为x27x120，因为方程x27x120的两根为x13，x24，所以原不等式的解集为x|3x4(2)原不等式可以化为x22x20，因为判别式4840，方程x22x20无实根，而抛物线yx22x2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!