1、第三章 三角函数、解三角形第六节 解三角形2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。2016，全国卷，17,12分(正、余弦定理，三角形面积)2016，全国卷，13,5分(解三角形)2016，全国卷，8,5分(解三角形)2015，全国卷，16,5分(解三角形，取值范围)2015，全国卷，17,12分(解三角形，三角形面积，恒等变换)2014，全国卷，16,5分(解三角形，三角形面积，最值)命题形式多种多样，选择题、填空题常常出一些简单的边、角、面积
2、计算或测量问题，属于容易题，解答题常常结合三角恒等变换公式、三角函数的图象和性质进行考查，具有一定的综合性，属于中档题。微知识 小题练 教材回扣 基础自测 自|主|排|查 1正弦定理 其中2R为ABC外接圆直径。变式：a_，b_，c_。abc_。asinA_2RbsinBcsinC2RsinA2RsinB2RsinCsinAsinBsinC2余弦定理a2_；b2_；c2_。变式：cosA_；cosB_；cosC_。sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA。b2c22bccosAa2c22accosBa2b22abcosCb2c2a22bca2c2b22aca2b2c22ab 3
3、解三角形(1)已知三边a，b，c。运用余弦定理可求三角A，B，C。(2)已知两边a，b及夹角C。运用余弦定理可求第三边c。(3)已知两边a，b及一边对角A。先用正弦定理，求 sinB，sinB_。bsinAa A为锐角时，若absinA，_；若absinA，_；若bsinAab，_。(4)已知一边a及两角A，B(或B，C)用正弦定理，先求出一边，后求另一边。无解一解两解一解无解一解4三角形常用面积公式(1)S12aha(ha 表示 a 边上的高)。(2)S12absinC12acsinB12bcsinAabc4R。(3)S12r(abc)(r 为内切圆半径)。微点提醒1在一个三角形中，边和角共
4、有 6 个量，已知三个量(其中至少有一边)就可解三角形。2判断三角形形状的两种思路：一是化边为角；二是化角为边，并用正弦定理(余弦定理)实施边、角转换。3当 a2b2c2 时判断三角形的形状，由 cosCa2b2c22ab0，得C 为钝角，则三角形为钝角三角形。【解析】因为在ABC 中，设 ABc5，ACb3，BCa7，所以由余弦定理得 cosBACb2c2a22bc925493012，因为BAC为ABC 的内角，所以BAC23。故选 C。【答案】C小|题|快|练一、走进教材1(必修 5P10A 组 T4 改编)在ABC 中，AB5，AC3，BC7，则BAC()A.6B.3C.23D.56【解
5、析】由已知及正弦定理得 sinAcosAsinBcosB，sin2Asin2B，所以 2A2B 或 2A2B，即 AB 或 AB2，所以ABC 是等腰三角形或直角三角形。故选 C。【答案】C2(必修 5P10B 组 T2 改编)在ABC 中，如果有性质 acosAbcosB，那么这个三角形的形状是()A直角三角形B等腰三角形C直角三角形或等腰三角形D不确定【解析】因为 S12ABACsinA122ACsin3 32，所以 AC1。由余弦定理可得 BC2AB2AC22ABACcosA，即 BC2221222112，解得 BC 3。【答案】33(必修 5P20A 组 T11 改编)在ABC 中，A
6、3，AB2，且ABC 的面积为 32，则边 BC 的长为_。【解析】设ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 则 a3，c 13，C120，由余弦定理得 139b23b，解得 b1，即 AC1。故选 A。【答案】A二、双基查验1(2016天津高考)在ABC 中，若 AB 13，BC3，C120，则 AC()A1 B2C3 D4【解析】cosAb2c2a22bc14321212，又0A180，A60。故选 C。【答案】C2在ABC 中，a 3，b1，c2，则A 等于()A30 B45C60 D75【解析】asinA bsinB，sinBbasinA2418sin45，sinB2 2
7、3，又ab，B 有两个解。故选 B。【答案】B3在ABC 中，若 a18，b24，A45，则此三角形有()A无解B两解C一解D解的个数不确定【解析】设 BCx，由余弦定理得 4925x210 xcos120，整理得 x25x240，即 x3。因此 SABC12ABBCsin B1235 3215 34。【答案】15 344ABC 中，B120，AC7，AB5，则ABC 的面积为_。【解析】如图，由题意知在ABC 中，ACB756015，B15，ACAB8。在 RtAOC 中，OCACsin 304。这艘船每小时航行4128(海里)。【答案】85一船向正北航行，看见正东方向有相距 8 海里的两个
8、灯塔恰好在一条直线上。继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东 60，另一灯塔在船的南偏东 75，则这艘船每小时航行_海里。第一课时正弦定理和余弦定理微考点 大课堂微考场 新提升微考点 大课堂 考点例析 对点微练考点一利用正、余弦定理解三角形【典例 1】(1)(2016全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cosA45，cosC 513，a1，则 b_。(2)(2016全国卷)在ABC 中，B4，BC 边上的高等于13BC，则 cosA()A.3 1010 B.1010C 1010D3 1010【解析】(1)因为 cosA45，cosC 513，所以 sinA35，
9、sinC1213，从而 sinBsin(AC)sinAcosCcosAcosC35 5134512136365。由正弦定理 asinA bsinB，得 basinBsinA 2113。(2)设ABC 中角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，由题意可得13acsin4 22 c，则 a3 22 c。在ABC 中，由余弦定理可得 b2a2c2 2ac92c2c23c252c2，则 b 102 c。由余弦定理，可得 cosAb2c2a22bc52c2c292c22 102 cc 1010。故选 C。【答案】(1)2113(2)C反思归纳 1.已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三
10、角形，正弦定理的形式多样，其中 a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC 能够实现边角互化。2已知两边和它们的夹角或已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形，在运用余弦定理时，要注意整体思想的运用。【解析】由余弦定理得 a2b2c22bccosA2b22b2cosA，所以 2b2(1sinA)2b2(1cosA)，所以 sinAcosA，即 tanA1，又 0A，所以 A4。故选 C。【答案】C【变式训练】(2016山东高考)ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c。已知 bc，a22b2(1sinA)。则 A()A.34B.3C.4D.6考点二判断三角形形
11、状母题发散【典例 2】设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcosCccosBasinA，则ABC 的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定【解析】依据题设由正弦定理，得 sinBcosCcosBsinCsin2A，有 sin(BC)sin2A，从而 sin(BC)sinAsin2A，解得 sinA1，A2。故选 B。【答案】B【解析】解法一：由已知得 2sinAcosBsinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，即 sin(AB)0，因为AB，所以 AB，故ABC为等腰三角形。解法二：由正弦定理得 2acosBc，再由余弦定理得2aa2c
12、2b22acca2b2ab，故ABC 为等腰三角形。【答案】等腰三角形【母题变式】1.若将本典例条件改为“2sinAcosBsinC”，试判断ABC 的形状。【解析】(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)，2sinAcosBb22cosAsinBa2，即 a2cosAsinBb2sinAcosB。解法一：由正弦定理知 a2RsinA，b2RsinB，sin2AcosAsinBsin2BsinAcosB，又 sinAsinB0，sinAcosAsinBcosB，sin2Asin2B。2若将本典例条件改为“(a2b2)
13、sin(AB)(a2b2)sin(AB)”，试判断三角形的形状。在ABC 中，02A2，02B2，2A2B 或 2A2B，AB 或 AB2。ABC 为等腰三角形或直角三角形。解法二：由正弦定理、余弦定理得：a2bb2c2a22bcb2aa2c2b22ac，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)(a2b2c2)0，a2b20 或 a2b2c20。即 ab 或 a2b2c2。ABC 为等腰三角形或直角三角形。【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】由已知，根据正弦定理得 2a2(2bc)b(2cb)c，即 a2b2c2bc，cosA12，sinA 32，则 sin2Asin2Bsin
14、2CsinBsinC。又 sinBsinC1，所以 sinBsinC14，解得 sinBsinC12。因为 0B2，0C2，故 BC6，所以ABC 是等腰钝角三角形。【答案】等腰钝角三角形3若将本典例条件改为：“2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC，且sinBsinC1”，试判断ABC 的形状。反思归纳 1.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别。2判断三角形形状主要有以下两种途径：(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出
15、三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断。【解析】(1)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosBsinBcosA)sinC，2cosCsin(AB)sinC，故 2sinCcosCsinC。又因为 C 为ABC 的内角，可得 cosC12，所以 C3。考点三与三角形面积有关的问题【典例 3】(2016全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cosC(acosBbcosA)c。(1)求 C；(2)若 c 7，ABC 的面积为3 32，求ABC 的周长。(2)由已知，12absinC3
16、 32。又 C3，所以 ab6。由已知及余弦定理得，a2b22abcosC7，故 a2b213，从而(ab)225。所以ABC 的周长为 5 7。【答案】(1)3(2)5 7反思归纳 与三角形面积有关问题的解题策略(1)求三角形的面积。对于面积公式 S12absinC12acsinB12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式。(2)已知三角形的面积解三角形。与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化。【解析】(1)由 cos2A3cos(BC)1，得 2cos2A3cosA20，即(2cosA1)(cosA2)0，解得 cosA12或 cosA2(舍去)。因为
17、 0A，所以 A3。【变式训练】在ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c。已知 cos2A3cos(BC)1。(1)求角 A 的大小；(2)若ABC 的面积 S5 3，b5，求 sinBsinC 的值。(2)由 S12bcsinA12bc 32 34 bc5 3，得 bc20。又 b5，所以 c4。由余弦定理得 a2b2c22bccosA25162021，故 a 21。又由正弦定理得 sinBsinCbasinAcasinAbca2sin2A20213457。答案(1)3(2)57微考场 新提升考题选萃 随堂自测解析 因为 cosA13，所以 sinA1192 23，由正弦定理
18、，得 4sinA 3sinB，所以 sinB 22，又因为 ba，所以 0B2，B4。故选 A。答案 A1在ABC 中，若 a4，b3，cosA13，则 B 等于()A.4B.3 C.6D.23解析 由余弦定理，得 4b222bcosA5，整理得 3b28b30，解得 b3 或 b13(舍去)。故选 D。答案 D2(2016全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c。已知 a 5，c2，cosA23，则 b()A.2B.3C2 D3解析 因为 3sinA5sinB，所以由正弦定理可得 3a5b。因为 bc2a，所以 c2a35a75a。令 a5，b3，c7，则由余弦定理 c2
19、a2b22abcosC，得 49259235cosC，解得 cosC12，所以C23。故选 A。答案 A3(2016辽宁五校联考)设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别为a，b，c，若 bc2a,3sinA5sinB，则角 C 等于()A.23B.3 C.34D.56解析 a 3c，sinA 3sinC，A23，sinA 32，sinC12，又C 必为锐角，C6，ABC，B6，BC，bc，bc1。答案 14(2016北京高考)在ABC 中，A23，a 3c，则bc_。解析(1)cosDcos2B2cos2B113。因为D(0，)，所以 sinD2 23，所以ACD 的面积 S12ADCDsinD 2。5.(2016广东惠州三调)如图所示，在四边形 ABCD中，D2B，且 AD1，CD3，cosB 33。(1)求ACD 的面积；(2)若 BC2 3，求 AB 的长。(2)在ACD 中，AC2AD2DC22ADDCcosD12，所以 AC2 3。在ABC 中，AC2AB2BC22ABBCcosB12，把已知条件代入并化简得 AB24AB0，因为 AB0，所以 AB4。答案(1)2(2)4