1、21.2基本不等式新课程标准解读核心素养掌握基本不等式(a0，b0，当且仅当ab时等号成立)逻辑推理如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标它依据我国著名数学家赵爽在研究勾股定理的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车问题依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？知识点基本不等式1算术平均数、几何平均数对于正数a，b，把称为a，b的算术平均数；称为a，b的几何平均数2定理对任意a，bR，必有a2b22ab，当且仅当ab时等号成立推论：对任意a，b0，必有，当且仅当ab时等号成立上述定理和推论中的不等式称为基本不等式1不等式a2b22ab与的比较(1)两个不等式a2b2
2、2ab与成立的条件是不同的前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a0，b0即可)；(2)两个不等式a2b22ab和都是带有等号的不等式，都是“当且仅当ab时，等号成立”2基本不等式的常见变形(1)ab2；(2)ab(其中a0，b0，当且仅当ab时等号成立) 1下列不等式正确的是()Aa2B(a)2Ca22 D(a)22答案：C2若x0，则yx的最小值为_解析：x0，0，yx24，当且仅当x，即x2时，等号成立，故ymin4.答案：4对基本不等式的理解例1判断下列两个推导过程是否正确：(1)aR，a0，a2 4；(2)x，yR，xy0，2 2.解(1)由于aR，a0
3、，不符合基本不等式的使用条件，故(1)的推导是错误的(2)由xy0，知，均为负数，在推导过程中，将其转变为正数，后，符合基本不等式的使用条件，故(2)的推导正确应用基本不等式时，注意下列两个常见变形中等号成立的条件：(1)2(a，b同号)，当且仅当ab时取等号；2(a，b异号)，当且仅当ab时取等号；(2)a2(a0)，当且仅当a1时取等号；a2(a0)，当且仅当a1时取等号 跟踪训练下列结论正确的是()A若xR，且x0，则x4B当x0时，2C当x2时，x的最小值为2D当0x2时，x无最大值解析：选B对于选项A，当x0时，x4显然不成立；对于选项B，符合应用均值不等式的三个基本条件“一正，二定
4、，三相等”；对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x，则x1，均不满足x2；对于选项D，有最大值2.应用基本不等式证明不等式例2(链接教科书第38页例5、例6)已知a0，b0，c0，且abc1.求证：8.证明因为a0，b0，c0，且abc1，所以1，同理1，1.上述三个不等式两边均为正，由不等式同向同正可乘性，分别相乘，得8.当且仅当abc时，等号成立母题探究1(变设问)在本例条件下，求证：9.证明：因为a0，b0，c0，且abc1，所以332229.当且仅当abc时，等号成立2(变条件，变设问)本例条件变为“ab1，a0，b0”，求证9.证明：ab1，a0，b0，52549，当且仅当ab时
5、，等号成立9.利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”；(2)注意事项：多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，构成基本不等式模型再使用 跟踪训练(2019全国卷节选)已知a，b，c为正数，且满足abc1.证明：a2b2c2.证明：因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又abc1，故有a2b2c2abbcca.当且仅当ab
6、c1时，等号成立所以a2b2c2.利用基本不等式求最值例3(链接教科书第38页例7)(1)已知x2，则x的最小值为_；(2)若x0，y0，且x4y1，则的最小值为_解析(1)因为x2，所以x20，所以xx22226，当且仅当x2，即x4时，等号成立所以x的最小值为6.(2)因为x0，y0，x4y1，所以552 9，当且仅当，即x，y时取等号答案(1)6(2)9在利用基本不等式求最值时注意以下3点(1)要保证a，b0；(2)ab或ab是一个定值；(3)只有ab时，基本不等式中的等号才成立，只有等号成立时，才有最值 跟踪训练求下列式子的最值：(1)y3x2；(2)yx(3x)(0x3)解：(1)y
7、3x22，当且仅当3x2，即x时取等号，所以y3x2有最小值.(2)因为0x3，所以x0，3x0，所以yx(3x)，当且仅当x3x，即x时取等号所以yx(3x)(0x3)有最大值.1(多选)下列说法中正确的是()Aa2b22ab成立的条件是a0，b0Ba2b22ab成立的条件是a，bRCab2成立的条件是a0，b0Dab2成立的条件是ab0解析：选BC根据不等式成立的条件可知只有B、C正确，故选B、C.2若a0，b0，a2b5，则ab的最大值为()A25BC. D解析：选Da0，b0，a2b5，则aba2b，当且仅当a，b时取等号，故选D.3已知x0，则x2有()A最大值为0 B最小值为0C最大值为4 D最小值为4解析：选Cx0，x22224，当且仅当x，即x1时取等号4已知a0，b0，ab1，求证：8.证明：2，ab1，a0，b0，2224，8.