1、第五章 数 列 第一节 数列的概念与简单表示法【知识梳理】1.必会知识 教材回扣 填一填(1)数列的有关概念:概 念 含 义 数列 按照_排列的一列数 数列的项 数列中的_ 数列的通项 数列an的第n项an 通项公式 数列an的第n项an与n之间的关系能用公式_表示,这个公式叫做数列的通项公式 前n项和 数列an中,Sn=_叫做数列的前n项和 一定顺序 每一个数 an=f(n)a1+a2+an(2)数列的表示方法:列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点_画在平面直角坐标系中 公式法 通项 公式 把数列的通项使用_表示的方法 递推 公式 使用初始值a1和an+1=f(an)或a1,a
2、2和an+1=f(an,an-1)等表示数列的方法(n,an)公式(3)an与Sn的关系:若数列an的前n项和为Sn,_,n=1,_,n2.则an=S1 Sn-Sn-1(4)数列的分类:单 调 性 递增数列 nN*,_ 递减数列 nN*,_ 常数列 nN*,an+1=an 摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 周期性 周期数列 nN*,存在正整数常数k,an+k=an an+1an an+1an,所以数列an是递增数列.【一题多解】解答本题，你知道几种解法？解答本题，还有以下解法.因为 根据函数 为减函数.知(x0)为增函数.即 为增函数，则an为递增数列.n
3、n1a,n1n 1na,n2 n 1nnn1n(n1)(n1)(n2)2aa0,n2n1(n1)(n2)(n1)(n2)nn12a1n1n1 ，2y(x0)x12yx1 2y1(x0)x1 命题角度2：数列的周期性问题【典例5】已知数列an满足a1=1,a2=2,且an=(n3),则a2 015=.【解题提示】先根据已知推理得出数列的周期,再利用周期性求解.n 1n 2aa【规范解答】将a1=1,a2=2代入an=得a3=2,同理可得a4=1,a5=,a6=,a7=1,a8=2,故数列an是周期数列,周期为6,所以a2 015=a3356+5=a5=.答案:n 1n 2aa21aa121212
4、12悟技法 1.解决数列的单调性问题可用以下三种方法(1)用作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列an是递增数列、递减数列或是常数列.(2)用作商比较法，根据 (an0或an0)与1的大小关系进行判断.(3)结合相应函数的图象直观判断.n 1naa2.解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.通一类 1.(2015长沙模拟)在数列an中,a1=1,an+2=an+1-an(nN*),则a100等于()A.-1 B.1 C.6 D.100【解析】选A.因为an+2=an+1-an,所以an+3=an+2-an+1.两式相加得an+3=-an
5、,从而an+6=-an+3=an.即数列an的周期T=6,所以a100=a166+4=a4=a3-a2=(a2-a1)-a2=-a1=-1.2.(2015大连模拟)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn+1=2an,则使不 等式 成立的n的最大值为()A.2 B.4 C.8 D.16 222n 112naaa5 2 【解析】选B.当n=1时,2a1=S1+1,得a1=1,当n2时,2(an-an-1)=Sn-Sn-1=an,所以 所以an=2n-1.又因为a1=1适合上式,所以an=2n-1,所以 =4n-1,nn 1a2a ，2na所以数列 是以 =1为首项,以4为公比的等比数列,所以 所以
6、(4n-1)52n+1,即2n(2n-30)0,所以 b4b6 =100,当且仅当b4=b6时等号成立.n 1n11daan1b246bb()23.(2015南京模拟)定义运算符号:“”,这个符号表示若干个数 相乘.例如,可将123n记作 (nN*).记Tn=ai,其中ai 为数列an(nN*)中的第i项.(1)若an=2n-1,则T4=.(2)若Tn=n2(nN*),则an=.【解析】(1)an=2n-1,则a1=1,a2=3,a3=5,a4=7,所以T4=1357=105.ni 1ini 1(2)Tn=n2,当n2时,当n=1时,a1=T1=1,所以an=答案:(1)105(2)22nn2n 1Tnn()a.Tn1n121,n1,n(),n2.n121,n1,n(),n2n1【备考指导】1.准确转化:解决数列新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,将题目所给定义转化成题目要求的形式,切忌同已有概念或定义相混淆.2.方法选取:对于数列新定义问题,搞清定义是关键,仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意,从而找到恰当的解决方法.