1、1.2.3全称量词和存在量词新课程标准解读核心素养1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义数学抽象2.能正确使用存在量词对全称命题进行否定以及真假判别数学抽象、逻辑推理3.能正确使用全称量词对特称命题进行否定以及真假判别数学抽象、逻辑推理 观察下列语句：(1)x3；(2)2x1是整数；(3)对所有的xR，x3；(4)存在一个xR，2x1是整数问题比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有何关系？知识点一含有量词的命题1全称量词与全称命题全称量词“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等符号全称命题设语句p(x)中变量x的取值范围为集合M，则语句“对M的任一个元素x，有p
2、(x)成立”是命题，叫作全称命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“xM，p(x)”2.存在量词与特称命题存在量词“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等符号特称命题语句“存在M的某个元素x，使p(x)成立”也是命题，叫作特称命题形式“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“xM，p(x)”有的命题虽然不含全称量词，但实质上是全称命题，同理，有些命题虽然不含存在量词，但实质是特称命题1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称命题()(2)命题“三角形的内角和是180”是全称命题()(3)命题“梯
3、形有两边平行”不是全称命题()答案：(1)(2)(3)2下列语句是特称命题的是_(填序号)任意一个自然数都是正整数；存在整数n，使n能被11整除；若3x70，则x；有些函数为奇函数答案：知识点二含量词命题的否定1全称命题的否定：命题“xI，p(x)”的否定是“xI，綈p(x)”即綈(x，p(x)x，綈p(x)2特称命题的否定：命题“xI，p(x)”的否定是“xI，綈p(x)”即綈(x，p(x)x，綈p(x)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题如何对省略量词的命题进行否定？提示：对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或特称命题一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的
4、”或“对任意”，它的否定是特称命题反之亦然1命题“对任意的xR，x3x210”的否定是_答案：xR，x3x210 2.(2021泰州高一月考)命题“xR，x2x10”的否定是_答案：xR，x2x10全称命题与特称命题的判断例1(链接教科书第19页例6)判断下列语句是全称命题，还是特称命题：(1)凸多边形的外角和等于360；(2)矩形的对角线不相等；(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；(4)有些实数a，b能使|ab|a|b|；(5)方程3x2y10有整数解解(1)可以改为所有凸多边形的外角和都等于360，故为全称命题(2)可以改为所有矩形的对角线都不相等，故为全称命题(3)若
5、一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题(4)含存在量词“有些”，故为特称命题(5)可改写为：存在一对整数x，y，使3x2y10成立，故为特称命题判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路注意全称命题可能省略全称量词，特称命题的存在量词一般不能省略 跟踪训练 1.(多选)下列语句是特称命题的是()A有的无理数的平方是有理数B有的无理数的平方不是有理数C对于任意xZ，2x1是奇数D存在xR，2x1是奇数解析：选ABD因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A、B、D均为特称命题，选项C为全称命题2用量词符号“”或“”表述下列命题：(1)不等式x2x10恒成立；(2)当x
6、为有理数时，x2x1也是有理数；(3)对所有实数a，b，方程axb0恰有一个解；(4)有些整数既能被2整除，又能被3整除解：(1)xR，x2x10.(2)xQ，x2x1是有理数(3)a，bR，方程axb0恰有一解(4)xZ，x既能被2整除，又能被3整除.全称命题与特称命题的真假判断例2(链接教科书第19页例7)判断下列命题的真假：(1)xZ，x30.解(1)因为1Z，且(1)311，所以“xZ，x30”是假命题全称命题与特称命题真假判断的技巧(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立
7、即可；(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题 跟踪训练1(多选)下列结论中正确的是()AnN，2n25n2能被2整除是真命题BnN，2n25n2不能被2整除是真命题CnN，2n25n2不能被2整除是真命题DnN，2n25n2能被2整除是真命题解析：选CD当n1时，2n25n2不能被2整除，当n2时，2n25n2能被2整除，所以A、B错误，C、D正确故选C、D.2指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假：(1)xN，2x1是奇数；(2)存在一个xR，使0.解：(1)是全称命题，因为xN，2x1都是奇数，所以该
8、命题是真命题(2)是特称命题因为不存在xR，使0成立，所以该命题是假命题.全称命题与特称命题的否定例3(链接教科书第21页例8)(1)命题“存在实数x，使x1”的否定是()A对任意实数x，都有x1B不存在实数x，使x1C对任意实数x，都有x1D存在实数x，使x1(2)命题“xR，nN，使得nx2”的否定形式是()AxR，nN，使得nx2BxR，nN，使得nx2CxR，nN，使得nx2DxR，nN，使得nx2解析(1)利用特称命题的否定为全称命题可知，原命题的否定为：对于任意的实数x，都有x1.故选C.(2)由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“xR，nN，使得n
9、x2”的否定形式为“xR，nN，使得nx2”故选D.答案(1)C(2)D全称命题与特称命题的否定的思路(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论；(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定 跟踪训练1设xZ，集合A为偶数集，命题“xZ，2xA”的否定为()AxZ，2xABxZ，2xACxZ，2xA DxZ，2xA解析：选D全称命题的否定是特称命题，即xZ，2xA.故选D. 2.(2021苏州高一月考)
10、设有下面四个命题：p1：xR，x210；p3：xZ，|x|N；p4：xR，x22x30.其中真命题为()Ap1 Bp2Cp3 Dp4解析：选C对于A：xR，x211，所以该命题为假命题；对于B：当x0时，x|x|0，所以该命题为假命题；对于C：当xZ时，|x|均为非负整数，所以该命题为真命题；对于D：因为x22x3(x1)220，所以该命题为假命题3写出下列命题的否定并判断其真假：(1)有的四边形没有外接圆；(2)某些梯形的对角线互相平分；(3)被8整除的数能被4整除解：(1)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题(2)命题的否定：每一个梯形的对角线不互相平分，是真命题(3)命题的否定：
11、存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题.已知全称(特称)命题的真假求参数例4已知命题p：xR，2xx2m，命题q：xR，x22xm10，若命题p为假命题，命题q为真命题，求实数m的取值范围解因为命题p为假命题，所以命题p的否定为真命题，即命题“xR，2xx2m”为真命题则x22xm0有实根所以44m0，所以m1.若命题q：xR，x22xm10为真命题，则方程x22xm10有实根，所以44(m1)0，所以m2.所以m1且m2，所以m的取值范围为1，)已知全称(特称)命题的真假求参数的解题思路(1)已知全称命题的真假求参问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现 “恒
12、成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围；(2)已知特称命题的真假求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；反之，假设不成立解决此类问题时，应尽量分离参数 跟踪训练已知命题“xR，ax22x10”为假命题，则实数a的取值范围是_解析：题中的命题为全称命题，因为其是假命题，所以其否定“xR，ax22x10”为真命题，即关于x的方程ax22x10有实数根所以a0或即a0或a1且a0，所以a1.答案：(，11下列结论正确的个数是()命题“所有的四边形都是
13、矩形”是特称命题；命题“xR，x220”是全称命题；命题“xR，x24x40”的否定为“xR，x24x40”A0 B1C2 D3解析：选C命题“所有的四边形都是矩形”是全称命题，故错误；命题“xR，x222解析：选BA是全称命题B为特称命题，当x0时，x20成立，所以B正确因为()0，所以C为假命题对于任何一个负数x，都有x2”的否定形式是()AxN，x3x2 BxN，x3x2CxN，x3x2”的否定形式是特称命题“xN，x3x2”故选D.4命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是()AxR，|x|0BxR，|x|0CxR，|x|0DxR，|x|0解析：选C由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.5已知命题p：1x3，都有mx，命题q：1x3，使mx，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围解：由题意知命题p，q都是真命题由1x3，都有mx都成立，只需m大于或等于x的最大值，即m3.由1x3，使mx成立，只需m大于或等于x的最小值，即m1，因为两者同时成立，故实数m的取值范围为m|m3m|m1m|m3