1、第六章不等式、推理与证明第四节基本不等式微知识 小题练微考点 大课堂微考场 新提升2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。2014，福建卷，13,4分(基本不等式的实际应用)2013，天津卷，14,5分(基本不等式求最值)2013，山东卷，12,5分(基本不等式求最值)从近五年的高考试题来看，利用基本不等式求最值，是高考命题的热点，题型多样，难度为中低档。主要考查最值、转化与化归思想。微知识 小题练 教材回扣 基础自测(3)其中ab2 叫做正数 a，b 的，ab叫做正数 a，b 的_。2基本不等式 abab2 自|
2、主|排|查 1重要不等式 a2b2(a，bR)(当且仅当时等号成立)。几何平均数2abab(1)基本不等式成立的条件：；(2)等号成立的条件：当且仅当时等号成立；a0，b0ab算术平均数3利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果 x，y(0，)，且 xyP(定值)，那么当时，xy有最小值 2 P。(简记：“积定和最小”)(2)如果 x，y(0，)，且 xyS(定值)，那么当 xy 时，xy 有最大值S24。(简记：“和定积最大”)xy4常用的几个重要不等式(1)ab_(a0，b0)。(2)ab_(a，bR)。(3)ab22a2b22(a，bR)。(4)baab(a，b 同号)。以上不等式等号
3、成立的条件均为 ab。2 2 abab22微点提醒1应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”。忽略某个条件，就会出错。2对于公式 ab2 ab，abab22，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了 ab 和 ab 的转化关系。3在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式。若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致。小|题|快|练 一、走进教材 1(必修5P100A组T1(2)改编)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80 B77C81 D82【解析】xyxy22182281，当且仅当 xy9 时等号成立。故选 C。【答案】C 2(必修5
4、P100练习T3改编)若把总长为20 m的篱芭围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_。【解析】设矩形的一边为 x m，则另一边为12(202x)(10 x)m，所以 Sx(10 x)(x5)225(0 x0，b0，且 ab4，则下列不等式恒成立的是()A.1ab14B.1a1b1C.ab2 Da2b28【解 析】当 x2 时，x 20，f(x)(x 2)1x2 22 x2 1x224，当且仅当 x2 1x2(x2)，即 x3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，x3，即 a3，故选 C。【答案】C3若函数 f(x)x 1x2(x2)在 xa 处取最小值，则 a 等于()A1 2B1 3C
5、3 D4【解析】x 4x1x1 4x11415(x1)。当且仅当 x1 4x1，即 x3 时等号成立。【答案】54若 x1，则 x 4x1的最小值为_。【解析】由已知条件 lgxlgy1，可知 xy10。则2x5y210 xy2，故2x5y min2，当且仅当 2y5x 时取等号。又 xy10，即 x2，y5 时等号成立。【答案】25已知 x0，y0，lgxlgy1，则 z2x5y的最小值为_。微考点 大课堂 考点例析 对点微练 考点一利用基本不等式证明不等式【典例 1】(1)设 f(x)lnx,0ab，若 pf(ab)，qf ab2，r12(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()Aqr
6、pCprq(2)已知 x，y，z 是互不相等的正数，且 xyz1，求证：1x11y11z1 8。【解析】(1)由条件可得 pf(ab)ln(ab)1212ln(ab)12(lnalnb)，r12(f(a)f(b)12(lnalnb)p，由不等式的性质：在 0a ab，且函数 f(x)lnx是增函数，所以 pf(ab)2 yzx，1y11yy xzy 2 xzy，1z11zz xyz 2 xyz，又 x，y，z 为正数，由，得1x11y11z1 8。【答案】(1)C(2)见解析 反思归纳 利用基本不等式证明不等式的方法技巧 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用
7、基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等。【证明】由于 a，b 均为正实数，所以 1a2 1b22 1a2 1b2 2ab，当且仅当 1a2 1b2，即 ab 时等号成立，又因为 2abab2 2abab2 2，当且仅当 2abab 时等号成立，所以 1a2 1b2ab 2abab2 2，当且仅当 1a2 1b2，2abab，即 ab4 2时取等号。【变式训练】设 a，b 均为正实数，求证：1a2 1b2ab2 2。考点二利用基本不等式求最值多维探究角度一：配凑法求最值【典例 2】(1)已知 x1)
8、的最小值为_。【解析】(1)因为 x0，则 f(x)4x214x554x154x 3231。当且仅当 54x154x，即 x1 时，等号成立。故 f(x)4x214x5的最大值为 1。(2)yx22x1 x22x12x23x1x122x13x1(x1)3x122 32(x1)。当且仅当 x1 3x1，即 x 31 时，等号成立。【答案】(1)1(2)2 32【解析】a0，b0，ab1，1a1baba abb 2baab22 baab4，即1a1b的最小值为 4，当且仅当 ab12时等号成立。【答案】4角度二：常数代换法求最值【典例 3】已知 a0，b0，ab1，则1a1b的最小值为_。【解析】
9、11a 11b 1aba1abb2ba 2ab 52baab 549。当且仅当 ab12时，取等号。【答案】9【母题变式】1.本典例的条件不变，则11a 11b 的最小值为_。【解析】由1a1b4，得 14a 14b1。ab14a 14b(ab)12 b4a a4b122 b4a a4b1。当且仅当 ab12时取等号。【答案】12本典例的条件和结论互换即：已知 a0，b0，1a1b4，则 ab的最小值为_。角度三：消元法求最值【典例4】已知正实数x，y满足xy2xy4，则xy的最小值为_。【解析】因为 xy2xy4，所以 x4yy2。由 x4yy20，得2y0，则 0y4，所以 xy4yy2y
10、 6y2(y2)32 63，当且仅当 6y2y2(0y0，故yx182 258，当且仅当 x5 时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为 8 万元。【答案】8微考场 新提升 考题选萃 随堂自测 解析 因为 a，bR 时，都有 a2b22ab(ab)20，即 a2b22ab，而abba2ab0，所以“a2b22ab”是“abba2”的必要不充分条件。故选 B。答案 B1设非零实数 a，b，则“a2b22ab”是“abba2”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 因为 lg2xlg8ylg2，所以 x3y1，所以1x 13y1x 13y(x3y)23yx
11、x3y4，当且仅当3yx x3y，即 x12，y16时，取等号。故选 C。答案 C2(2017青岛模拟)已知 x0，y0，lg2xlg8ylg2，则1x 13y的最小值是()A2 B2 2C4 D2 3解析 因为直线xayb1(a0，b0)过点(1,1)所以1a1b1，所以 11a1b2 1a1b 2ab(当且仅当 ab2 时取等号)，所以 ab2。又ab2 ab(当且仅当 ab2 时取等号)，所以 ab4(当且仅当 ab2 时取等号)。故选 C。答案 C3若直线xayb1(a0，b0)过点(1,1)，则 ab 的最小值等于()A2 B3C4 D5解析 因为xx24 1x4x，又 x0 时，x4x2 x4x4，当且仅当 x4x，即 x2 时取等号，所以 00，则xx24的最大值为_。5已知a，bR，且ab50，则|a2b|的最小值是_。解析 依题意得 a，b 同号，于是有|a2b|a|2b|2|a|2b|2 2|ab|2 10020，当且仅当|a|2b|10 时取等号，因此|a2b|的最小值是 20。答案 20
