1、第五章数列第二节等差数列微知识 小题练微考点 大课堂微考场 新提升2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系。2016，全国卷，3,5分(等差数列基本量的计算)2016，全国卷，17,12分(等差数列通项公式、求和)2016，北京卷，12,5分(等差数列的基本量计算)2016，浙江卷，6,5分(等差数列的创新应用)1.以考查等差数列的通项、前n项和及性质为主，等差数列的证明也是考查的热点；2.题型主要以选择题、填
2、空题的形式考查等差数列的基本运算与简单性质。解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查。微知识 小题练 教材回扣 基础自测Aab2(2)等差中项若三个数 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的等差中项，且有_。自|主|排|查 1等差数列的有关概念(1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的差等于_，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母_表示，定义表达式 _或_。同一个常数2dan1and(常数)(nN*)anan1d(常数)(nN*，n2)Snna1an2na1nn12d 2等差数列的有关公式(1)等差数列的通
3、项公式 如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是_。(2)等差数列的前n项和公式 设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn_或_。ana1(n1)d 3等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam_(n，mN*)。(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则_。(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为_。(4)若an，bn是等差数列，公差为d，则panqbn也是等差数列。(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为_的等差数列。(nm)dakalaman2dmd(6)数列 Sm，S2mSm，S3m
4、S2m，也是等差数列。(7)S2n1(2n1)an。(8)若 n 为偶数，则 S 偶S 奇nd2；若 n 为奇数，则 S 奇S 偶a 中(中间项)。微点提醒 1用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”。2等差数列的前n项和公式有两种表达形式，要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式。3等差数列与函数的关系：(1)通项公式：当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d。若公差d0，则为递增数列，若公差d0，a7a100，所以a80。又a7a10a8a90，所以a90
5、。故当n8时，其前n项和最大。【答案】8微考点 大课堂 考点例析 对点微练 【典例1】(2016广州联考)已知等差数列an的前n项和为Sn，且a3a64，S55。(1)求数列an的通项公式；(2)若Tn|a1|a2|a3|an|，求T5的值和Tn的表达式。考点一等差数列的基本运算【解 析】(1)设 等 差 数 列 an 的 公 差 为 d，由 题 意 知2a17d45a1542 d5，解得a15d2，故 an2n7(nN*)。(2)由 an2n70，得 n72，即 n3，所以当 n3 时，an2n70。易知 Snn26n，S39，S55，所以 T5(a1a2a3)a4a5S3(S5S3)S52
6、S313。当 n3 时，TnSn6nn2；当 n4 时，TnS3(SnS3)Sn2S3n26n18。故 Tn6nn2，n3n26n18，n4。【答案】(1)an2n7(nN*)(2)T513Tn6nn2，n3n26n18，n4 反思归纳 1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解。2等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，已知其中三个就能求出另外两个，体现了用方程组解决问题的思想。【变式训练】(1)(2016北京高考)已知an为等差数列，Sn为其前n项和。若a16，a3a50，则S6_。(2)(2016江
7、苏高考)已知an是等差数列，Sn是其前n项和。若a1a3，S510，则a9的值是_。【解析】(1)设等差数列an的公差为 d，由已知得a16，2a16d0，解得a16，d2，所以 S66a11265d3615(2)6。(2)设等差数列an的公差为 d，则 a1a22a1(a1d)23，S55a110d10，解得 a14，d3，则 a9a18d42420。【答案】(1)6(2)20考点二等差数列的判定与证明【典例2】(2016兰州模拟)已知数列an中，a1 35，an21an1(n2，nN*)，数列bn满足bn1an1(nN*)。(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的通项公式an。
8、【解析】(1)证明：因为 an2 1an1(n2，nN*)，bn1an1。所以 n2 时，bnbn11an11an1112 1an1 11an11an1an111an111。又 b11a1152，所以数列bn是以52为首项，1 为公差的等差数列。(2)由(1)知，bnn72，则 an11bn122n7。【答案】(1)数列bn是以52为首项，1 为公差的等差数列(2)an122n7 反思归纳 等差数列的四种判断方法：(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列。(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列。(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列。(4)前
9、n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列。【解析】(1)证明：Snanan12(nN*)，Sn1an1an112(n2)。得 ana2nana2n1an12(n2)，整理得(anan1)(anan1)anan1(n2)。【变式训练】已知数列an的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，且Snanan12(nN*)。(1)求证：数列an是等差数列；(2)设 bn1Sn，Tnb1b2bn，求 Tn。数列an的各项均为正数，anan10，anan11(n2)。当 n1 时，a11，数列an是首项为 1、公差为 1 的等差数列。(2)由(1)得 Snn2n2，bn2n2n2nn121n 1
10、n1，Tn2112 1213 1314 1n 1n1 21 1n1 2nn1。【答案】(1)见解析(2)Tn 2nn1【典例3】(1)(2015全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5()A5 B7 C9 D11(2)设等差数列an的前n项和为Sn，且S312，S945，则S12_。(3)已知an，bn都是等差数列，若a1b109，a3b815，则a5b6_。考点三等差数列的性质及应用【解析】(1)解法一：a1a52a3，a1a3a53a33，a31，S55a1a525a35。故选 A。解法二：a1a3a5a1(a12d)(a14d)3a16d3，a12d1，S55a1
11、542 d5(a12d)5。故选 A。(2)因为an是等差数列，所以S3，S6S3，S9S6，S12S9成等差数列，所以2(S6S3)S3(S9S6)，即2(S612)12(45S6)，解得S63；又2(S9S6)(S6S3)(S12S9)，即2(453)(312)(S1245)，解得S12114。(3)因为an，bn都是等差数列，所以2a3a1a5,2b8b10b6，所以2(a3b8)(a1b10)(a5b6)，即2159(a5b6)，解得a5b621。【答案】(1)A(2)114(3)21反思归纳 在等差数列an中，数列 Sm，S2mSm，S3mS2m 也成等差数列；Snn 也是等差数列。
12、等差数列的性质是解题的重要工具。【变式训练】(1)(2017银川模拟)已知an是等差数列，a415，S555，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为()A4 B.14 C4 D14(2)已知等差数列an的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为()A10 B20 C30 D40【解析】(1)S55a355，a311，ka4a343 151114。故选 C。(2)设这个数列有 2n 项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于 nd，即 25152n，故 2n10，即数列的项数为 10。故选 A。【答案】(1)C(2)A【典例4】
13、在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值。考点四等差数列前n项和的最值问题母题发散【解析】a120，S10S15，10201092d152015142d，d53。解法一：由 an20(n1)53 53n653。得 a130。即当 n12 时，an0，当 n14 时，an0。当 n12 或 13 时，Sn 取得最大值，且最大值为 S12S1312201211253 130。解法二：Sn20nnn12 5356n21256 n56n25223 12524。nN*，当n12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12S13130。
14、解法三：由S10S15得a11a12a13a14a150。5a130，即a130。当n12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12S13130。【答案】当n12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12S13130【母题变式】若将本典例条件“a120”改为“a120”，其他条件不变，求当n取何值时，Sn取得最小值，并求出最小值。【解析】由 S10S15，得 a11a12a13a14a150，a130。又 a120，a120，当 n12 或 13 时，Sn 取得最小值，最小值 S12S1313a1a132130。【答案】当 n12 或 13 时，Sn取得最小值，最小值 S12S13130。反思
15、归纳 求等差数列前 n 项和 Sn 最值的两种方法：函数法：利用等差数列前 n 项和的函数表达式 Sn=an2+bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解。邻项变号法：a.当a10，d0时，满足am0，am10的项数m使得Sn取得最大值Sm；b.当a10时，满足am0，am10的项数m使得Sn取得最小值Sm。【拓展变式】设 Sn 为等差数列an的前 n 项和，(n1)SnnSn1(nN*)。若a8a71，则()ASn 的最大值是 S8BSn 的最小值是 S8CSn 的最大值是 S7DSn 的最小值是 S7【解析】由条件得 Snn Sn1n1，即 na1an2n n1a1an12n1，所以
16、anan1，所以等差数列an为递增数列。又a8a70，a70，即数列an前7项均小于0，第8项大于零，所以Sn的最小值为S7。故选D。【答案】D微考场 新提升 考题选萃 随堂自测 1已知数列an为等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 a36，S312，则公差 d 等于()A1 B.53 C2 D3 解析 由已知得S33a212，即a24，da3a2642。故选C。答案 C 2(2016长春二模)已知等差数列an的前n项和为Sn，满足a2 016S2 0162 016，则a1等于()A2 017 B2 016 C2 015 D2 014解析 S2 0162 016a1a2 01621 008(a
17、1a2 016)2 016，a1a2 0162。又a2 0162 016，a12 014。故选 D。答案 D解析 a2a4a6a8a105a680，a616。a712a82a7a82a628。答案 C3(2016临沂质检)在等差数列an中，若 a2a4a6a8a1080，则 a712a8 的值为()A4 B6 C8 D104已知在数列an中，a32，a51，若11an 是等差数列，则 a11等于_。解析 记 bn11an，则 b313，b512，数列bn的公差为121213 112，b116，bnn112，即11ann112。an11nn1，故 a110。答案 0 5已知Anx|2nx2n1且x7m1，m，nN，则A6中各元素的和为_。解析 A6x|26x27且x7m1，mN，A6的元素x各数组成一首项为71，公差为7的等差数列。7178127719982 7891。答案 891