1、山东省泰安第二中学2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题（含解析）第卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别解对数不等式，一元二次不等式求出集合A,B，直接进行交集运算.【详解】因为，或，所以.故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算，涉及对数不等式、一元二次不等式，属于基础题.2. 已知复数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数除法、加法运算，化简求得，再求得【详解】，故.故选：B【点睛】本小题主
2、要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.3. 小明的妈妈为小明煮了 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件，事件，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】由题意，P（A）=，P（AB）=，P（B|A）=，故选B4. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的定义域及单调性，可得的关系，结合充分必要条件性质即可判断.【详解】若，根据对数函数的定义域及单调性可知，可得，因而具有充分关系；若，则，当时对数函数无意义，因而不具有必要性；综上可知“”是“
3、”充分不必要条件故选：A.【点睛】本题考查了充分必要条件的定义域判断，对数函数与图像性质的应用，属于基础题.5. 如图，表示三个开关，设在某段时间内它们正常工作的概率分别是0.9、0.8、0.7，那么该系统正常工作的概率是（ ）A. 0.994B. 0.686C. 0.504D. 0.496【答案】B【解析】【分析】由题中意思可知，当、元件至少有一个在工作，且元件在工作时，该系统正常公式，再利用独立事件的概率乘法公式可得出所求事件的概率【详解】由题意可知，该系统正常工作时，、元件至少有一个在工作，且元件在元件，当、元件至少有一个在工作时，其概率为，由独立事件的概率乘法公式可知，该系统正常工作的
4、概率为，故选B【点睛】本题考查独立事件的概率乘法公式，解题时要弄清楚各事件之间的关系，在处理至少等问题时，可利用对立事件的概率来计算，考查计算能力，属于中等题6. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可知曲线关于对称，利用曲线的对称性求.【详解】由题意可知，正态分布曲线关于对称， ,根据对称性可知，,.故选：C【点睛】本题考查正态分布在指定区间的概率，正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线对称，及曲线与轴之间的面积为1.(2)利用原则求概率问题时，要注意把给出的区
5、间或范围与正态变量的进行对比联系，确定它们属于，中的哪一个.7. 某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2、0.4、0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为（ ）A. 0.23B. 0.2C. 0.16D. 0.1【答案】A【解析】每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为,未命中敌机的概率为,且各次射击相互独立，若射击一次就击落敌机，则他击中利敌机的机尾，故概率为；若射击次就击落敌机，则他次都击中利敌机的机首，概率为；或者第一次没有击中
6、机尾、且第二次击中了机尾，概率为 ,若至多射击两次，则他能击落敌机的概率为 ,故选.8. 若函数 在区间 内单调递增，则实数 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，问题转化为a- ，而g（x）=在（，2）递增，求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可【详解】f（x）=+2ax，若f（x）在区间（，2）内存在单调递增区间，则f（x）0在x（，2）恒成立，而g（x）=在（，2）递增，故，故选D【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数有解以及函数的最值的求法，可以用变量分离的方法求参数的范围，也考查转化思想以及计算能力二、多项选择题：本题共4小题，每小题
7、5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 一组数据，的平均值为7，方差为4，记，的平均值为a，方差为b，则（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据所给平均数与方差，可由随机变量均值与方差公式求得，进而求得平均值为a，方差为b.【详解】设，数据，的平均值为7，方差为4，即，由离散型随机变量均值公式可得所以,因而，的平均值为；由离散型随机变量的方差公式可得所以,因而，的方差为，故选：BD.【点睛】本题考查了离散型随机变量均值与方差公式的简单应用，属于基础题.10. 研究变量得到一组样本数据，进行回
8、归分析，以下说法正确的是（ ）A. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；B. 用相关指数来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好；C. 在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位；D. 若变量和之间的相关系数为，则变量和之间的负相关很强.【答案】ACD【解析】【分析】可用残差平方和判断模型的拟合效果，可判断A；由相关指数来刻画回归效果，越大说明拟合效果越好，可判断B；由线性回归直线的方程特点，可判断C；由相关系数的绝对值趋向于1，可判断D【详解】解：A可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故A正确；B用相关指数来刻画回归效果，越大说
9、明拟合效果越好，故B错误；C在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位，故C正确；D若变量和之间的相关系数为，的绝对值趋向于1，则变量和之间的负相关很强，故D正确故选：ACD【点睛】本题考查命题真假判断，主要是线性回归直线的特点和线性相关性的强弱、相关指数和系数的大小和模型的拟合度，考查判断能力，属于基础题11. 已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ）A. 展开式中奇数项的二项式系数和为256B. 展开式中第6项的系数最大C. 展开式中存在常数项D. 展开式中含项的系数为45【答案】BCD【解析】
10、【分析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,由展开式的各项系数之和为1024可得,则二项式为,易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同,利用二项式系数的对称性判断A,B；根据通项判断C,D即可.【详解】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,又展开式的各项系数之和为1024,即当时,所以,所以二项式为,则二项式系数和为,则奇数项的二项式系数和为,故A错误；由可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,因为与的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确；若展开式中存在常数项,由通项可得,解得,故C
11、正确；由通项可得,解得,所以系数为,故D正确,故选: BCD【点睛】本题考查二项式的定理的应用,考查系数最大值的项,考查求指定项系数,考查运算能力.12. 已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=1，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（ ）A. 函数g(x)在(1，+)上为单调递增函数B. x=1是函数g(x)的极小值点C. 函数g(x)至多有两个零点D. 当x0时，不等式 恒成立【答案】ABC【解析】【分析】对函数求导,利用可得的正负，即函数的单调性，判断出选项AB；讨论的符号，结合单调性得出函数的零点个数，判断出选项C；利用在的单调性和最值，判断出选项D【详解】函数，则，当时，故在
12、单调递增，A正确；当时，故在单调递减，故x=1是函数g(x)的极小值点，B正确；若，则有两个零点，若，则有一个零点，若，则没有零点，故C正确；在单调递减，则在单调递减，可知时，故，即，D错误；故选：ABC【点睛】本题考查导数的应用，考查利用导数判断函数的单调性和极值，判断函数的零点个数，考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题第卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种.(用数字作答)【答案】240【解析】试题分析：由题设知，必有两个班去同一工厂，所以把
13、5个班分成四组，有种分法，每一种分法对应去4个工厂的全排列因此，共有240（种）考点：排列组合14. 函数的极大值为_.【答案】【解析】【分析】求得函数的定义域，再对其求导，令，解得驻点，说明单调性，即可找到并求得极大值.【详解】因函数，其定义域为求其求导令，得所以当时，函数单调递增；当时，函数单调递减所以时，由极大值故答案为：【点睛】本题考查利用导数求函数的极大值，其过程优先确定定义域，求导并令导函数等于零得到驻点，分析驻点左右单调性，进而求得极值，属于较难题.15. 若随机变量的分布列如下表，且，则的值为_.02【答案】【解析】【分析】利用分布列求出，利用期望求解，然后求解方差即可【详解】
14、解：由题意可得：，解得，因为，所以：，解得故答案为：【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、方差的求法，属于中档题.16. 命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由原命题为假可知其否定为真，结合二次函数性质知，解不等式求得结果.【详解】若原命题为假命题，则其否定“，”为真命题，解得：的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够利用原命题与其否定之间的真假关系将问题转化为恒成立的问题.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设为复数的共轭复数，满足若为纯虚数，求；若为实数，求【答
15、案】；.【解析】【分析】设，则，利用，求出，然后求解复数；设，则，利用，求出，化简，通过为实数，求出，然后求解.【详解】解：设，则，因为，则，即，所以，所以.设，则，因，则，即 因为为实数，所以.因为，所以，所以.【点睛】本题考查复数代数形式混合运算，复数的模的求法，共轭复数的应用，属于基础题.18. （1）若的展开式中项的系数为20，求的最小值. （2）已知 ，若 ，求 .【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）直接利用二项式定理的通项公式，求出项的系数为20，得到关系，然后利用基本不等式求解最小值即可（2）令等式中的求出展开式的各项系数和，令求出展开式的常数项；利用二项展开式的通项公
16、式求出；列出方程求出【详解】解：（1）的展开式的通项公式为，令，求得，故的展开式中项的系数为，即，当且仅当时等号成立（2）令得即即令得解得【点睛】本题考查在解决二项展开式的系数和问题时常用的方法是赋值法、基本不等式的应用，考查解决展开式的特定项问题是常用的方法是利用二项展开式的通项公式，属于中档题19. 生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.（1）完成下列列联表:生二孩不生二孩合计头
17、胎为女孩60头胎为男孩合计200（2）判断能否有的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；附：0,150.050.010.0012.0k2.0723.8416.63510.828(其中).【答案】（1）填表见解析；（2）有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关【解析】【分析】（1）根据头胎为女孩的频率为0.5，得到头胎为女孩的总户数，再由生二孩的概率为0.525，得到生二孩的总户数，完成22列联表即可.（2）由22列联表中的数据，代入求得，再与临界表对比下结论.【详解】（1）因为头胎为女孩的频率为0.5，所以头胎为女孩的总户数为.因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为.22
18、列联表如下：生二孩不生二孩合计头胎为女孩6040100头胎为男孩4555100合计10595200（2）由22列联表得：，故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.【点睛】本题主要考查独立性检验，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20. 已知函数在时有最大值1和最小值0，设.（1）求实数的值；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】由题意可分析知在区间上是增函数，故，由此解得a、b的值；不等式可化为在上恒成立恒成立，换元法从而求得k的取值范围；【详解】函数，若时，无最大值最小值，不符合题意，所以，所以在区间上是增函数，故，解得由已知可得，则
19、，所以不等式，转化为在上恒成立，设，则，即，在，上恒成立，即，当时，取得最大值，最大值为，则，即所以k的取值范围是【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题问题，考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用，属于难题21. 公元2020年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.为了尽快遏制住病毒的传播，我国科研人员，在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验.为了研究小白鼠连续接种疫苗后出现症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验.该试验的设计为：对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；连续接
20、种三天为一个接种周期；试验共进行3个周期.已知每只小白鼠接种后当天出现症状的概率均为，假设每次接种后当天是否出现症状与上次接种无关.（1）若某只小白鼠出现症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率；（2）若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试验.设一只小白鼠参加的接种周期为，求的分布列及数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出实验至多持续一个接种周期的概率；（2）设事件为“在一个接种周期内出现2次或3次症状”，分别求出，由此能求出的分布列和数学
21、期望.【详解】（1）已知每只小白鼠接种后当天出现症状的概率均为，且每次试验间相互独立，所以，一只小白鼠第一天接种后当天出现症状的概率为 在第二天接种后当天出现症状的概率为：能参加第三天试验但不能参加下一个接种同期的概率为：，一只小白鼠至多参加一个接种周期试验的概率为：；（2）设事件为“在一个接种周期内出现2次或3次症状”，则；随机变量可能的取值为1，2，3，则；所以的分布列为123随机变量的数学期望为：【点睛】本题考查（1）相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式（2）随机变量的分布列及数学期望，考查计算能力，属于中等题型.22. 已知函数，.（1）设，求在上的最大值；（2）设，若的极大
22、值恒小于0，求证：.【答案】（1）最大值（2）证明见解析【解析】【分析】对函数求导得，得到的单调区间，分类讨论即可得最大值，的极大值恒小于0可得，从而得到的最大值，构造函数即可证明【详解】由已知，当时，当时，从而的单调递增区间是，单调递减区间是，从而，于是当时，所以当时，所以；综上所得依题意，则，因为存在极大值，则关于x的方程有两个不等的正根，不妨，则，则，且，设列设表如下：x0000单调递增极大值单调递减极小值单调递增从而，又，从而对恒成立，设，则，所以在上递增，从而，所以，设，则，又，若，若，从而，即【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值与最值，利用导数研究存在或恒成立问题，利用导数证明不等式，属于难题