1、课时作业11函数与方程一、选择题(每小题5分，共40分)1函数f(x)sinxx零点的个数是()A0B1C2 D3解析：f(x)cosx10，f(x)单调递减，又f(0)0，f(x)sinxx的零点是唯一的答案：B2(2014上饶模拟)设f(x)exx4，则函数f(x)的零点位于区间()A(1,0) B(0,1)C(1,2) D(2,3)解析：f(x)exx4，f(x)ex10，函数f(x)在R上单调递增对于A项，f(1)e1(1)45e10，f(0)30，A不正确，同理可验证B、D不正确对于C项，f(1)e14e30，f(1)f(2)0，故选C.答案：C3(2014延安期末)函数f(x)2x
2、a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3) B(1,2)C(0,3) D(0,2)解析：由条件可知f(1)f(2)0，即(22a)(41a)0，即a(a3)0，解得0a0，f(3)0，f(5)0，所以在区间2,3，3,4，4,5内有零点答案：C5函数f(x)log2x的零点所在的区间为()A. B.C(1,2) D(2,3)解析：flog2230，f(1)log21110故函数的零点所在区间为(1,2)答案：C6函数f(x)xx的零点个数是()A0 B1C2 D3解析：函数f(x)xx的零点个数，即方程xx0的根的个数，亦即函数yx的图像与函数yx图像的交点个数，画出
3、两者的图像(如图)，可得交点的个数为1.答案：B7(2014河北衡水模拟)已知函数f(x)exx，g(x)lnxx，h(x)lnx1的零点依次为a，b，c，则()Aabc BcbaCcab Dbac解析：eaa，a0，0b1，故选A.答案：A8(2014湖北黄冈一模)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且x0,1时，f(x)x，则方程f(x)log3|x|的解有()A2个 B3个C4个 D多于4个解析：若函数f(x)满足f(x2)f(x)，则函数f(x)是以2为周期的周期函数，又函数是定义在R上的偶函数，结合当x0,1时，f(x)x，在同一坐标系中画出函数yf(x)与函数ylo
4、g3|x|的图像如图所示：由图可知函数yf(x)与函数ylog3|x|的图像共有4个交点，即方程f(x)log3|x|的解的个数是4，故选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)9(2014大同一模)关于x的实系数方程x2ax2b0的一根在区间0,1上，另一根在区间1,2上，则2a3b的最大值为_解析：令f(x)x2ax2b，根据题意知函数在0,1，1,2上各存在一零点，结合二次函数图像可知满足条件：在直角坐标系中作出满足不等式组的点(a，b)所在的可行域如图，问题转化为确定线性目标函数z2a3b的最优解结合图形可知当a3，b1时，目标函数取得最大值9.答案：910已知函数f(x)g(x
5、)f(x)xa，若函数g(x)有两个零点，则实数a的取值范围为_解析：设n为自然数，则当n0时，函数f(x)的图像是以1为周期重复出现而函数yxa是一簇平行直线，当它过点(0,1)(此时a1)时与函数f(x)的图像交于一点，向左移总是一个交点，向右移总是两个交点，故实数a的取值范围为a0)(1)作出函数f(x)的图像；(2)当0ab，且f(a)f(b)时，求的值；(3)若方程f(x)m有两个不相等的正根，求m的取值范围解：(1)如图所示(2)f(x)故f(x)在(0,1上是减函数，而在(1，)上是增函数，由0ab且f(a)f(b)，取0a1b，且11，2.(3)由函数f(x)的图像可知，当0m
6、0，a，cR)(1)设ac0.若f(x)c22ca对x1，)恒成立，求c的取值范围；(2)函数f(x)在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？解：(1)因为二次函数f(x)3ax22(ac)xc的图像的对称轴为x，由条件ac0，得2aac，故c22ca对x1，)恒成立，则f(x)minf(1)c22ca，即acc22ca，得c2c0，所以0c1.(2)若f(0)f(1)c(ac)0，则c0，或a0，f(1)ac0，则ac0.因为二次函数f(x)3ax22(ac)xc的图像的对称轴是x.而f0，所以函数f(x)在区间和内各有一个零点，故函数f(x)在区间(0,1)内有两个零点14已知二
7、次函数f(x)x216xq3.(1)若函数在区间1,1上存在零点，求实数q的取值范围；(2)是否存在常数t(t0)，当xt,10时，f(x)的值域为区间D，且区间D的长度为12t(视区间a，b的长度为ba)解：(1)函数f(x)x216xq3的对称轴是x8，f(x)在区间1,1上是减函数函数在区间1,1上存在零点，则必有即20q12.(2)0t10，f(x)在区间0,8上是减函数，在区间8,10上是增函数，且对称轴是x8.当0t6时，在区间t,10上，f(t)最大，f(8)最小，f(t)f(8)12t，即t215t520，解得t，t；当6t8时，在区间t,10上，f(10)最大，f(8)最小，f(10)f(8)12t，解得t8；当8t10时，在区间t,10上，f(10)最大，f(t)最小，f(10)f(t)12t，即t217t720，解得t8,9，t9.综上可知，存在常数t，8,9满足条件