1、第二章 函数、导数及其应用第六节对数与对数函数微知识 小题练微考点 大课堂微考场 新提升微专题 巧突破2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点；3.知道对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数 yax 与对数函数 ylogax 互为反函数(a0，且 a1)。2016，全国卷，8,5 分(对数函数的性质)2016，浙江卷，12,6分(对数函数的运算)2015，全国卷，13,5 分(对数函数的性质)20
2、15，全国卷，5,5 分(对数运算)较 少 直 接考查(若考查，则幂和对 数 的 大小 比 较 是热点)，间接 考 查 主要 体 现 在导 数 应 用中。微知识 小题练 教材回扣 基础自测 自|主|排|查 1对数的概念(1)对数的定义 如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_，其中_叫做对数的底数，_叫做真数。(2)几种常见对数xlogaNN对数形式特点记法一般对数底数为a(a0，且a1)_常用对数底数为_ _自然对数底数为_ _logaNlgNlnN10ea 2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质 alogaN_；logaaN_(a0，且a1)。(2)对数的重要公式
3、NN换底公式：(a，b 均大于零，且不等于 1)；logbNlogaNlogablogab 1logba，推广 logablogbclogcd_。logad(3)对数的运算法则 如果a0，且a1，M0，N0，那么 loga(MN)_；logaMn _(nR)；logaMlogaNlogaMN_；logaMlogaNnlogaMlogamMn_。nmlogaM 3对数函数的图象与性质a10a1图象性质(1)定义域：_(2)值域：R(3)过点_，即x_时，y_(4)当x1时，_；当0 x1时，_(4)当x1时，_；当0 x1时，_(5)是(0，)上的_(5)是(0，)上的_(0，)(1,0)10y
4、0y0y0y0增函数减函数(6)ylogax 的图象与 ylog1ax(a0 且 a1)的图象关于 x 轴对称 4yax与ylogax(a0，a1)的关系 指数函数yax与对数函数_互为反函数，它们的图象关于直线_对称。ylogaxyx微点提醒1换底公式的两个重要结论 其中 a0，且 a1，b0，且 b1，m，nR。2对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线 y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数。故 0cd1a0，a1)的图象经过定点 A，则 A 点坐标是_。【答案】4已知 a0，且 a1，函数 yax 与 yloga(x)的图象可能是_(填序号)。【解析】由题意2x10，3
5、x0，2x112，x3，x23，12x23。【答案】x12x log 12(3x)的解集为_。微考点 大课堂 考点例析 对点微练考点一对数的运算【典例 1】(1)设 2a5bm，且1a1b2，则 m 等于()A.10 B10 C20 D100(2)计算(lg2)2lg2lg50lg25 的结果为_。(3)若 lgxlgy2lg(2x3y)，则 log23xy的值为_。【解析】(1)由 2a5bm 得 alog2m，blog5m，1a1blogm2logm5logm10。1a1b2，logm102。m210，m 10。故选 A。(2)原式lg2(lg2lg50)lg252lg2lg25lg4lg
6、252。(3)依题意，可得 lg(xy)lg(2x3y)2，即 xy4x212xy9y2，整理得：4xy213xy 90，解得xy1 或xy94。x0，y0,2x3y0，xy94，log23xy2。【答案】(1)A(2)2(3)2反思归纳 对数运算的一般思路1首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并。2将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算。【解析】(1)原式|log252|log251log252log252。(2)根据题意设 3log2a2log3blog6(ab
7、)k，所以有 a2k3，b3k2，ab6k，1a1babab 6k2k33k22k3k2k33k2233272。【答案】(1)2(2)72【变式训练】(1)(2016大连模拟)计算：log2524log254log215_。(2)若正数 a，b 满足 3log2a2log3blog6(ab)，则1a1b的值为_。考点二对数函数的图象及应用 母题发散【典例 2】(1)函数 y2log4(1x)的图象大致是()(2)当 0 x12时，4x1 时不满足条件，当 0a1 时，画出两个函数在0，12 上的图象，可知，f12 g12，即 2 22，所以 a 的取值范围为22，1。故选 B。【答案】(1)C
8、(2)B【解析】由 x2logax0 得 x2logax，设 f1(x)x2，f2(x)logax，要使 x0，12 时，不等式 x21 时，显然不成立；【母题变式】若本典例(2)变为：若不等式 x2logax0 对 x0，12恒成立，求实数 a 的取值范围。当 0a1 时，如图所示，要使 x2logax 在 x0，12 上恒成立，需 f112 f212，所以有122loga12，解得 a 116，所以 116a1。即实数 a 的取值范围是116，1。【答案】116，1反思归纳 应用对数型函数的图象可求解的问题1对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域
9、(最值)、零点时，常利用数形结合思想。2一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解。【解析】作出函数 f(x)|log2x|的图象如图。由题意可得 0m1n，0m2m，结合图象可知函数 f(x)在m2，n上的最大值为 f(m2)，则有log2m22，m22214。故选 A。【答案】A【拓展变式】已知函数 f(x)|log2x|，0mb1,0c1，则()AacbcBabcbacCalogbcblogacDlogacbcBcbaCcabDacb【解析】(1)解法一：由 ab1,0cbc，A 错；0c1，1c1ac1，又 ab0，abbc1abac1，即 abcbac，
10、B 错；易知 ylogcx 是减函数，0logcblogca，logbclogac，D 错；由 logbclogaclogac0，又 ab10，alogbcblogac0，alogbcblogac，故 C 正确。解法二：依题意，不妨取 a10，b2，c12。易验证 A、B、D 均是错误的，只有 C 正确。(2)函数 yf(x)是定义在 R 上的偶函数。当 x(，0时，f(x)为减函数，f(x)在0，)为增函数，bf(log124)f(2)f(2)，120.32ba，故选 B。【答案】(1)C(2)B角度二：对数不等式的有关问题【典例4】(1)(2016浙江高考)已知a，b0，且a1，b1。若l
11、ogab1，则()A(a1)(b1)0C(b1)(ba)0(2)设函数 f(x)log12(x21)83x21，则不等式 f(log2x)f(log12x)2的解集为()A(0,2 B.12，2C2，)D.0，12 2，)【解析】(1)根据题意，logab1logablogaa0logaba0 0a10ba1ba1，即0a10b1ba。当0a10ba 时，0ba1，b10，ba1ba 时，ba1，b10，ba0。(b1)(ba)0。故选 D。(2)f(x)的定义域为 R，f(x)log12(x21)83x21f(x)，f(x)为 R 上的偶函数。易知其在区间0，)上单调递减。令 tlog2x，
12、所以 log12xt，则不等式 f(log2x)f(log12x)2 可化为 f(t)f(t)2，即 2f(t)2，所以 f(t)1，又f(1)log122 8311，f(x)在0，)上单调递减，在 R 上为偶函数，1t1，即 log2x1,1，x12，2。故选 B。【答案】(1)D(2)B角度三：对数性质的综合应用【典例 5】关于函数 f(x)lgx21|x|(x0)，有下列结论：其图象关于 y 轴对称；当 x0 时，f(x)是增函数；当 x0，b0，ab8，所以 a8b，所以 log2alog2(2b)log28blog2(2b)(3log2b)(1log2b)(log2b)22log2b
13、3(log2b1)24，当 b2 时，有最大值 4，此时 a4。答案 45已知 a0，b0，ab8，则当 a 的值为_时，log2a log2(2b)取得最大值。微专题 巧突破 冲击名校 自主阅读幂、指数、对数比较大小的几种技巧幂、指数、对数比较大小，其实质是考查函数的性质，所以解决这类问题首先要熟悉函数图象和性质，做到“胸有成图”。解决这类问题首先要区分这些数属于哪类函数，是哪个函数的函数值，然后根据函数的性质确定范围，在同一范围内的两个数再比较大小。下面以函数类型来划分几种题型，有助于提高解题能力。【解析】由 logamlogann1。故选 A。【答案】A一、直接考查单一函数【典例 1】已
14、知 0a1，logamlogan0，则()A1nm B1mnCmn1 Dnm1【解析】如图 yg(x)表示以 2 为底的对数函数图象，yf(x)表示以 3 为底的对数函数图象，根据 log2alog3b，得 1ba 不可能成立。故选 D。【答案】D【变式训练 1】已知实数 a，b 满足不等式 log2alog3b，则不可能成立的是()A0ba1 B0ab1C0a1bD1ba二、以两种函数为背景【典例 2】设 y10.413，y20.513，y30.514，则()Ay3y2y1By1y2y3Cy2y3y1Dy1y314，所以 y2y3，又 yx13是 R 上的增函数，且 0.40.5，所以 y1
15、y2，所以 y1y2y3。故选 B。【答案】B【解析】首先确定范围，由对数、指数函数的性质可知，0a1,0c1,0ln2c。故选 C。【答案】C【变式训练 2】设 alog2，b40.3，cln 2，则 a，b，c 的大小关系为()AabcBacbCcabDbca【解析】解法一：首先确定 a 是函数 y2x 与 ylog12x 图象的交点的横坐标，b 是函数 y12x 与 ylog12x 图象的交点的横坐标，c 是函数 y12x 与 ylog2x 图象的交点的横坐标。分别画出函数 y2x，y12x，ylog12x，ylog2x 的图象(图象略)，易知 abc。故选 A。三、以三种函数为背景【典
16、例 3】设 a，b，c 均为正数，且 2alog12a，12blog12b，12clog2c，则()AabcBcbaCcabDba1，即 log12a1，解得 0a12。012b1，即 log12b1，解得12b1。012c1，即 0log2c1，解得 1c2。故选 A。解法一用图象形象直观，解法二能很好地帮助学生理解和掌握函数性质。【答案】A【解析】解法一：直接作差法abln22 ln33 3ln22ln36ln8ln960，acln22 ln55 5ln22ln5100，所以 bac。【变式训练 3】已知 aln22，bln33，cln55，则 a，b，c 的大小关系是_。(从大到小排列)解法二：数形结合法变形 aln22 ln2020，则 a 表示函数 ylnx 图象上的点(2，ln2)与点(0,0)连线的斜率。同理，bln33 ln3030，cln55 ln5050 分别表示点(3，ln3)，点(5，ln5)与点(0,0)的连线斜率。作出函数 ylnx 的图象，标出相应点的位置，观察可知 bac。解法三：构造函数法令 ylnxx，y1lnxx2，令 y1lnxx20，得 xe，所以函数在x(0，e)上单调递增，在 x(e，)上单调递减，函数在 xe 处取得极大值，再作差比较 a 与 c 的大小，易知 bac。【答案】bac