1、第二章 函数、导数及其应用第五节指数与指数函数微知识 小题练微考点 大课堂微考场 新提升2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点；4.知道指数函数是一类重要的函数模型。2016，全国卷，6,5 分(指数函数比较大小)2015，山东卷，2,5分(指数函数单调性)2015，江苏卷，7,5分(解 指 数 不 等式)2014，江苏卷，5,5分(指数求值)直接考查指数函数的图象及其性质或以指数与指数函数为知识载体，考查指数幂的运算
2、和函数图象的应用，或以指数函数为载体与函数方程、不等式等内容交汇命题。微知识 小题练 教材回扣 基础自测根式的概念符号表示备注如果_，那么 x 叫做 a 的 n次方根n1 且 nN*当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个_，负数的 n 次方根是一个_n a零的 n 次方根是零当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有_，这两个数互为_n a(a0)负数没有偶次方根自|主|排|查1根式(1)根式的概念xna正数负数两个相反数(2)两个重要公式n an_n为奇数|a|_a0_a0 n为偶数(n a)n_(注意 a 必须使n a有意义)。aa-aa2有理数的指数幂(1)幂的有关概念正分数指数幂：am
3、n_(a0，m、nN*，且 n1)；负分数指数幂：a-mn(a0，m、nN*，且 n1)。0 的正分数指数幂等于_,0 的负分数指数幂_。(2)有理数指数幂的性质aras_(a0，r，sQ)；(ar)s_(a0，r，sQ)；(ab)r_(a0，b0，rQ)。n am1amn 1n am0无意义arsarsarbr3指数函数的图象与性质yaxa10a1图象定义域R值域(0，)(1)过定点_(2)当 x0 时，_；x0 时，_(2)当 x0 时，_；x0 时，_性质(3)在 R 上是_(3)在 R 上是_(0,1)y10y1y1增函数减函数0y1微点提醒1指数幂运算化简的依据是幂的运算性质，应防止
4、错用、混用公式。对根式的化简，要先化成分数指数幂，再由指数幂的运算性质进行化简。2指数函数的单调性是由底数 a 的大小决定的，因此，应用单调性解题时，应对底数 a 分为 a1 和 0a0，且a1)的图象经过2，13，则 f(1)()A1 B2C.3D3【解析】yax(0a1)为减函数，所以 2x73。【答案】(3，)2(必修 1P60B 组 T1 改编)不等式 a2x 7a4x 1(0a1 时，yax1a为增函数，且在 y 轴上的截距为 011a1，此时四个选项均不对；当 0a1 个单位长度得到的，结合各选项知选 D。二、双基查验1(2016唐山模拟)函数 yax1a(a0，且 a1)的图象可
5、能是()解法二：因为函数 yax1a(a0，且 a1)的图象必过点(1,0)，所以选 D。【答案】D【解析】由1212b12aba0，又因为函数 yax(0aab，所以 A，B 不成立。函数 yxn(n0)在(0，)内是单调递增的，又 ab，所以 aaba。故选 C。【答案】C2设1212b12a1，那么()AaaabbaBaabaabCabaabaDabbaaa【解析】当 0a0，a1)的定义域和值域都是1,0，则ab_。当 a1 时，函 数 f(x)在 1,0 上 单 调 递 增，由 题 意 可 得f11，f00，即a1b1，a0b0，显然无解。所以 ab32。【答案】32【答案】cd1a
6、b4如图所示，曲线 C1，C2，C3，C4 分别是指数函数 yax，ybx，ycx，ydx 的图象，则 a，b，c，d 与 1 的大小关系是_。微考点 大课堂 考点例析 对点微练考点一指数幂的计算【典例 1】计算：【解析】(1)原式2591210.126427233374853100 91633748100。ab1。(3)由 x12x123，两边平方，得 xx17，再平方得 x2x247。x2x2245。【答案】(1)100(2)ab1(3)13反思归纳 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一化为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底指数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先
7、后顺序。2当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数。3运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。【变式训练】(1)化简 4 16x8y4(x0，y0)得()A2x2y B2xyC4x2yD2x2y(2)14 -12 4ab130.11 a3 b312_。【解析】【答案】(1)D(2)85考点二指数函数的图象及应用母题发散【典例 2】(1)(2017秦皇岛模拟)函数 f(x)21x 的大致图象为()(2)若曲线|y|2x1 与直线 yb 没有公共点，则 b 的取值范围是_。【解析】(1)函数 f(x)21x212x，单调递减且过点(0,2)，选项A 中的图象符合要求。故
8、选 A。(2)曲线|y|2x1 与直线 yb 的图象如图所示，由图象可得：如果曲线|y|2x1 与直线 yb 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b1，1。【答案】(1)A(2)1,1【解析】曲线 y|2x1|与直线 yb 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线 y|2x1|与直线 yb 有两个公共点，则 b 的取值范围是(0,1)。【答案】(0,1)【母题变式】若将本典例(2)中“|y|2x1”改为“y|2x1|”，且与直线 yb 有两个公共点，求 b 的取值范围。反思归纳 指数函数图象的画法及应用1与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象
9、。2一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解。【拓展变式】(2016呼和浩特模拟)偶函数 f(x)满足 f(x1)f(x1)，且在 x0,1时，f(x)x，则关于 x 的方程 f(x)110 x，在 x0,4上解的个数是()A1 B2C3 D4【解析】由 f(x1)f(x1)可知 T2。因为 x0,1时，f(x)x，f(x)是偶函数，所以可得图象如图，所以 f(x)110 x 在 x0,4上解的个数是 4 个。故选 D。【答案】D考点三指数函数的性质及应用多维探究角度一：比较大小【典例 3】(2016全国卷)已知 a243，b425，c2513，则()AbacB
10、abcCbcaDcab【解析】因为 a2431613，b4251615，c2513，且幂函数 yx13在 R 上单调递增，指数函数 y16x 在 R 上单调递增，所以 bac。故选 A。【答案】A角度二：解简单的方程或不等式【典例 4】(1)(2017福州模拟)已知实数 a1，函数 f(x)4x，x0，2ax，x0 的解集为_。【解析】(1)当 a1 时，代入不成立。a12。(2)f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)f(x)2x4。f(x)2x4，x0，2x4，x0 时，有x20，2x240或x20，解得 x4 或 x4 或 x4 或 x0，3a4a1，解得 a1，即当 f(x)有最大值
11、3 时，a1。(3)由指数函数的性质知，要使 y13g(x)的值域为(0，)。应使 g(x)ax24x3 的值域为 R，因此只能 a0。(因为若 a0，则 g(x)为二次函数，其值域不可能为R)。故 a 的值为 0。【答案】(1)单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2)(2)1(3)0反思归纳 1.比较大小问题。常利用指数函数的单调性及中间值(0 或1)法。2简单的指数方程或不等式的求解问题。解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数 a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论。3解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别
12、注意底数不确定时，对底数的分类讨论。微考场 新提升考题选萃 随堂自测解析 由 42x0，得 x2。故选 B。答案 B1函数 y 42x的定义域是()A(0,2 B(，2C(2，)D1，)解析 将函数解析式与图象对比分析，因为函数 f(x)1e|x|是偶函数，且值域是(，0，只有 A 满足上述两个性质。答案 A2函数 f(x)1e|x|的图象大致是()解析 y121.8，y221.44，y321.5，y2x 在定义域内为增函数，y1y3y2。故选 D。答案 D3设 y140.9，y280.48，y3121.5，则()Ay3y1y2By2y1y3Cy1y2y3Dy1y3y2解析 f(x)2x2x，f(a)3，2a2a3。f(2a)22a22a(2a2a)22927。答案 74已知 f(x)2x2x，若 f(a)3，则 f(2a)_。解析 因为 f(1x)f(1x)，所以函数f(x)关于直线 x1 对称，所以 a1，所以函数 f(x)2|x1|的图象如图所示，因为函数 f(x)在m，)上单调递增，所以 m1，所以实数 m 的最小值为 1。答案 15若函数 f(x)2|xa|(aR)满足 f(1x)f(1x)，且 f(x)在m，)上单调递增，则实数 m 的最小值等于_。