1、第29讲 函数与方程思想、数形结合思想1考题展望函数与方程思想是中学数学的基本数学思想,它贯穿于整个高中数学的学习过程中高考试题中考查函数与方程思想的题目占较大比例,题型涉及选择题、填空题、解答题,难度有难有易,试题中的大部分压轴题与函数方程思想有关数形结合思想在每年的高考中都有所体现,尤其是某些选择题、填空题,数形结合非常有效从近几年的高考题来看,数形结合的重点是研究“以形助数”,但“以数定形”在今后的高考题中将会有所加强,应引起重视2高考真题考 题1(2015天 津)已 知 函 数f(x)2|x|，x2，（x2）2，x2，函数 g(x)bf(2x),其中 bR.若函数 yf(x)g(x)恰
2、有 4 个零点,则 b 的取值范围是()A.74，B.，74C.0，74D.74，2【解析】选 D.将函数的零点问题转化为方程的解的问题,并讨论 x 的取值以确定函数的解析式 当 x2 时,g(x)xb4,f(x)(x2)2；当 0 x2 时,g(x)bx,f(x)2x；当 x2 时,方程 f(x)g(x)0 可化为 x25x80,无解；当 0 x2 时,方程 f(x)g(x)0 可化为 2x(x)0,无解；当 x2 时,方程 f(x)g(x)0 可化为(x2)2x2,得 x2(舍去)或 x3,有 1 解；当 0 x2 时,方程 f(x)g(x)0 可化为 2x2x,有无数个解；当 x2 时,
3、方程 f(x)g(x)0 可化为 x25x70,无解；当 0 x2 时,方程 f(x)g(x)0 可化为 1x2x,无解；当 x0.将线段 AB 中点 M2mbm22，m2bm22 代入直线方程ymx12解得 bm222m2.由得 m 63.(2)令 t 1m 62，0 0，62,则|AB|t212t42t232t212,且 O 到直线 AB 的距离为 dt212t21.设AOB 的面积为 S(t),所以 S(t)12|AB|d122t21222 22,当且仅当 t212时,等号成立 故AOB 面积的最大值为 22.【命题立意】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系等知识点,考查直线与椭圆相交背景
4、下求三角形面积的最值及函数与方程思想1函数与方程思想(1)函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等(2)方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决方程的教学是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系2数形结合思想数形结合
5、的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质数与形转换的三条途径：(1)通过坐标系的建立,引入数量化静为动,以动求解(2)转化,通过分析数与式的结构特点,把问题转化为形的角度来考虑(3)构造,通过对数(式)与形特点的分析,联想相关知识,构造一个几何图形,构造一个函数,构造一个图表等来分析解决问题一、函数与方程思想的应用 1函
6、数与方程思想在不等式中的应用例1已知定义在 R 上的单调递增奇函数 f(x),若当02 时,f(cos2 2msin )f(2m2)0 恒成立,则实数 m 的取值范围是_【解析】12，f(cos22msin)f(2m2)0 f(cos22msin)f(2m2)cos22msin 1sin2.当 2 时,2m02,此时 mR；当 01sin22（1sin）,令t 1 sin ,则t(0,1,此 时 m 121（1t）2t12t2t2.设(t)12t2t2,而(t)在 t(0,1上的值域是，12,故 m12.【点评】(1)在解决不等式问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,利用函数的图象和
7、性质解决问题；(2)函数 f(x)0 或 f(x)0 或 f(x)max0,数列Tn是递增数列 当 n3 时,(Tn)minT3 310,依题意,得 m 310,m 的最大值为 310.【点评】(1)等差(比)数列中各有 5 个基本量,建立方程组可“知三求二”；(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数,数列的通项公式即为相应的解析式,因此在解决数列问题时,应注意利用函数的思想求解3函数与方程思想在解析几何中的应用例3已知点 G 是ABC 的重心,A(0,1),B(0,1),在x 轴上有一点 M,满足|MA|MC|,GM AB(R)(1)求点 C 的轨迹方程；(2)若斜率为 k 的直
8、线 l 与点 C 的轨迹交于不同两点P、Q,且满足|AP|AQ|,试求 k 的取值范围【解析】(1)设 C(x,y),则重心 Gx3，y3,GM AB(R),GMAB.又M 是 x 轴上一点,则 Mx3，0,又|MA|MC|,x321x3x 2y2,整理得x23 y21(x0)点 C 的轨迹方程为x23 y21(x0)(2)当 k0 时,l 和椭圆 C 有两个不同的交点P,Q,根据椭圆对称性有|AP|AQ|.当 k0 时,可设 l 的方程为 ykxm(k0),联立方程组ykxm，x23 y21，消去 y,整理得(13k2)x26kmx3(m21)0.直线 l 和椭圆 C 有两个不同的交点 则
9、36k2m212(13k2)(m21)0,即 13k2m20.设 P(x1,y1)、Q(x2,y2),则 x1、x2 是方程(13k2)x26kmx3(m21)0的两根,x1x2 6km13k2,x1x23（m21）13k2.则 PQ 中点 N(x0,y0)的坐标为 x0 x1x22 3km13k2,y0kx0mm13k2,即 N 3km13k2，m13k2.又|AP|AQ|,AN PQ,kkAN1,即 km13k213km13k21,m13k22,代入 13k2m20,得 13k213k2220(k0),k20 时,就化为不等式 f(x)0,借助于函数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数的
10、性质也离不开不等式(2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点去处理数列问题十分重要(3)在三角函数求值中,把所求的量看作未知量,其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式,那么问题就能化为未知量的方程来解(4)解析几何中的许多问题,例如直线与二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决,建立空间直角坐标系后,立体几何与函数的关系更加密切2运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个原则：(1)等价性原则在数形结合时,代数性质和几何性质
11、的转换必须是等价的,否则解题将会出现漏洞有时,由于图形的局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明,要注意其带来的负面效应(2)双方性原则既要进行几何直观分析,又要进行相应的代数抽象探求,仅对代数问题进行几何分析容易出错(3)简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合具体运用时,一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件,准确界定参变量的取值范围,特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线3数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围(2)构建函数模型并结合其图象研
12、究方程根的范围(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式(5)构建立体几何模型研究代数问题(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题(7)构建方程模型,求根的个数(8)研究图形的形状、位置关系、性质等4数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效,这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练,以提高解题能力和速度具体操作时,应注意以下几点：(1)准确画出函数图象,注意函数的定义域(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法,值得注意
13、的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图),然后作出两个函数的图象,由图求解1已知 a 是使表达式 2x142x 成立的最小整数,则方程 1|2x1|ax1 实数根的个数为()A0 B1 C2 D3【解析】选 C.2x142x 可化为 2x1242x,即x142x,则 x1,所以满足 2x142x 的最小正整数为 a2.根据题意可得 1|2x1|2x1,即 2|2x1|2x,设 f1(x)2|2x1|,f2(x)2x,画出函数图象,如图所示,显然交点个数为 2.2设 P,Q 分别为圆 x2(y6)22 和椭圆x210y21 上的点,则 P,Q 两点间
14、的最大距离为()A5 2B.46 2C7 2D6 2【解析】选 D.如图所示,设以(0,6)为圆心,以 r 为半径的圆的方程为 x2(y6)2r2(r0),与椭圆方程 x210y21 联立得方程组,消掉 x2 得9y212yr2460.令12249(r246)0,解得 r250,即 r52.由题意易知 P,Q 两点间的最大距离为 r262,故选 D.3函数 y 11x的图象与函数 y2sin x(2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A2 B4 C6 D8【解析】选 D.令 1xt,则 x1t.由2x4,知21t4,所以3t3.又 y2sin x2sin(1t)2sin t.在同一坐标系下
15、作出 y1t和 y2sin t 的图象由图可知两函数图象在3,3上共有 8 个交点,且这8 个交点两两关于原点对称因此这 8 个交点的横坐标的和为 0,即 t1t2t80.也就是 1x11x21x80,因此 x1x2x88.4设ABC,P0 是边 AB 上一个定点,满足14,且对于 AB 上任一点 P,恒有,则()AABC90 BBAC90CABAC DACBC0P BAB00PB PCP B PC【解析】选 D.方法一 PBPCPBPCcos CPB12(PC2PB2BC2)12(PB2BC22PBBCcos BPB2BC2)PB2PBBCcos B.这是关于 PB 的二次函数,当 PBBC
16、cos B2时,PBPC取得最小值由题设，知BCcos B214AB，所以 cos B AB2BC.又 cos BAB2BC2AC22ABBC，所以AB2BC2AC22ABBC AB2BC.所以 ACBC.故选 D.方法二 以AB所在直线为 x 轴正方向，点 C 在 y轴正半轴上，设 A(a，0)，B(b，0)，C(0，c)，P(x，0)，则PBPCx2bx，当 xb2时有最小值，所以 P0b2，0.又P0B 14AB，所以b2ba4.所以 ab.所以 ACBC.故选 D.方法三 设 AB4，以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的中垂线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 A(2，0)，B
17、(2，0)，P0(1，0)，设 C(a，b)，P(x，0)，则PB(2x，0)，PC(ax，b)，P0B(1，0)，P0C(a1，b)而PB PC P0B P0C(2x)(ax)a1 恒成立，即 f(x)x2(2a)xa10 恒成立，这是一个关于 x 的二次函数，故判别式a20 恒成立从而 a0，即点 C 在线段 AB 的中垂线上，故 ACBC.故选 D.5当 0 x1 时，不等式 sin x2 kx 恒成立，则实数 k 的取值范围是_【解析】(，10 x1 时，ysinx2 的大致图象如图所示，若 sin2xkx，则函数 ykx 在 x(0，1)时的图象应位于此图象下方当 k0 时，ykx
18、在0，1上的图象恒在 x 轴下方，原不等式成立当 k0，kxsinx2 在 x0，1恒成立时，只需 00，b0)的最大值为 8，则 ab 的最小值为_【解析】4 可行域如图所示，abxy 最大值为 8(a0，b0)，目标函数的直线 l：yabxz 取最大值时的最优解为2xy20，8xy40，解得 A(1，4)，8ab4，ab4.又ab2 ab，当 ab2 时取等号，ab4.8已知半椭圆x2b2y2a21(y0)和半圆 x2y2b2(y0)组成曲线 C，其中 ab0.如图，半椭圆x2b2y2a21(y0)内切于矩形 ABCD，且 CD 交 y 轴于点 G，点 P是半圆 x2y2b2(y0)上异于
19、 A、B 的任意一点，当点 P 位于点 M63，33 时，AGP 的面积最大(1)求曲线 C 的方程；(2)连 PC，PD 分别交 AB 于点 E，F，求证：|AE|2|BF|2 为定值【解析】(1)已知点 M63，33 在半圆 x2y2b2(y0)上，所以632 332b2，又 b0，所以 b1，当半圆 x2y2b2(y0)在点 P 处的切线与直线AG 平行时，点 P 到直线 AG 的距离最大，此时AGP的面积取得最大值，故半圆 x2y2b2(y0)在点 M 处的切线与直线 AG 平行，所以 OMAG，又 kOMyM0 xM0 22，所以 kAG 2ab，又 b1，所以 a 2，所以曲线 C
20、 的方程为 x2y221(y0)和 x2y21(y0)(2)点 C(1，2)，点 D(1，2)，设 P(x0，y0)，则有直线 PC 的方程为 y 2y0 2x01(x1)，令 y0，得 xE1 2（x01）y0 2，所以|AE|2 2（x01）y0 2；直线 PD 的方程为 y 2y0 2x01(x1)，令 y0，得 xF1 2（x01）y0 2，所以|BF|2 2（x01）y0 2；则|AE|2|BF|2 2 2（x01）y0 222 2（x01）y0 22 4x204（y0 2）2 8 2y0 28，又由 x20y201，得 x201y20，代入上式得|AE|2|BF|284y20（y0
21、 2）2 8 2y0 28 84y208 2（y0 2）（y0 2）284（y0 2）2（y0 2）284，所以|AE|2|BF|2 为定值 9已知函数 f(x)x28x，g(x)6ln xm.(1)求 f(x)在区间t，t1上的最大值 h(t)；(2)是否存在实数 m 使得 yf(x)的图象与 yg(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由【解析】(1)f(x)x28x(x4)216.当 t14，即 t4 时，f(x)在t，t1上单调递减，h(t)f(t)t28t.综上，h(t)t26t7，t4.(2)函数 yf(x)的图象与 yg(x)的图象有且只
22、有三个不同的交点，即函数(x)g(x)f(x)的图象与 x轴的正半轴有且只有三个不同的交点(x)x28x6ln xm，(x)2x 8 6x 2x28x6x2（x1）（x3）x(x0)，当 x(0，1)时，(x)0，(x)是增函数；当 x(1，3)时，(x)0，(x)是增函数；当 x1，或 x3 时，(x)0.(x)极大值(1)m7，(x)极小值(3)m6ln 315.当 x 充分接近 0 时，(x)0.要使(x)的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只需（x）极大值m70，（x）极小值m6ln 3150，即 7m156ln 3.所以存在实数 m，使得函数 yf(x)与 yg(x)的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7，156ln 3)