1、第2课时 平面向量的基本定理及其坐标表示 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 第2课时1平面向量基本定理 如果e1和e2是同一平面内的两个_的向量，那么该平面内任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2使_，把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_，记为_，_叫做向量a关于基底e1，e2的分解式 不平行aa1e1a2e2双基研习面对高考 基础梳理 基底e1，e2a1e1a2e22正交分解 如果基底的两个基向量e1，e2互相垂直，则称这个基底为_，在正交基底下分解向量，叫做_ 正交基底正交分解3平面向量的坐标运算已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)ab
2、_；(2)ab_；(3)a_(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，x2)4平面向量共线的坐标表示设 a(a1，a2)，b(b1，b2)，向量 ab_0a1b1a2b2(b10 且 b20)a1b2a2b1思考感悟若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件能不能写成x1x2y1y2？提示：不能因为x2，y2有可能为0，故应表示成x1y2x2y10.课前热身 1(教材习题改编)已知 a(4,5)，b(8，y)且ab，则 y 等于()A5 B10C.325D15答案：B2若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则b()A3acB3ac Ca3cDa3c 答案：
3、B 3已知两点 A(4,1)，B(7，3)，则与AB 同向的单位向量是()A(35，45)B(35，45)C(45，35)D(45，35)答案：A4若 p(1，2)，q(12，0)，a(3,4)且满足 ampnq.则 mn_.答案：85下列各组向量：e1(1,2)，e2(5,7)；e1(3,5)，e2(6,10)；e1(2，3)，e2(12，34)其中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是_(填序号)答案：考点探究挑战高考 考点突破 平面向量基本定理的应用 用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过向量的运算来求解
4、在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式如图所示，在平行四边形 ABCD 中，M、N 分别为 DC、BC 的中点，已知AM c，AN d，试用 c、d 表示AB、AD.例1【思路分析】直接用 c、d 表示AB、AD 有难度，可换一个角度，由AB、AD 表示AN、AM，进而求AB、AD.【解】法一：在ADM 中，AD AM DM c12AB.在ABN 中，AB AN BN d12AD.由得AB 23(2dc)，AD 23(2cd)法二：设AB a，AD b，因为 M、N 分别为 CD、BC 的中点，所以BN 12b，DM 12a，于是有：cb12
5、ada12b，解得a232dcb232cd，即AB 23(2dc)，AD 23(2cd)【名师点评】法一是利用三角形法则，而法二是利用方程思想，今后在做题时要灵活应用平面向量的坐标运算 利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解在将向量用坐标表示时，要分清向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设AB a，BC b，CA c.(1)求 3ab3c；(2)求满足 ambnc 的实数 m，n.例2【思路分析】利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解【解】由已知得a(5，5
6、)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)(5，5)，6mn53m8n5，解得m1n1.【名师点评】向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算的完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的向量运算互动探究 若例 2 条件不变，又已知CM 3c，CN 2b.求M、N 的坐标及向量MN 的坐标解：CM OM OC 3c，OM 3cOC(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又CN ON OC 2b，ON 2bOC(12,6)(3
7、，4)(9,2)，N(9,2)，MN(9，18)平面向量共线的坐标表示(1)解决向量平行有关的问题，一般考虑运用向量平行的充要条件(2)向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法已知 a(1,0)，b(2,1)(1)当 k 为何值时，kab 与 a2b 共线？(2)若AB 2a3b，BC amb 且 A、B、C 三点共线，求 m 的值例3【思路分析】(1)将kab，a2b用坐标表示 应用共线向量的充要条件求k 把k代入向量判断结果(2)由已知 利用三点共线条件 联立方程 得解【解】(1)kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a
8、2b(1,0)2(2,1)(5,2)kab 与 a2b 共线，2(k2)(1)50，即 2k450，得 k12.(2)法一：A、B、C 三点共线，AB BC，即 2a3b(amb)，23m，解得 m32.法二：AB 2a3b2(1,0)3(2,1)(8,3)，BC amb(1,0)m(2,1)(2m1，m)，A、B、C 三点共线，AB BC.8m3(2m1)0，即 2m30，m32.【误区警示】在解答(1)题的过程中易出现：5(k2)20，即k的情况，导致此种错误的原因是:没有准确记忆两个向量平行的充要条件，将其与两个向量垂直的条件混淆512方法感悟 方法技巧加深平面向量基本定理的理解(1)平
9、面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量的基底可以有无穷多组(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a1e12e2的形式，是向量线性运算知识的延伸1点的坐标与向量的坐标要把点的坐标与向量的坐标区分开来相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同如 A(3,5)、B(6，8)，AB(3,3)；C(5,3)、D(2,6)，CD(3,3)，AB CD，而 A、B、C、D 四点坐标各不相同失误防范2平面向量共线的坐标表示(1)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.ab
10、的充要条件ab与x1y2x2y10在本质上是相同的，只是形式上有差异(如例3)(2)要记准坐标公式特点，不要用错公式 考向瞭望把脉高考 考情分析 从近几年的高考试题来看，向量的坐标运算及向量共线的坐标表示是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，属于中、低档题目，常与向量的数量积运算等交汇命题，主要考查向量的坐标运算及向量共线条件的应用同时又注重对函数与方程、转化、化归等思想方法的考查如2010年陕西卷就考查了两向量平行的坐标运算 预测2012年高考仍将以向量的坐标运算、向量共线的坐标表示为主要考点，重点考查运算能力与应用能力 真题透析(2010年高考陕西卷)已知向量a(2，1)，b(
11、1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.【解析】a(2，1)，b(1，m)，ab(1，m1)(ab)c，c(1,2)，2(1)(m1)0.m1.例【答案】1【名师点评】本题考查了两向量共线的条件，难度较小，若a(2bc)，试求m的值1e1，e2是平面内一组基底，那么()A若实数1，2使1e12e20，则120B空间内任一向量a可以表示为a1e12e2(1，2为实数)C对实数1，2，1e12e2不一定在该平面内D对平面内任一向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对名师预测 解析：选 A.对于 A，e1，e2 不共线，故 120 正确；对于 B，空间向量 a 应改为与 e1，e2 共面的
12、向量才可以；C 中，1 e12e2 一定与 e1，e2 共面；D 中，根据平面向量基本定理，1，2 应是惟一一对解析：选 A.ab(1，m)(m2，m)(m21,0)，其横坐标恒大于零，纵坐标等于零，故向量 ab 所在的直线可能为 x 轴，选 A.2已知向量a(1，m)，b(m2，m)，则向量ab所在的直线可能为()Ax轴 B第一、三象限的角平分线Cy轴D第二、四象限的角平分线3已知ABC 中，点 D 在 BC 边上，且CD 2DB，CD rAB sAC，则 rs 的值是()A.23B.43C3 D0解析：选 D.CD AD AC，DB AB AD，CD AB DB AC AB 12CD AC，32CD AB AC，CD 23AB 23AC.又CD rAB sAC，r23，s23，rs0，故选 D.4已知边长为 1 的正方形 ABCD，若 A 点与坐标原点重合，边 AB，AD 分别落在 x 轴，y 轴的正方向上，则向量 2AB 3BC AC 的坐标为_解析：由已知得 A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，则AB(1,0)，BC(0,1)，AC(1,1)，2AB 3BC AC2(1,0)3(0,1)(1,1)(3,4)答案：(3,4)本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用