1、第28讲 创新型、探索型问题的解法1考题展望高考命题中的创新型与探索型问题对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力有较高层次的考查，同时考查学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等各方面的能力；学生在经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程，是新课标理念的最佳载体，因此在近几年来的高考中经常出现在2016 年高考复习中应倍加注意，并进行针对性训练2高考真题考题 1(2015 福建)一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 x1x2xn(nN*)，其中 xk(k1，2，n)称为第 k 位码元二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由 0 变为 1，或者由 1
2、 变为 0)已知某种二元码 x1x2x7 的码元满足如下校验方程组：其中运算定义为：000，011，101，110.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101，那么利用上述校验方程组可判定 k 等于_【解析】5 根据校验方程组推理 因为 x2 x3 x6 x70，所以 x2，x3，x6，x7都正确又因为 x4 x5 x6 x71，x1 x3 x5 x71，故 x1 和 x4 都错误，或仅 x5 错误因为条件中要求仅在第 k 位发生码元错误，故只有 x5 错误【命题立意】本题考查获取新信息应用新信息及探究能力1创新型问题包括开放型问题、定义信息型问题和类比
3、归纳型问题(1)开放型创新题：是指问题的条件、结论、解题策略是不唯一的或需要探索的一种题型，这类题型结构新颖、解题方法灵活、知识覆盖面宽、问题结论开放，打破了固定的思维模式和解题套路，给解题者很大的思考空间和多种分析思路(2)定义信息型创新题：命题特点是给出一个新的定义、新的关系、新的性质、新的定理等创新情境知识，然后在这个新情境下，综合所学知识并利用新知识作为解题工具使问题得到解决求解此类问题通常分三个步骤进行：对新知识进行信息提取，确定化归方向；对从新知识中所提取的信息进行加工，探究解题方法；对提取的知识加以转换，进行有效组合，进而求解(3)类比归纳型创新题：类比是将式子结构、运算法则、解
4、题方法、问题结论等或引申、或推广、或迁移，由已知探索未知，由旧知识探索新知识的一种研究问题的方法；归纳是从个别特殊事例、若干特殊现象中递推出同一类事物的一般性结论，总结出同一种现象的一般性规律的一种思考问题的方法2探究型问题一般可分为探求结论型、探求条件型、探求存在型、探求规律型四种类型(1)探求结论型问题：给出了条件，结论不明确或开放性的问题，需要解题者探索出结论并加以验证或证明(2)探求条件型问题：给出了结论，要寻求使其成立的相应的条件，如“求的取值范围”，“若结论成立”等等解答者通过分析倒推、逆向思维探求结论成立的条件(3)探求存在型问题：即对于结论是否成立的问题一般有肯定型、否定型和讨
5、论型三种关于这类题的解题思路是：先假设结论是肯定存在的，若推证合理且无矛盾，则结论成立；若推证有矛盾，则可否定结论其中反证法在证题中起着重要的作用(4)探求规律型问题：认真观察分析问题情境，运用归纳推理，类比推理探究问题的本质性的一般规律1新概念、新定义下的创新问题例1(2015 湖北)设 xR，x表示不超过 x 的最大整数，若存在实数 t，使得t1，t22，tnn同时成立，则正整数 n 的最大值是()A3 B4 C5 D6【解析】选 B.依据t1，t22，tnn 确定 t 的取值范围，数形结合判断 由t1，得 1t2，故由t22，得 2t 3；由t33，得 313t413；由t44，得 2t
6、514；由t55，得 515t615.同理可以得到 1515212615313514413 30 的解集关于原点对称,得 a2.此时 f(x)log22（x2）2xb,x(2,2).任取 x(2,2),由 f(x)f(x)0,得 b1,所以函数 h(x)log22x4x图象对称中心的坐标是(2,1).此命题是假命题.举反例说明：函数 f(x)x 的图象关于直线 yx 成轴对称图形,但是对任意实数 a 和 b,函数 yf(xa)b,即 yf(xa)b 总不是偶函数.修改后的真命题：“函数 yf(x)的图象关于直线 xa 成轴对称图形”的充要条件是“函数 yf(xa)是偶函数”【命题立意】对于信息
7、迁移题,认真读懂新信息是关键,然后再运用新信息去解决新的问题 3类比、归纳型问题例 4 当 xR,|x|0 时,由 a1a2a512,a60,所以 d 130,a116,所以 an16n130 n630(nN*,n11)当 d0n630，d0,也 必 有 aj0”的充分必要条件；命题：对任意有限集 A,B,C,d(A,C)d(A,B)d(B,C)()A命题和命题都成立B命题和命题都不成立C命题成立,命题不成立D命题不成立,命题成立【解析】选 A.根据新定义,对命题从正反两个方面分析是否成立,从而作出判断；命题可以借助 Venn 图来证明其正确性 命题成立,若 AB,则 card(AB)card
8、(AB),所以 d(A,B)card(AB)card(AB)0.反之可以把上述过程逆推,故“AB”是“d(A,B)0”的充分必要条件；命题成立,由 Venn 图,知 card(AB)card(A)card(B)card(AB),d(A,C)card(A)card(C)2card(AC),d(B,C)card(B)card(C)2card(BC),d(A,B)d(B,C)d(A,C)card(A)card(B)2card(AB)card(B)card(C)2card(BC)card(A)card(C)2card(AC)2card(B)2card(AB)2card(BC)2card(AC)2car
9、d(B)2card(AC)2card(AB)card(BC)2card(B)2card(AC)2card(AC)B)card(ABC)2card(B)2card(AC)B)2card(AC)2card(ABC)0,d(A,C)d(A,B)d(B,C)得证2(2015 北京)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是()A消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米B以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10升汽油D某城市机动车最高限速 80 千米/
10、小时相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油【解析】选 D.根据图象所给数据,逐个验证选项 根据图象知消耗 1 升汽油,乙车最多行驶里程大于 5 千米,故选项 A 错；以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最少,故选项 B 错；甲车以 80 千米/小时的速度行驶时燃油效率为 10 千米/升,行驶 1 小时,里程为 80 千米,消耗 8 升汽油,故选项 C 错；最高限速 80 千米/小时,丙车的燃油效率比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项 D 对3对于具有相同定义域 D 的函数 f(x)和 g(x),若存在函数 h(x)kxb(k,b
11、 为常数),对任给的正数 m,存在相 应 的 x0 D,使 得 当 xD 且 xx0 时,总 有0f（x）h（x）m0h（x）g（x）1的四组函数如下：f(x)x2,g(x)x；f(x)10 x2,g(x)2x3x；f(x)x21x,g(x)xln x1ln x；f(x)2x2x1,g(x)2(x1ex)其中,曲线yf(x)与yg(x)存在“分渐近线”的是()ABCD【解析】选 C.4设 f(x)是定义在(0,)上的函数,且 f(x)0.对任意 a0,b0,若经过点(a,f(a),(b,f(b)的直线与 x 轴的交点为(c,0),则称 c 为 a,b 关于函数 f(x)的平均数,记为 Mf(a
12、,b)例如,当 f(x)1(x0)时,可得 Mf(a,b)cab2,即 Mf(a,b)为 a,b 的算术平均数(1)当 f(x)_(x0)时,Mf(a,b)为 a,b 的几何平均数；(2)当 f(x)_(x0)时,Mf(a,b)为 a,b 的调和平均数 2abab.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)【解析】(1)x；(2)x(或填(1)k1 x；(2)k2x,其中k1,k2 为正常数均可)设 A(a,f(a),B(b,f(b),C(c,0),且三点共线(1)依题意,c ab,则0f（a）ca0f（b）cb,即0f（a）aba 0f（b）abb.因为 a0,b0,所以化简得f（a）af
13、（b）b,故可以选择 f(x)x(x0)(2)依题意,c 2abab,则0f（a）2ababa0f（b）2ababb,因为 a0,b0,所以化简得f（a）af（b）b,故可以选择f(x)x(x0)5已知x 表示不超过 x 的最大整数,例如1.5 2,1.5 1.设函数 f(x)xx,当 x0，n(nN*)时,函数 f x 的值域为集合 A,则 A 中的元素个数为_【解析】n2n22 n1 时,x 0,则 fx xx 0,即 A0,则 A 中的元素只有 1 个,当 x0，nnN*,设函数 fx 的值域 A 中元素的个数为 annN*,并设当 xn，n1nN*时,函数 fx 的值域中的元素个数为
14、bn,则 an1anbn,当 xn，n1nN*时,设 xx x,其中x为 x 的小数部分,且 0 x 1,此时x n,x x x x x nx)n n2 n x,因 为0 x 1,所以 0nx n,因此 n2n2nx n2n,即 n2xx n2n,因此bnn2n n2n,所以 an1ann,于是当 n2 时,anan1n1,ananan1 an1an2 a2a1 a1n1 n2 11n1 n21n2n22.6对于数列un若存在常数 M0,对任意的nN*,恒有un1un unun1 u2u1 M,则称数列un为 B数列(1)首项为 1,公比为 q(q 1)的等比数列是否为 B数列？请说明理由；(
15、2)设Sn是数列xn 的前n项和,给出下列两组论断；A 组：数列xn 是 B数列数列xn 不是 B数列B 组：数列Sn 是 B数列数列Sn 不是 B数列请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假,并证明你的结论；(3)若数列an,bn 都是 B数列,证明：数列anbn 也是 B数列【解析】(1)设满足题设的等比数列为an,则 anqn1,于是anan1 qn1qn2 q n2q1,n2.因此|an1an|anan1|a2a1|q1(1q q 2q n1)因为 q 1,所以 1 q q 2 q n11q n1q 11q,即 an1an anan1 a2
16、a1 q11q.故首项为 1,公比为 q(q 1)的等比数列是 B数列(2)命题 1：若数列xn 是 B数列,则数列Sn 是B数列此命题为假命题 事实上,设 xn1,nN*,易知数列xn 是 B数列,但 Snn,Sn1Sn SnSn1 S2S1 n.由 n 的任意性知,数列Sn 是 B数列此命题为假命题 命题 2：若数列Sn 是 B数列,则数列xn 是 B数列 此命题为真命题 事实上,因为数列Sn 是 B数列,所以存在正数M,对任意的 nN*,有 Sn1Sn SnSn1 S2S1 M,即xn1 xn x2 M.于是 xn1xn xnxn1 x2x1 xn1 2xn 2xn1 2x2 x1,2M
17、x1,所以数列xn 是 B数列(3)若数列an,bn是 B数列,则存在正数 M1,M2,对任意的 nN*,有 an1an anan1 a2a1 M1 bn1bn bnbn1 b2b1 M2 注意到an|anan1an1an2a2a1a1|anan1 an1an2 a2a1 a1 M1a1,同理：bn M2b1.记 K1M1a1,K2M2b1,则有an1bn1anbn an1bn1anbn1anbn1anbn bn1 an1an an bn1bn K2|an 1an|K1bn1bn.因此|an1bn1anbn|anbnan1bn1|a2b2a1b1|K2(|an1an|anan1|a2a1|)K1(|bn1bn|bnbn1|b2b1|)K2M1K1M2,故数列anbn 是 B数列