1、2015-2016学年广东省惠州一中高二（下）4月月考数学试卷（理科）一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=x|x22x0，则（）AAB=BAB=RCBADAB2设函数f（x）=，则f（2）+f（log212）=（）A3B6C9D123已知双曲线C：（a0，b0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）Ay=By=Cy=xDy=4曲线y=x32在点（1，）处切线的倾斜角为（）A30B45C135D1505钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A5BC2D16某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A
2、16+8B8+8C16+16D8+167下列函数中，在（0，+）上为增函数的是（）Ay=sin2xBy=x3xCy=xexDy=x+ln（1+x）8若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A4BC6D9下列积分值为2的是（）A（2x4）dxB cosxdxC dxD sinxdx10已知数列an为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A35B33C31D2911一条光线从点（2，3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A或B或C或D或12设函数f（x）是奇函数f（x）（xR）的
3、导函数，f（1）=0，当x0时，xf（x）f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，1）（0，1）B（1，0）（1，+）C（，1）（1，0）D（0，1）（1，+）二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13若“x0，tanxm”是真命题，则实数m的最小值为14执行右面的程序框图，若输入的值为0.25，则输出的n值为15函数f（x）=sin（x+2）2sincos（x+）的最大值为16设f（x）为R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f（x）在x=5处切线的斜率为三、解答题（共6个小题，第17题10分，其余各题12分，共70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17在平
4、面直角坐标系xOy中，已知向量=（，），=（sinx，cosx），x（0，）（1）若，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值18如图，四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点（）求证：CE平面PAD（）求证：平面EFG平面EMN19已知函数f（x）=ax3+bx23x在x=1处取得极值（）讨论f（1）和f（1）是函数f（x）的极大值还是极小值；（）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程20已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为4，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l过该椭圆的左焦点，交
5、椭圆于M、N两点，且，求直线l的方程21用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积22设数列an的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3（）求an的通项公式；（）若数列bn，满足anbn=log3an，求bn的前n项和Tn2015-2016学年广东省惠州一中高二（下）4月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=x|x22x0，则（）AAB=BAB=RCBADAB【考点】并集及其运算；一元
6、二次不等式的解法【专题】不等式的解法及应用；集合【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出AB和AB【解答】解：集合A=x|x22x0=x|x2或x0，AB=x|2x或x0，AB=R，故选B【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题2设函数f（x）=，则f（2）+f（log212）=（）A3B6C9D12【考点】函数的值【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】先求f（2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和【解答】解：函数f（x）=，即有f（2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log
7、212）=12=6，则有f（2）+f（log212）=3+6=9故选C【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题3已知双曲线C：（a0，b0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）Ay=By=Cy=xDy=【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=x，代入可得答案【解答】解：由双曲线C：（a0，b0），则离心率e=，即4b2=a2，故渐近线方程为y=x=x，故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题4曲线y=x32在点（1，）处切线的倾斜角为（）A30B45C135D
8、150【考点】导数的几何意义；直线的倾斜角【专题】计算题【分析】首先对函数求导，做出导函数在所给的点的导数，即过这一点的切线的斜率的值，根据倾斜角的取值范围得到结果【解答】解：曲线y=x32，y=x2当x=1时，切线的斜率是1，根据直线的倾斜角的取值范围，倾斜角是45故选B【点评】本题考查导数的几何意义和直线的倾斜角，本题解题的关键是理解导数的几何意义，做出直线的斜率进而求倾斜角时，注意倾斜角的取值范围，5钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A5BC2D1【考点】余弦定理【专题】三角函数的求值【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的
9、值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可【解答】解：钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC22ABBCcosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB=，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC22ABBCcosB=1+22=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=故选：B【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练
10、掌握余弦定理是解本题的关键6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A16+8B8+8C16+16D8+16【考点】由三视图求面积、体积【专题】压轴题；图表型【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4长方体的体积=422=16，半个圆柱的体积=224=8所以这个几何体的体积是16+8；故选A【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算
11、公式，空间想象能力7下列函数中，在（0，+）上为增函数的是（）Ay=sin2xBy=x3xCy=xexDy=x+ln（1+x）【考点】函数单调性的判断与证明【专题】导数的综合应用；三角函数的图像与性质【分析】根据余弦函数的单调性，函数导数符号和函数单调性的关系即可判断每个选项的函数在（0，+）上的单调性，从而找出正确选项【解答】解：Ay=在（0，+）上没有单调性；By=x3x，y=3x21；该函数在（0，）上单调递减；Cy=xex，y=（x+1）ex；x0时，y0；该函数在（0，+）上为增函数；即该选项正确；Dy=x+ln（1+x），；x0时，y0；该函数在（0，+）上为减函数故选：C【点评】
12、考查余弦函数的单调性，以及根据函数导数符号判断函数单调性的方法，要正确求导8若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A4BC6D【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=x+，平移直线y=x+，则由图象可知当直线y=x+，经过点A时直线y=x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=31+2=，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键9下列积分值为2的是（）A（2x4）
13、dxB cosxdxC dxD sinxdx【考点】定积分【专题】计算题【分析】根据微积分基本定理，根据条件求得即可【解答】解： =5， =2故选D【点评】本题主要考查了微积分基本定理的简单应用，关键求出原函数，属于基础题10已知数列an为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A35B33C31D29【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】用a1和q表示出a2和a3代入a2a3=2a1求得a4，再根据a4+2a7=a4+2a4q3，求得q，进而求得a1，代入S5即可【解答】解：a2a3=a1qa1q2=2a
14、1a4=2a4+2a7=a4+2a4q3=2q=，a1=16故S5=31故选C【点评】本题主要考查了等比数列的性质属基础题11一条光线从点（2，3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A或B或C或D或【考点】圆的切线方程；直线的斜率【专题】计算题；直线与圆【分析】点A（2，3）关于y轴的对称点为A（2，3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x2），利用直线与圆相切的性质即可得出【解答】解：点A（2，3）关于y轴的对称点为A（2，3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x2），化为kxy2k3=0反射光线与圆（x+3）2+（y
15、2）2=1相切，圆心（3，2）到直线的距离d=1，化为24k2+50k+24=0，k=或故选：D【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题12设函数f（x）是奇函数f（x）（xR）的导函数，f（1）=0，当x0时，xf（x）f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，1）（0，1）B（1，0）（1，+）C（，1）（1，0）D（0，1）（1，+）【考点】函数的单调性与导数的关系【专题】创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】由已知当x0时总有xf（x）f（x）0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由
16、已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（，0）（0，+）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）0等价于xg（x）0，数形结合解不等式组即可【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g（x）=，当x0时总有xf（x）f（x）成立，即当x0时，g（x）恒小于0，当x0时，函数g（x）=为减函数，又g（x）=g（x），函数g（x）为定义域上的偶函数又g（1）=0，函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）0xg（x）0或，0x1或x1故选：A【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单
17、调性解不等式，属于综合题二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13若“x0，tanxm”是真命题，则实数m的最小值为1【考点】命题的真假判断与应用【专题】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m的范围【解答】解：“x0，tanxm”是真命题，可得tanx1，所以，m1，实数m的最小值为：1故答案为：1【点评】本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力14执行右面的程序框图，若输入的值为0.25，则输出的n值为3【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算
18、并输出n的值【解答】解：循环前，F0=1，F1=2，n=1，第一次循环，F0=1，F1=3，n=2，第二次循环，F0=2，F1=4，n=3，此时，满足条件，退出循环，输出n=3，故答案为：3【点评】本题主要考查了直到循环结构，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题15函数f（x）=sin（x+2）2sincos（x+）的最大值为1【考点】三角函数的最值；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数【专题】三角函数的求值【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值【解答】解：函数f（x）=sin（x
19、+2）2sincos（x+）=sin（x+）+2sincos（x+）=sin（x+）cos+cos（x+）sin2sincos（x+）=sin（x+）coscos（x+）sin=sin（x+）=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题16设f（x）为R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f（x）在x=5处切线的斜率为0【考点】函数在某点取得极值的条件；函数奇偶性的性质【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】偶函数的图象关于y轴对称，x=0为极值点，f（x）是R上以5为周期，x=5也是极值点，极值
20、点处导数为零【解答】解：f（x）是R上可导偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，f（x）在x=0处取得极值，即f（0）=0，又f（x）的周期为5，f（5）=0，即曲线y=f（x）在x=5处的切线的斜率0，故答案为：0【点评】本题考查函数函数切线斜率的计算，利用函数的周期性、奇偶性、导数的几何意义、极值点满足的条件是解决本题的关键三、解答题（共6个小题，第17题10分，其余各题12分，共70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，），=（sinx，cosx），x（0，）（1）若，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值【考点】平面向量数量积的运算；
21、数量积表示两个向量的夹角【专题】平面向量及应用【分析】（1）若，则=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值；（2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值【解答】解：（1）若，则=（，）（sinx，cosx）=sinxcosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）|=，|=1， =（，）（sinx，cosx）=sinxcosx，若与的夹角为，则=|cos=，即sinxcosx=，则sin（x）=，x（0，）x（，）则x=即x=+=【点评】本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查学生的计算能力，比较基础18如图，四棱锥PABCD中，
22、ABAC，ABPA，ABCD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点（）求证：CE平面PAD（）求证：平面EFG平面EMN【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【专题】空间位置关系与距离；立体几何【分析】（）取PA的中点H，则由条件可得HE和CD平行且相等，故四边形CDHE为平行四边形，故CEDH再由直线和平面平行的判定定理证明CE平面PAD（）先证明MN平面PAC，再证明平面EFG平面PAC，可得MN平面EFG，而MN在平面EMN内，利用平面和平面垂直的判定定理证明平面EFG平面EMN【解答】解：（）证明：四棱锥PABCD中，ABCD，AB=2C
23、D，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点，取PA的中点H，则由HEAB，HE=AB，而且CDAB，CD=AB，可得HE和CD平行且相等，故四边形CDHE为平行四边形，故CEDH由于DH在平面PAD内，而 CE不在平面PAD内，故有CE平面PAD（）证明：由于ABAC，ABPA，而PAAC=A，可得AB平面PAC再由ABCD可得，CD平面PAC由于MN是三角形PCD的中位线，故有MNCD，故MN平面PAC由于EF为三角形PAB的中位线，可得EFPA，而PA在平面PAC内，而EF不在平面PAC内，故有EF平面PAC同理可得，FG平面PAC而EF 和FG是平面EFG内的两条相交
24、直线，故有平面EFG平面PACMN平面EFG，而MN在平面EMN内，故有平面EFG平面EMN【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，平面和平面垂直的判定定理的应用，属于中档题19已知函数f（x）=ax3+bx23x在x=1处取得极值（）讨论f（1）和f（1）是函数f（x）的极大值还是极小值；（）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题【分析】（）求出f（x），因为函数在x=1处取得极值，即得到f（1）=f（1）=0，代入求出a与b得到函数解析式，然后讨论利用x的取值范围讨论函数的增减性，得到
25、f（1）和f（1）分别是函数f（x）的极小值和极大值；（）先判断点A（0，16）不在曲线上，设切点为M（x0，y0），分别代入导函数和函数中写出切线方程，因为A点在切线上，把A坐标代入求出切点坐标即可求出切线方程【解答】（）解：f（x）=3ax2+2bx3，依题意，f（1）=f（1）=0，即解得a=1，b=0f（x）=x33x，f（x）=3x23=3（x+1）（x1）令f（x）=0，得x=1，x=1若x（，1）（1，+），则f（x）0，故f（x）在（，1）上是增函数，f（x）在（1，+）上是增函数若x（1，1），则f（x）0，故f（x）在（1，1）上是减函数所以，f（1）=2是极大值；f（1）
26、=2是极小值（）解：曲线方程为y=x33x，点A（0，16）不在曲线上设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足y0=x033x0因f（x0）=3（x021），故切线的方程为yy0=3（x021）（xx0）注意到点A（0，16）在切线上，有16（x033x0）=3（x021）（0x0）化简得x03=8，解得x0=2所以，切点为M（2，2），切线方程为9xy+16=0【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及利用导数研究曲线上某点的切线方程的能力20已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为4，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l过该椭圆的左焦点，交椭圆于M、N两点，且，求直线l的方程【考
27、点】直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程；椭圆的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由短轴长可得b值，由离心率为可得=，结合a2=b2+c2即可求得a值，即可得出椭圆的方程；（2）设直线方程为：y=k（x+1），联立方程组消掉y得到x的二次方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），由韦达定理及弦长公式即可表示弦长|MN|，最后利用弦长建立等式，即可求出直线l的方程【解答】解：（1），椭圆的标准方程：（2）由题意知，直线l的斜率存在，所以设直线方程为：y=k（x+1），联立得：（5k2+4）x2+10k2x+5k220=0，则：=，即：即：，所以，k=1，所以直线方程为：
28、y=x+1或y=x1【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，弦长公式及韦达定理是解决该类题目的基础知识，要熟练掌握21用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积【考点】函数模型的选择与应用【专题】应用题；压轴题【分析】先设容器底面短边长为xm，利用长方体的体积公式求得其容积表达式，再利用导数研究它的单调性，进而得出此函数的最大值即可【解答】解：设容器底面短边长为xm，则另一边长为（x+0.5）m，高为由3.22x0和x0，得0x1.6，设容器的容积为ym3，则有y=x（x+0.
29、5）（3.22x）（0x1.6）整理，得y=2x3+2.2x2+1.6x，y=6x2+4.4x+1.6令y=0，有6x2+4.4x+1.6=0，即15x211x4=0，解得x1=1，（不合题意，舍去）从而，在定义域（0，1.6）内只有在x=1处使y=0由题意，若x过小（接近0）或过大（接近1.6）时，y值很小（接近0），因此，当x=1时y取得最大值，y最大值=2+2.2+1.6=1.8，这时，高为3.221=1.2答：容器的高为1.2m时容积最大，最大容积为1.8m3【点评】本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识22设数列a
30、n的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3（）求an的通项公式；（）若数列bn，满足anbn=log3an，求bn的前n项和Tn【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】（）利用2Sn=3n+3，可求得a1=3；当n1时，2Sn1=3n1+3，两式相减2an=2Sn2Sn1，可求得an=3n1，从而可得an的通项公式；（）依题意，anbn=log3an，可得b1=，当n1时，bn=31nlog33n1=（n1）31n，于是可求得T1=b1=；当n1时，Tn=b1+b2+bn=+（131+232+（n1）31n），利用错位相减法可求得bn的前n项和Tn【解答】解：（）因为2Sn=3n+3
31、，所以2a1=31+3=6，故a1=3，当n1时，2Sn1=3n1+3，此时，2an=2Sn2Sn1=3n3n1=23n1，即an=3n1，所以an=（）因为anbn=log3an，所以b1=，当n1时，bn=31nlog33n1=（n1）31n，所以T1=b1=；当n1时，Tn=b1+b2+bn=+（131+232+（n1）31n），所以3Tn=1+（130+231+332+（n1）32n），两式相减得：2Tn=+（30+31+32+32n（n1）31n）=+（n1）31n=，所以Tn=，经检验，n=1时也适合，综上可得Tn=【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考“查错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题