1、第二章 函数、导数及其应用第十一节导数的应用第二课时导数与函数的极值、最值微考点 大课堂微考场 新提升微考点 大课堂 考点例析 对点微练【解析】(1)f(x)ex(axb)aex2x4ex(axba)2x4。由已知，得f04，f04。即b4，ba44。解得b4，a4。考点一运用导数解决极值问题多维探究角度一：求函数的值域【典例 1】已知函数 f(x)ex(axb)x24x，曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y4x4。(1)求 a，b 的值；(2)讨论 f(x)的单调性，并求 f(x)的极值。(2)由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x，f(x)ex(4x8)2x44(x2)
2、ex12。令 f(x)0，得 x2 或 xln2。令 f(x)0，得x20，ex120或x20，ex120。解得2xln2。令 f(x)0，得x20，ex120或x20，ex120。解得 x2 或 xln2。当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，ln2)ln2(ln2，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增由上表可知，函数 f(x)的极大值为 f(2)4(1e2)，极小值为 f(ln2)22ln2ln22。【答案】(1)a4，b4(2)单调性见解析 极大值为 4(1e2)，极小值为 22ln2ln22【解析】(1)由 f(x)lnx2ax2a
3、，可得 g(x)lnx2ax2a，x(0，)。则 g(x)1x2a12axx。角度二：已知函数的极值求参数【典例 2】(2016山东高考)设 f(x)xlnxax2(2a1)x，aR。(1)令 g(x)f(x)，求 g(x)的单调区间；(2)已知 f(x)在 x1 处取得极大值，求实数 a 的取值范围。当 a0 时，x(0，)时，g(x)0，函数 g(x)单调递增；当 a0 时，x0，12a 时，g(x)0，函数 g(x)单调递增，x12a，时，函数 g(x)单调递减。所以当 a0 时，g(x)的单调增区间为(0，)；当 a0 时，g(x)的单调增区间为0，12a，单调减区间为12a，。(2)
4、由(1)知，f(1)0。当 a0 时，f(x)单调递增，所以当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增。所以 f(x)在 x1 处取得极小值，不合题意。当 0a1，由(1)知 f(x)在0，12a 内单调递增，可得当 x(0,1)时，f(x)0。所以 f(x)在(0,1)内单调递减，在1，12a 内单调递增，所以 f(x)在 x1 处取得极小值，不合题意。当 a12时，12a1，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减，所以当 x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意。当 a12时，0 12a0，f(x)单调递增，当 x(1，)时，f(x)12。【答案】(1)见解
5、析(2)12，反思归纳 1.已知函数的极值求参数时，通常利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程。需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，必要时需对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件。2已知函数的最值求参数，利用待定系数法求解。【解析】(1)f(x)(lnxax)x1xa lnx12ax，令 f(x)0，得 2alnx1x。设(x)lnx1x，则(x)lnxx2，【变式训练】(1)(2016 金华十校联考)已知函数 f(x)x(lnxax)有两个极值点，则实数 a 的取值范围是_。(2)(2017 沈阳模拟)设函数 f(x)
6、lnx12ax2bx，若 x1 是 f(x)的极大值点，则 a 的取值范围为_。易知(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以(x)max(1)1，则(x)的大致图象如图所示，若函数 f(x)有两个极值点，则直线 y2a 和 y(x)的图象有两个交点，所以02a1，得 0a12。(2)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1xaxb，由 f(1)0，得 b1a。f(x)1xaxa1ax21axxxx1ax1x。若 a0，当 0 x0，f(x)单调递增；当 x1 时，f(x)0，f(x)单调递减，所以 x1 是 f(x)的极大值点。若 a1，解得1a1。【答案】(1)0，12 (2)
7、(1，)【解析】(1)f(x)1xa(x0)，当 a0 时，f(x)1xa0，即函数 f(x)的单调增区间为(0，)。考点二运用导数解决最值问题【典例 3】已知函数 f(x)lnxax(aR)。(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 a0 时，求函数 f(x)在1,2上的最小值。当 a0 时，令 f(x)1xa0，可得 x1a，当 0 x1a时，f(x)1axx0；当 x1a时，f(x)1axx0，故函数 f(x)的单调递增区间为0，1a，单调递减区间为1a，。(2)当 00，f(x)ax1x2(a0)(1)由 f(x)0 解得 x1a，所以函数 f(x)的单调递增区间是1a，；【变式训练
8、】已知函数 f(x)alnx1x(a0)。(1)求函数 f(x)的单调区间和极值；(2)是否存在实数 a，使得函数 f(x)在1，e上的最小值为 0？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由。由 f(x)0 解得 x1a，所以函数 f(x)的单调递减区间是0，1a。所以当 x1a时，函数 f(x)有极小值 f1a aln1aaaalna。(2)由(1)可知，当 x0，1a 时，函数 f(x)单调递减；当 x1a，时，函数 f(x)单调递增。若 01a1，即 a1 时，函数 f(x)在1，e上为增函数，故函数 f(x)的最小值为 f(1)aln111，显然 10，故不满足条件。若 11ae，
9、即1ea1 时，函数 f(x)在1，1a 上为减函数，在1a，e 上为增函数，故函数 f(x)的最小值为 f(x)的极小值 f1a aln1aaaalnaa(1lna)0，即 lna1，解得 ae，而1eae，即 0a1e时，函数 f(x)在1，e上为减函数，故函数 f(x)的最小值为 f(e)alne1ea1e0，即 a1e，而 0a1e，故不满足条件。综上所述，不存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在1，e上的最小值为 0。【答案】(1)函数 f(x)的单调递增区间是1a，单调递减区间是0，1a 函数 f(x)有极小值 aalna(2)不存在，理由见解析微考场 新提升考题选萃 随堂自测1
10、.设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)D函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)解析(1)当 x0。(1x)f(x)0，f(x)0，即 f(x)在(，2)上是增函数。(2)当2x0。(1x)f(x)0，f(x)0，即 f(x)在(2,1)上是减函数。(3)当 1x2 时，1x0，f(x)2 时，1x0。(1x)f(x)0，即 f(x)在(2，)
11、上是增函数。综上，f(2)是极大值，f(2)是极小值。故选 D。答案 D解析 y3ax22bx，根据题意，0，13是方程 3ax22bx0 的两根，2b3a13，a2b0。故选 D。答案 D2函数 yax3bx2 取得极大值和极小值时的 x 的值分别为 0 和13，则()Aa2b0 B2ab0C2ab0 Da2b0解析 f(x)3ax23，当 a0 时，f(x)0，f(x)在1,1上为减函数，f(x)minf(1)a20，a2，不合题意；当 01 时，f(1)a40，且 f 1a 2a10，解得 a4。综上所述，a4。故选 C。答案 C解析(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1xa。若a0，则f(x)0，f(x)在(0，)是单调递增；若 a0，则当 x0，1a 时，f(x)0，当 x1a，时，f(x)0 时，f(x)在 x1a处取得最大值，最大值为 f1a ln1a a11a lnaa1。因此f1a 2a2lnaa10。令 g(a)lnaa1，则 g(a)在(0，)是增函数，g(1)0，于是，当 0a1 时，g(a)1 时，g(a)0，因此 a的取值范围是(0,1)。答案(1)当 a0 时，在(0，)上单调递增；当 a0 时，在0，1a上单调递增，在1a，上单调递减(2)(0,1)