1、第二章 函数、导数及其应用第十一节导数的应用2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)；3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题)。2016，全国卷，7,5分(图象判断)2016，全国卷，21,12分(导数与单调性、不等式证明、函数零点)2015，全国卷，12,5分(导数与单调性、参数的取值范围)2
2、015，全国卷，21,12分(切线、函数最值、零点问题)2014，全国卷，21,12分(导数与单调性、函数最值、不等式证明)函数与导数的压轴试题，在每年的高考中属于必考内容，其命题方向主要有两个：一是围绕函数的性质考查函数的奇偶性、单调性、周期性、极值、最值，曲线的切线等问题展开，二是围绕函数与方程、不等式命制探索方程根的个数、不等式的证明、不等式恒成立等问题展开。此类压轴试题难度较大，逻辑推理能力较强，在今后的备考中不可小视。微知识 小题练 教材回扣 基础自测 自|主|排|查 1函数的导数与单调性的关系 函数yf(x)在某个区间内可导，则(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内_；(2)若
3、f(x)0，则f(x)在这个区间内_；(3)若f(x)0，则f(x)在这个区间内是_。单调递增单调递减常数函数 2函数的极值与导数(1)函数的极小值 若函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值_，且f(a)0，而且在点xa附近的左侧_，右侧_，则xa叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值。(2)函数的极大值 若函数yf(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，且f(b)0，而且在点xb附近的左侧_，右侧_，则xb叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值。都小f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0 3函
4、数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件：一般地，如果在区间a，b上，函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。(2)求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤为：求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。微点提醒1函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f(x)0，“f(x)0 在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。2对于可导函数 f(x)，“f(x0)0”是“函数 f(x)在 xx0处有极值”的必要不充分
5、条件。如函数 yx3 在 x0 处导数为零，但 x0 不是函数yx3 的极值点。3求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值。4函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系。【解析】解法一：f(x)xexxex，所以 f(x)1exxexex21xexex20，所以 x1。故选 A。解法二：f(x)1exxex(1)(1x)ex0。因为 ex0，所以x1。故选 A。【答案】A小|题|快|练一、走进教材1(选修 2-2P26 练习 T1 改编)函数 f(x)xex 的一个单调递增区间是()A(，1 B2
6、,8C1,2D0,2【解析】因为 f(x)2(lnx1)1lnx，当 f(x)0 时，解得0 xe；当 f(x)e，所以 xe 时，f(x)取到极大值，f(x)极大值f(e)e。故选 C。【答案】C2(选修 2-2P32A 组 T5（4）题改编)函数 f(x)2xxlnx 的极值是()A.1eB.2eCe De2【解析】因为 yx327x123(x0)，所以 y3x2273(x3)(x3)(x0)，所以 yx327x123 在(0,3)上是增函数，在(3，)上是减函数，故当 x3 时，获得最大利润，即获得最大利润时的年产量为 3 百万件。故选 C。【答案】C3(选修 2-2P37B 组 T2
7、改编)若商品的年利润 y(万元)与年产量 x(百万件)的函数关系式为 yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为()A1 百万件B2 百万件C3 百万件D4 百万件二、双基查验1(2016锦州模拟)已知函数 yxf(x)的图象如图所示(其中 f(x)是函数 f(x)的导函数)。则下面四个图象中，yf(x)的图象大致是()【解析】由条件可知当 0 x1 时，xf(x)0，所以 f(x)1 时，xf(x)0，所以 f(x)0，函数 f(x)递增，所以当 x1 时，函数取得极小值。当 x1 时，xf(x)0，函数 f(x)递增，当1x0，所以 f(x)0，函数 f(x)单调递增，当 x(
8、2,2)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增，所以 a2。故选 D。【答案】D2(2016四川高考)已知 a 为函数 f(x)x312x 的极小值点，则 a()A4 B2C4 D2【解析】f(x)x1xx21x，且 x0。令 f(x)0，得 x1；令f(x)0，得 0 x0 恒成立，f(x)在 R 上单调递增，f(x)无极值。【答案】0，)4若 f(x)ax33x2 无极值，则 a 的范围为_。【解析】令 f(x)xlnx(1x0，所以函数 yf(x)(1xf(1)10，所以 xlnx00lnxx 1，所以lnxx20，所以lnxx2lnxxlnx2x2。【答案】lnxx2lnxx lnx2
9、x2 5(2017重庆模拟)设 1x2，则lnxx，lnxx2，lnx2x2 的大小关系是_。(用“0 知，f(x)与 1xex1 同号。令 g(x)1xex1，则 g(x)1ex1。所以当 x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增。故 g(1)1 是 g(x)在区间(，)上的最小值，从而 g(x)0，x(，)。综上可知，f(x)0，x(，)。故 f(x)的单调递增区间为(，)。【答案】(1)a2，be(2)单调递增区间为(，)反思归纳 利用导数求函数单调区间的方法：1.当导函数不等式可解时，解不等式 f(x)0 或 f(x)0，得 0 x2。由 f(x)0，得 x0 或 1
10、x0，f(x)单调递增，x(1，)时，f(x)0 时，f(x)ax1x3x2a x2a。考点二利用导数讨论函数的单调性【典例 2】(2016山东高考节选)已知 f(x)a(xlnx)2x1x2，aR。讨论 f(x)的单调性。(1)0a1，当 x(0,1)或 x2a，时，f(x)0，f(x)单调递增，当 x1，2a 时，f(x)2 时，0 2a0，f(x)单调递增，当 x2a，1 时，f(x)0，f(x)单调递减。综上所述，当 a0 时，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减；当 0a2 时，f(x)在0，2a 内单调递增，在2a，1 内单调递减，在(1，)内单调递增。【答案】见解
11、析反思归纳 1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论。2划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为 0 的点和函数的间断点。3个别导数为 0 的点不影响所在区间的单调性，如 f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0 在 x0 时取到)，f(x)在 R 上是增函数。【解析】f(x)的定义域为(0，)，f(x)a1x 2ax2ax2a1x。当 a1 时，f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递增；当 a0 时，f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递减；【变式训练】讨论函数 f(x)(a1)lnxax21(aR)的单调性。当 0a1 时，令 f(
12、x)0，解得 x1a2a，则当 x0，1a2a时，f(x)0，故 f(x)在0，1a2a上单调递减，在1a2a，上单调递增。【答案】见解析【解析】(1)f(x)3x2a。当 a0 时，f(x)0，所以 f(x)在(，)上为增函数。考点三利用单调性求参数的取值范围母题发散【典例 3】已知函数 f(x)x3ax1。(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)在 R 上为增函数，求实数 a 的取值范围。当 a0 时，令 3x2a0 得 x 3a3；当 x 3a3 或 x0；当 3a3 x 3a3 时，f(x)0 时，f(x)在，3a3，3a3，上为增函数，在 3a3，3a3上为减函数。(2)因为
13、 f(x)在(，)上是增函数，所以 f(x)3x2a0 在(，)上恒成立，即 a3x2 对 xR 恒成立。因为 3x20，所以只需 a0。又因为 a0 时，f(x)3x20，f(x)x31 在 R 上是增函数，所以 a0，即实数 a 的取值范围为(，0。【答案】(1)见解析(2)(，0【解析】因为 f(x)3x2a，且 f(x)在区间(1，)上为增函数，所以 f(x)0 在(1，)上恒成立，即 3x2a0 在(1，)上恒成立，所以 a3x2 在(1，)上恒成立，所以 a3，即 a 的取值范围为(，3。【答案】(，3【母题变式】1.函数 f(x)不变，若 f(x)在区间(1，)上为增函数，求 a
14、 的取值范围。【解析】由 f(x)3x2a0 在(1,1)上恒成立，得 a3x2 在(1,1)上恒成立。因为1x1，所以 3x23，所以 a3。即当 a 的取值范围为3，)时，f(x)在(1,1)上为减函数。【答案】3，)2函数 f(x)不变，若 f(x)在区间(1,1)上为减函数，试求 a 的取值范围。【解析】由母题可知，f(x)的单调递减区间为 3a3，3a3，3a3 1，即 a3。【答案】33函数 f(x)不变，若 f(x)的单调递减区间为(1,1)，求 a 的值。【解析】f(x)x3ax1，f(x)3x2a。由 f(x)0，得x 3a3(a0)。f(x)在区间(1，1)上不单调，0 3
15、a3 1，得 0a3，即 a 的取值范围为(0,3)。【答案】(0,3)4函数 f(x)不变，若 f(x)在区间(1,1)上不单调，求 a 的取值范围。反思归纳 根据函数单调性求参数的一般思路1利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集。2转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则 f(x)0恒成立；若函数单调递减，则 f(x)0 恒成立”来求解。微考场 新提升考题选萃 随堂自测解析 函数 y12x2lnx 的定义域为(0，)，yx1xx1x1x，令 y0，则可得 01，b1。故选C。答案 C2若 f(x)12x2bln(x2)在(1，)
16、上是减函数，则实数 b 的取值范围是()A1，)B(1，)C(，1 D(，1)解析 设 g(x)f(x)2x2sinx，g(x)22cosx0，所以函数f(x)在 R 上单调递增。故选 A。答案 A3已知函数 f(x)x22cosx，若 f(x)是 f(x)的导函数，则函数 f(x)的图象大致是()解析 在(0,2)上有 f(x)1cosx0，所以 f(x)在(0,2)上单调递增。答案 单调递增4函数 f(x)1xsinx 在(0,2)上的单调性是_。解析 h(x)lnx12ax22x，x(0，)，所以 h(x)1xax2。因为 h(x)在1,4上单调递减，所以当 x1,4时，h(x)1xax20 恒成立，即 a1x22x恒成立，5(2017秦皇岛模拟)已知函数 f(x)lnx，g(x)12ax22x，a0。若函数 h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，则 a 的取值范围为_。令 G(x)1x22x，则 aG(x)max，而 G(x)1x1 21。因为 x1,4，所以1x14，1，所以 G(x)max 716(此时 x4)，所以 a 716。答案 716，