1、6.5 合情推理与演绎推理 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 6.5 合情推理与演绎推理双基研习面对高考 1归纳推理根据一类事物中_具有某种属性，推断该类事物中_都具有这种属性的推理，叫作归纳推理归纳推理是由部分到_，由个别到_的推理归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些_；(2)从已知的相同属性中推出一个明确表述的_双基研习面对高考 基础梳理 部分事物每一个整体一般相同属性一般性命题2类比推理(1)根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性质，推测其中一类事物具有另一类事物 _的性质的推理，叫作类比推理(简称类比)类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的_；用一类事物的性质去推
2、测_，得出一个明确的命题(2)前提为真时，结论_的推理，叫作合情推理 归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理 类似(或相同)相似性或一致性另一类事物的性质可能为真思考感悟1归纳推理与类比推理的相同点与区别是什么？提示：两种推理的相同点与区别：类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理 3演绎推理(1)演绎推理：从_出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由_到_的推理(2)演绎推理的一般模式“_”：_已知的一般原理；_所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断一般性的原理一般特殊三段论
3、大前提小前提思考感悟2演绎推理所获得的结论一定可靠吗？提示：演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式，是一种必然性推理演绎推理的前提与结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论课前热身 1观察下式：112,23432,3456752,4567891072，则第n个式子是()An(n1)(n2)(2n1)n2Bn(n1)(n2)(2n1)(2n1)2Cn(n1)(n2)(3n2)(2n1)2Dn(n1)(n2)(3n1)(2n1)2答案：C2(2011年宝鸡质检)下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出
4、球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180，归纳出所有三角形的内角和都是180；张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；三角形内角和是180，四边形内角和是360，五边形内角和是540，由此得凸n边形内角和是(n2)180.A BCD答案：C3对于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球内切于四面体()A各正三角形内的点B各正三角形某高线上的点C各正三角形的中心D各正三角形各边的中点解析：选C.由类比推理易知C项正确4(教材习题改编)由1323(12)2，132333(123)2，13233343(1234)2，猜想：
5、132333n3_.答案：(123n)25定义集合A与B的运算，ABx|xA，或xB且xAB，则(AB)A_.答案：B 解析：如图中阴影部分为AB，若ABC，用类比的方法可得CAB.考点探究挑战高考 考点突破 归纳推理1归纳推理的特点(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础之上的2归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题例1已知 F1、F2 分别是双曲线x24 y291 的左、右两焦点，点 M 在双曲线上(1)若F
6、1MF290，求F1MF2 的面积；(2)若F1MF2120，F1MF2 的面积是多少？若F1MF260，F1MF2 的面积又是多少？(3)观察以上计算结果，你能看出随F1MF2 的变化，F1MF2 的面积将怎样变化吗？【思 路 点 拨】因 为12S F MF 12|MF1|MF2|sinF1MF2，所以只须求出|MF1|MF2|即可，这可根据余弦定理及双曲线的定义求得【解】(1)由双曲线方程知 a2，b3，c 13，设|MF1|m，|MF2|n，则|mn|4，(mn)216，即 m2n22mn16.又F1MF290，m2n2(2c)252.mn12(m2n216)12(5216)18.12S
7、 F MF 12mn12189.(2)若F1MF2120，则在F1MF2 中，由 余 弦 定 理 得，|F1F2|2 m2 n2 2mncosF1MF2，即(2 13)2(mn)22mn2mncos120，52162mnmn，mn12.12S F MF 12mnsinF1MF21212sin1203 3.同理求得，当F1MF260时，SF1MF29 3.(3)由以上结果可看出：随着F1MF2 的增大，F1MF2 的面积在减小【名师点评】针对探究性题目，一般使用的方法是求一些特殊的值，然后再进行归纳、猜想，中间再加一些验证的手段，从而解决问题 互动探究 1 如果把例 1 中的双曲线变为椭圆x29
8、 y241，其它条件不变，试解答相应的三问解：由椭圆方程知 a3，b2，c 5.设|MF1|m，|MF2|n，则 mn6.(1)当F1MF290时，m2n2(2c)220，(mn)2m2n22mn36，mn8.12S F MF 12mn4.(2)当F1MF2120时，(2c)2m2n22mncos120，m2n2mn20，(mn)2mn20，mn16.12S F MF 12mnsin1204 3.当F1MF260时，(2c)2m2n22mncos60，m2n2mn20，(mn)23mn20，mn163.12S F MF 12mnsin6012163 32 4 33.(3)由以上结果可看出：随着
9、F1MF2 的增大，F1MF2的面积在增大类比推理类比推理是由特殊到特殊的推理，推理的结果不一定准确，但是可以通过严格的逻辑证明来解决这类问题，在类比时要注意已知问题与类比问题的共性与区别通常情况下，平面图形中的点、线、面可类比为空间图形中的线、面、体另外常见的类比还有代数中的加减运算可类比为乘除运算，等差与等比的类比，0与1的类比，平面几何与空间几何的类比等例2(2009 年高考浙江卷)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，则 S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前 n 项积为 Tn，则 T4，_，_，T16T12成等比数列【思路点拨】由T16T
10、12可想到求T8T4，T12T8 即可【解析】b1b2b3b4 T4，T8T4b5b6b7b8b1q4b2q4b3q4b4q4T4q16，T12T8 T8q16，T16T12T12q16，故 T4，T8T4，T12T8，T16T12成等比数列【答案】T8T4 T12T8【规律小结】(1)类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)(2)由类比推理得到的猜想是否正确有待证明 演绎推理(1)演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式，是一种必然性推理演绎推理的前提与结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真实的，推理
11、的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论(2)演绎推理的主要形式，就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理例3已知函数 f(x)aax a(a0 且 a1)，(1)证明：函数 yf(x)的图像关于点(12，12)对称；(2)求 f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值【思路点拨】证明本题依据的大前提是中心对称的定义：函数 yf(x)的图像上的任一点关于一个点的对称点仍在 f(x)的图像上，则 f(x)的图像关于该点对称小前提是 f(x)aax a(a0 且 a1)的图像上的任一点关于点(12，12)对称的点仍在 f(x)的图像上【解】(1)证明：函数
12、 f(x)的定义域为 R，任取一点(x，y)，它关于点(12，12)对称的点的坐标为(1x，1y)由已知得 yaax a，则1y1aax aaxax a，f(1x)aa1x aaaax aaaxa aaxaxax a，所以1yf(1x)所以函数 yf(x)的图像关于点(12，12)对称(2)由(1)有1f(x)f(1x)，即 f(x)f(1x)1.f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1，则 f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.【名师点评】演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的
13、，其结论一定是正确的，一定要注意推理过程的正确性与完备性 变式训练2 将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 根据以上排列规律，数阵中第n(n3)行的从左至右的第3个数是_ 解析：前 n1 行共有正整数 12(n1)个，即n2n2个，因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第n2n23 个，即为n2n62.答案：n2n62方法感悟 方法技巧1合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向(如例2)2合情推理的过程概括为：从具
14、体问题出发 观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想.(如例 1)3演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论数学问题的证明主要通过演绎推理来进行(如例3)4合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)失误防范1合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明2演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性3合情推理中
15、运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据考情分析 考向瞭望把脉高考 从近几年的高考试题来看，归纳推理、类比推理、演绎推理等问题是高考的热点，归纳推理、类比推理大部分在填空题中出现，为中、低档题，突出“小而巧”，主要考查类比推理、归纳推理的能力；演绎推理大多出现在解答题中，为中、高档题目，在知识交汇点处命题，考查学生的逻辑推理能力，以及分析问题、解决问题的能力预测2012年高考仍将以归纳推理、类比推理，特别是演绎推理为主要考查点，重点考查学生的逻辑推理能力真题透析 例(2010年高考福建卷)观察下列等式：cos 22cos21；cos 48cos48cos21；cos 632cos648cos
16、418cos21；cos 8128cos8256cos6160cos432cos21；cos 10mcos101280cos81120cos6ncos4pcos21.可以推测，mnp_.【解析】观察等式可知，cos 的最高次的系数2,8,32,128，构成了公比为 4 的等比数列，故 m1284512；取 0，则 cos 1，cos 101，代入等式，得 1m12801120np1，即 np350(1)取 3，则 cos 12，cos 1012，代入等式，得12m(12)101280(12)81120(12)6n(12)4p(12)21，即 n4p200(2)，联立(1)(2)，得 n400，
17、p50.mnp512(400)50962.【答案】962【名师点评】(1)本题易失误的是：归纳时找不准确前几项的规律，胡乱猜；不知道从何处入手，归纳不出结论(2)归纳推理的难点是由部分结果得到一般结论，破解的方法是充分考虑这部分结果提供的信息，从中发现一般规律；类比推理的难点是发现两类对象的相似特征，由其中一类对象的特征得出另一类对象的特征，破解的方法是利用已经掌握的数学知识，分析两类对象之间的关系，通过两类对象的已知的相似特征得出所需要的相似特征.名师预测 1如果对象A和对象B都具有相同的属性P、Q、R等，此外已知对象A还有一个属性S，而对象B还有一个未知的属性x，由此类比推理，可以得出下列
18、哪个结论可能成立()Ax就是P Bx就是QCx就是RDx就是S解析：选D.因为P、R、Q是均具有的属性，所以可能得出的结论只能是“x就是S”2设 f(x)1x1x，又记 f1(x)f(x)，fk1(x)f(fk(x)，k1,2，则 f2012(x)等于()A1xBxC.x1x1D.1x1x解析：选 B.计算 f2(x)f(1x1x)11x1x11x1x1x，f3(x)f(1x)11x11xx1x1，f4(x)1x1x11x1x1x，f5(x)f1(x)1x1x，归纳得 f4k(x)x，kN，从而 f2012(x)x.3.如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2
19、,3出现在第2行；数字6,5,4(从左至右)出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行；依此类推，则第63行从左至右算第6个数字为_解析：由每行的行号数和这一行的数字的个数相同可求出第 63 行最左边的一个数是6363122016，从左至右的第 6 个数应是 201652011.答案：20114五位同学围成一圈依次循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为2，第二位同学首次报出的数为3，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2011个被报出的数为_解析：根据规则，五位同学第一轮报出的数依次为2,3,6,8,8，第二轮报出的数依次为4,2,8,6,8，第三轮报出的数依次为8,4,2,8,6，故除第一、第二位同学第一轮报出的数为2,3外，从第三位同学开始报出的数依次按6,8,8,4,2,8循环，则第2011个被报出的数为2.答案：2本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
