1、42指数函数42.1指数爆炸和指数衰减新课程标准解读核心素养1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义数学抽象2.理解指数函数的概念；会应用指数函数模型解决实际问题数学建模问题(1)某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，则经过2个小时，这种细胞能由1个分裂成多少个？(2)如果将上述问题改为“经过x次分裂，这种细胞能由1个分裂成y个”，你能用分裂次数x表示个数y吗？知识点一指数函数的概念在幂的表达式au中，如果底数是常数a而取指数为自变量x，则得到的一类函数yax(x)叫作指数函数，其中a0，且a1.对指数函数概念的再理解 为什么指数函数的底数a0，且a1?提示：如果a0，当x0时，ax恒等于0
2、，没有研究的必要；当x0时，ax无意义如果a0，且a1.1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)yx2是指数函数()(2)指数函数yax中，a可以为负数()(3)y2x1是指数函数()答案：(1)(2)(3)2若函数f(x)是指数函数，且f(2)2，则f(x)_解析：设f(x)ax(a0，a1)，f(2)2，a22，a，即f(x)()x.答案：()x知识点二指数增长和指数衰减1指数增长：当底数a1时，指数函数yax的值从au增长到auT的增长率(auTau)auaT1是一个常量时，这个量被描述为指数式增长也称指数增长2指数衰减：如果底数0a，当n8时，y0，且a1)是指数函数，则k_，b
3、_；(3)若函数f(x)是指数函数，且f(2)9，则f(x)_解析(1)中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；中y2x12x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；是指数函数(2)根据指数函数的定义，得解得(3)由题意设f(x)ax(a0且a1)，因为f(2)a29，所以a3，所以f(x)3x.答案(1)(2)12(3)3x1判断一个函数是指数函数的方法(1)看形式：判断其解析式是否符合yax(a0，且a1)这一结构特征；(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数2求指数函数的解析式或函数值(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数
4、法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键；(2)求指数函数的函数值的关键是求指数函数的解析式 跟踪训练1若函数y(2a1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是()A(0，1)(1，)B0，1)(1，)C.(1，) D解析：选C依题意得2a10，且2a11，解得a，且a1，故选C.2已知函数f(x)为指数函数，且f，求f(2)的值解：设f(x)ax(a0且a1)，由f得，a，所以a3，又f(2)a2，所以f(2)32.指数增长模型的应用例2(链接教科书第105页例1)某林区2020年木材蓄积量为200
5、万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求yf(x)的表达式，并求此函数的定义域解现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为2002005%200(15%)经过2年后木材蓄积量为：200(15%)200(15%)5%200(15%)2.经过x年后木材蓄积量为200(15%)x.yf(x)200(15%)x.函数的定义域为xN.指数增长模型的特点及求解策略(1)利用数学方法解决实际问题时，应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题；(2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N
6、，平均增长率为p0，则对于经过时间x后的总量y可以用yN(1p)x来表示，其中1p1，这是非常有用的指数增长模型 跟踪训练某地区2010年年底的人口数量为500万，人均住房面积为6平方米，若该地区的人口年平均增长率为1%，要使2021年年底该地区的人均住房面积至少为7平方米，则平均每年新增住房面积至少_万平方米(精确到1万平方米，参考数据：1.0191.093 7，1.01101.104 6，1.01111.115 7)解析：设平均每年新增住房面积x万平方米，则7，解得x82.2782.即平均每年新增住房面积至少82万平方米答案：82指数衰减模型的应用例3(链接教科书第106页例2)灌满开水的
7、热水瓶放在室内，如果瓶内开水原来的温度是1 ，室内气温是0 ，t min后，开水的温度可由公式0(10)ekt求得，其中k是与热水瓶类型有关的正的常量现有一个某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100 ，1 h后又测得瓶内水温变为98 .已知某种茶叶必须用不低于85 的开水冲泡，现用这个热水瓶在早上六点灌满100 的开水，问：能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲泡这种茶叶？(假定该地白天室温为20 )解根据题意，有9820(10020)e60k，整理得e60k，利用计算器，算得k0.000 42.故2080e0.000 42t，从早上六点到这一天的中午十二点共经过6 h，即360 min.当t3
8、60时，2080e0.000 4236089.因为89 高于85 ，所以能够在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲泡这种茶叶指数衰减模型的特点及求解策略(1)一般来说，若题中已给出函数模型，如本题给出的是指数型函数模型，只要解函数模型即可常用的方法是待定系数法；(2)在实际问题中，设其数为N，平均增长率p0)，则对于经过时间x后的总量y可用yN(1p)x表示，其中01p0，且a1)，f(2)4，则函数f(x)的解析式是()Af(x)2x Bf(x)Cf(x)4x Df(x)解析：选A由f(2)4得a24，又a0，且a1，所以a2，即f(x)2x.故选A.4若函数y(43a)x是指数函数，则实数a的取值范围为_解析：若函数y(43a)x是指数函数，则43a0且43a1，所以a且a1，所以实数a的取值范围为(，1).答案：(，1)5一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余物质的质量约是原来的，则经过_年，剩余物质的质量是原来的.解析：经过一年，剩余物质的质量约是原来的；经过两年，剩余物质的质量约是原来的；经过三年，剩余物质的质量约是原来的.答案：三