1、第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第四节随机事件的概率微知识 小题练微考点 大课堂微考场 新提升2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别；2.了解两个互斥事件的概率加法公式。2016，全国卷，18,12分(随机事件的概率)2015，北京卷，17,13分(用频率估计概率)2015，陕西卷，19,12分(用频率估计概率)2014，福建卷，20,12分(用频率估计概率)1.多以选择题或填空题的形式直接考查互斥事件的概率及运算，而随机事件的有关概念和频率很少直接考查；2.互斥事件、对立事件发生的概率问题有时也会出现在
2、解答题中，多为应用问题。微知识 小题练 教材回扣 基础自测 自|主|排|查 1事件(1)在条件S下，_的事件，叫做相对于条件S的必然事件。(2)在条件S下，_的事件，叫做相对于条件S的不可能事件。(3)在条件S下，_的事件，叫做相对于条件S的随机事件。可能发生也可能不发生一定会发生一定不会发生 2概率和频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否发生，称n次实验中事件A发生的次数nA为事件A发生的频数，称事件A发生的比例fn(A)_为事件A发生的频率。(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用_来估计概率P(A)。频
3、率fn(A)nAn 3事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B_，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)_相等关系若BA，且_，那么称事件A与事件B相等_并事件(和事件)若某事件发生当且仅当_，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当_，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)_互斥事件若AB为_事件，那么称事件A与事件B互斥AB对立事件若AB为_事件，AB为_，那么称事件A与事件B互为对立事件AB且ABU一定发生BA(或AB)ABAB事件A发生或事件B发生事件A发生且事件B发生AB(或AB)不可能不可
4、能必然事件 4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：_。(2)必然事件的概率P(E)_。(3)不可能事件的概率P(F)_。(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AB)_。(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件，P(AB)_，P(A)_。1P(B)0P110P(A)P(B)1 微点提醒 1频率与概率有本质的区别，不可混为一谈。频率随着试验次数的改变而改变，概率却是一个常数。当试验次数越来越多时，频率向概率靠近。2随机事件和随机试验是两个不同的概念，没有必然的联系。在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件；条件每实现一次，叫做一次试验，如果
5、试验结果试验前无法确定，叫做随机试验。3对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件。小|题|快|练 一、走进教材 1(必修3P121练习T4)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A至多有一次中靶B两次都中靶 C只有一次中靶D两次都不中靶【解析】射击两次的结果有：一次中靶；两次中靶；两次都不中靶，故至少一次中靶的互斥事件是两次都不中靶。故选D。【答案】D2(必修 3P123A 组 T2 改编)给出下列三个命题，其中正确的命题有_个。有一大批产品，已知次品率为 10%，从中任取 100 件，必有 10 件是次品
6、；做 7 次抛硬币的试验，结果 3 次出现正面，因此正面出现的概率是37；随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率。【解析】错，不一定是 10 件次品；错，37是频率而非概率；错，频率不等于概率，这是两个不同的概念。【答案】0【解析】事件A发生的概率近似等于该频率的稳定值。故选A。【答案】A二、双基查验1在 n 次重复进行的试验中，事件 A 发生的频率为mn。当 n 很大时，P(A)与mn的关系是()AP(A)mn BP(A)mnCP(A)mnDP(A)mn 2从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是()A至少有一个红球与都是红球 B至少有一个红球与都是白球 C
7、至少有一个红球与至少有一个白球 D恰有一个红球与恰有两个红球【解析】A中的两个事件不互斥，B中两事件互斥且对立，C中的两个事件不互斥，D中的两个互斥而不对立。故选D。【答案】D3掷一枚均匀的硬币两次，事件 M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件 N：至少一次正面朝上。则下列结果正确的是()AP(M)13 P(N)12BP(M)12 P(N)12CP(M)13 P(N)34DP(M)12 P(N)34【解析】由条件知事件 M 包含：(正、反)、(反、正)。事件 N 包含：(正、正)、(正、反)、(反、正)故 P(M)12，P(N)34。故选 D。【答案】D 4从某班学生中任意找出一人，如果该同学的
8、身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在160,175的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为_。【解析】由对立事件的概率可求该同学的身高超过175 cm的概率为10.20.50.3。【答案】0.3 5先后抛掷一枚硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是_。【答案】78微考点 大课堂 考点例析 对点微练 【典例1】(1)从1,2,3，7这7个数中任取两个数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。上述事件中，是对立事件的是()A B CD考点一随机事件的关系(2)设条件甲：“
9、事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)P(B)1”，则甲是乙的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】(1)中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从 17 中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件。故选 C。(2)若事件 A 与事件 B 是对立事件，则 AB 为必然事件，再由概率的加法公式得 P(A)P(B)1。设掷一枚硬币 3 次，事件 A：“至少出现一次正面”，事件 B：“3 次出现正面”
10、，则 P(A)78，P(B)18，满足P(A)P(B)1，但 A，B 不是对立事件。故选 A。【答案】(1)C(2)A反思归纳 利用集合方法判断互斥事件与对立事件1由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥。2事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A所含的结果组成的集合的补集。【解析】至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A。【答案】A【变式训练】在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2 张，若事件“2 张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事
11、件是()A至多有一张移动卡 B恰有一张移动卡C都不是移动卡D至少有一张移动卡【典例2】某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：考点二随机事件的概率上年度出险次数012345保费0.85aa 1.25a1.5a1.75a2a出险次数012345频数60 50 30 30 20 10(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”。求P(B)的估计
12、值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值。【解析】(1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2。由所给数据知，一年内出险次数小于 2 的频率为6050200 0.55，故 P(A)的估计值为 0.55。(2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4。由所给数据知，一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为3030200 0.3，故 P(B)的估计值为 0.3。(3)由所给数据得 调查的200名续保人的平均保费为 085a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.192 5a。因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a
13、。【答案】(1)0.55(2)0.3(3)1.192 5a保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05 反思归纳 1.概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值。2随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率。【变式训练】随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天
14、不下雨的概率；(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率。日期12345678910天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴日期11121314151617181920天气 阴 晴 晴 晴 晴 晴 阴 雨 阴 阴日期21222324252627282930天气 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨【解析】(1)在容量为 30 的样本中，不下雨的天数是 26，以频率估计概率，4 月份任选一天，西安市不下雨的概率为26301315。(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1 日与 2 日，2 日与 3日等)。这样，在 4 月份中，前一天为晴
15、天的互邻日期对有 16 个，其中后一天不下雨的有 14 个，所以晴天的次日不下雨的频率为78。以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78。【答案】(1)1315(2)78【典例3】某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示。考点三互斥事件与对立事件的概率一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%。(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算
16、时间不超过2分钟的概率。(将频率视为概率)【解析】(1)由已知得 25y1055，x3045，所以 x15，y20。该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100位顾客一次购物的结算时间可视为总体容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1151.5302252.5203101001.9(分钟)。(2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”，A1，A2 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 2.5 分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为 3 分钟”，将频率视为概率得 P(A1)2010015，P(A2)1
17、0100110。P(A)1P(A1)P(A2)115110710。故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为710。【答案】(1)x15，y20,1.9 分钟(2)710反思归纳 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由 P(A)1P(A)求解。当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法。【变式训练】国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中710环的概率如下表所示：求该射击队员射击一次：(1)射中9环或10环的概率；(2
18、)命中不足8环的概率。命中环数10环 9环8环7环概率0.32 0.28 0.18 0.12【解析】记事件“射击一次，命中k环”为Ak(kN，k10)，则事件Ak彼此互斥。(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P(A)P(A9)P(A10)0.280.320.60。(2)设“射击一次，至少命中 8 环”的事件为 B，则 B 表示事件“射击一次，命中不足 8 环”。又 BA8A9A10，由互斥事件概率的加法公式得P(B)P(A8)P(A9)P(A10)0.180.280.320.78。故 P(B)1P(B)10.780.2
19、2。因此，射击一次，命中不足 8 环的概率为 0.22。【答案】(1)0.60(2)0.22微考场 新提升 考题选萃 随堂自测 1(2017太原模拟)某袋中有编号为 1,2,3,4,5,6 的 6 个小球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是()A.15B.16C.56D.3536解析 记 a、b 分别为甲、乙摸出球的编号，由题意得，所有的基本事件共有 36 个，满足 ab 的基本事件共有 30 个，所求概率为303656。故选 C。答案 C2(2016兰州诊断)从数字 1,2,3 中任取两个不同的
20、数字构成一个两位数，则这个两位数大于 30 的概率为()A.16B.13C.12D.23解析 从数字 1,2,3 中任取两个不同的数字构成的两位数有 12、13、21、23、31、32，共 6 个，其中大于 30 的有 31、32，共 2 个，故所求概率为2613。故选 B。答案 B3(2017云南模拟)从 2,0,1,5 这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字 2 是取出的三个不同数的中位数的概率为()A.34B.58C.12D.14解析 分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4 种取法，符合题意的取法有 2 种，故所求概率 P12。故选 C。答案 C 4从20名男生、10名女生中任选3名参加体能测试，则选到的3名学生中既有男生又有女生的概率为_。解析 选到的同学中有男生 1 名、女生 2 名的选法有 C120C210种，选到的学生中有男生 2 名、女生 1 名的选法有 C220C110种，则选到的 3 名学生中既有男生又有女生的概率为 PC120C210C220C110C3302029答案 20295一枚硬币连掷 5 次，则至少一次正面向上的概率为_。解析 因为一枚硬币连掷 5 次，没有正面向上的概率为 125，所以至少一次正面向上的概率为 1 1253132。答案 3132