1、近年来，全国卷立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常以棱柱、棱锥等为载体，考查平行与垂直的证明、三视图和空间角以及多面体的表面积和体积等计算，题型一般是两道小题(选择题或填空题)和一道解答题，分值在22分左右第10讲 空间几何体1考题展望本节内容空间几何体(含组合体)的三视图、面积与体积的计算是高考考查的热点，侧重考查三视图及表面积和体积的计算，大多以选择题和填空题的形式出现，分值为5分，试题难度中档偏易2高考真题考题1(2013全国)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A168B88C1616D816【解析】选A.三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体如图，其
2、中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4.所以长方体的体积42216，半个圆柱的体积 12 2248，所以这个几何体的体积是168.【命题立意】将三视图还原为直观图，考查了空间想象能力，考查了分析问题、解决问题的能力与运算求解的能力考题 2(2014 全国)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A6 2B4 2C6 D4【解析】选 C.将三视图还原为几何体再计算，几何体为三棱锥 如图，侧面 SBC底面 ABC.点 S 在底面 ABC 的射影点 O 是BC 的中点，ABC 为直角三角形 AB4
3、，BO2，AO 20，SO底面 ABC，SOAO，SO4，最长的棱 AS 20166.【命题立意】知识：对空间几何体的三视图及直观图，表面积的计算能力：将三视图还原为直观图，考查了空间想象能力；根据几何体的表面积的计算，考查了运算求解的能力考题3(2015全国)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620，则r()A1 B2C4 D8【解析】选B.由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为124r2r2rr22r2r5r24r21620，解得r2
4、，故选B.【命题立意】本题主要考查简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的侧面积公式1空间几何体的视图、表面积与体积的主要知识点有：三视图，直观图，球、锥体、柱体、台体的表面积与体积等2三视图画法的规则：长对正、宽相等、高平齐3水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法的规则：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x轴与y轴，两轴相交于点O，且使xOy45或135.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中仍然平行于x轴，且其长度不变；平行于y轴的线段，在直观图中仍然平行于y轴，且其长度变为原来的一半4旋转体的侧面积是指其侧面展开图的面积，因此，要弄清侧面展
5、开图的形状对于多面体的表面积，只需具体研究各面的性质，进而分别计算5计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据已知条件找出相应的底面面积和高；对于简单组合体的体积要通过“割”与“补”化归为简单几何体体积的问题；对于三棱锥，以其任意一个面作为底面，都可以表示其体积6关于球的问题要注意球的半径、截面圆半径、球心到截面圆的距离构成的直角三角形1空间几何体的三视图例1(1)若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是()【解析】选C.由题意可得，A是正方体，B是三棱柱，C是半个圆柱，D是圆柱，C不能满足正视图和侧视图是两个全等的正方形，故选C.(2)如图为一个几何体的侧视图和
6、俯视图，若该几何体的体积为43，则它的正视图为()【点评】三视图的画法规则：长对正、宽相等、高平齐，识读三视图时，既要关注“形”，又要关注“量”【解析】选B.由几何体的侧视图和俯视图，可知几何体为组合体，上方为棱锥，下方为正方体，由俯视图可得，棱锥顶点在底面上的射影为正方形一边上的中点，顶点到正方体上底面的距离为1，所以选B.2空间几何体的表面积与体积例2(1)某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为60的扇形，则该几何体的侧面积为()A12103 B6103 C122D64【解析】选C.由三视图可知，该几体何是沿圆柱的底面夹角为60的两条半径与中心轴线相交得到平面为截面
7、截下的圆柱一角，其中两个侧面都是矩形，矩形一边长为半径2，一边长为柱高3，另一侧面为圆柱侧面的 16，因此该几何体的侧面积为S232316(223)122.(2)若某棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该棱锥的体积等于()A10 cm3B20 cm3C30 cm3D40 cm3【解析】选 B.由三视图知该几何体是四棱锥，可视作直三棱柱ABCA1B1C1 沿平面 AB1C1 截去一个三棱锥 AA1B1C1 余下的部分VABCC1B1VABCA1B1C1VAA1B1C112435131243 520 cm3.【点评】求几何体的体积问题，可以多角度、全方位地考虑问题，常采用的方法有“换底法”、“分
8、割法”、“补体法”等，尤其是应高度重视“等积转化”的数学思想方法【解析】选B.正方体一底面的中心即球的球心，设球的半径为R，正方体的棱长为a，则有R2a222 a 2，得R232a2，所以半球的体积与正方体的体积之比 23R3a3 62.3球的表面积与体积例3(1)半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为()A.5 6 B.6 2C 2 D5 12【解析】14 三棱锥 PABC 的外接球即为以 PABC 的顶点为顶点的长方体的外接球，所求球的直径为 149 14，则球的表面积为 4142214.(2)在三棱锥 PABC 中，侧棱 PA，PB，PC 两两垂直，PA1，PB2，
9、PC3，则三棱锥的外接球的表面积为_【解析】(1)证明：由题意可得DC2 3，BD2AD2AB24，则BC2DB2DC2，BDDC.PD平面ABCD，BDPD，而PDCDD，BD平面PDC.PC平面PDC，BDPC.备选题 例4 如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，ABC90，PD平面ABCD，AD1，AB3，BC4.(1)求证：BDPC；(2)当PD1时，求此四棱锥的表面积(2)PD平面ABCD，PDAB，而ABAD，PDADD，AB平面PAD，ABPA，即PAB是直角三角形 PA PD2AD2 2，SRtPAB12ABPA12 3 2 62.过点D作DHBC于点H，连接P
10、H，则同理可证明PHBC，且DHAB3，则PHPD2DH2 12（3）22.故SPBC12BCPH12424.易得SRtPDA12ADPD121112.SRtPDC12DCPD122 31 3.S梯形ABCD 12(ADBC)AB 12(14)3 5 32.故此四棱锥的表面积SSRtPABSRtPADSRtPDCSPBCS梯形ABCD62 12 3 4 5 3297 3 62.1与三视图有关的问题，关键是将三视图还原成直观图解题时要注意还原时点、线、面之间的关系，最好在还原后检查直观图与题中的三视图是否吻合2求空间几何体的体积与表面积时，如果是组合体，关键是将组合体合理地分解成几个简单空间几何
11、体；而对于锥、柱、台的体积与表面积，主要是计算底面积与高(斜高)3与球有关的问题一般分为两类：一类是与球的截面有关，这个时候要充分运用由球的半径、截面圆的半径、球心到截面圆的距离构成的直角三角形；另一类是多面体的内切球与外接球，此类问题的关键是弄清球的半径与多面体之间的关系1下图几何体的正视图和侧视图可能正确的是()【解析】选A.本题考查学生的空间想象能力，关键要想象出侧视图2用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如图所示，则此立体模型的表面积为()A24 B23C22 D21【解析】选C.这个空间几何体是由两部分组成的，下半部分为四个小正方体、上半部分为一个小正方体，结
12、合直观图可知，该立体模型的表面积为22.3一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)如图所示，则该几何体的表面积是()A204B244C203D243【解析】选 C.由三视图可知该几何体为一个正方体和一个半圆柱的组合体，且正方体的棱长为 2，半圆柱的底面半径为 1，母线长为 2，所以该几何体的表面积为 2252212203.4在棱长为 2 的正方体内有一四面体 ABCD，其中 B，C 分别为正方体两条棱的中点，其三视图如图所示，则四面体 ABCD 的体积为()A.83B2 C.43D1【解析】选D.本题考查了空间几何体的体积如图，取E为AD的中点，连BE，CE，因为正方体的棱长为2，所以ABB
13、DACCD5，AD23，BC6，所以BEAD，CEAD，所以AD平面BCE，所以BECE2，由余弦定理可得cosEBCBE2BC2CE22BEBC32，所以sinEBC 12，所以SEBC 12 BEBCsinEBC32，又AD23，所以VABCD13 32 2 31，选D.5已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3 2，则这个四棱锥的外接球的表面积为()A12B36C72D108【解析】选B.依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为3 2 26，高为（3 2）2126 2 3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等
14、于43236，选B.6若一个圆锥的侧面展开图是面积为2 的半圆面，则该圆锥的体积为_【解析】33 因为半圆的面积为2，所以半圆的半径为2，底面圆的周长为2，所以圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，所以圆锥的高为 3，体积为 33.7如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为_cm3.【解析】6 由题意知，四边形ABCD为正方形，连接AC，交BD于O，则ACBD，由面面垂直的性质定理，可证AO面BB1D1D.四棱锥底面BB1D1D的面积为32 26 2cm2，从而VABB1D1D13OASBB1D1D6 cm3.8如图，AD 与 B
15、C 是四面体 ABCD中互相垂直的棱，BC2.若 AD2c，且 ABBDACCD2a，其中 a、c 为常数，则四面体 ABCD 的体积的最大值是_【解析】2c3 a2c21 过点 B 在平面 BAD 中作 BEAD，垂足为 E，连接 CE，因为 BCAD，所以 AD平面 BCE，所以四面体 ABCD的体积为13SBCEAD，当BCE 的面积最大时，体积最大因为 ABBDACCD2a，所以点B、C各在一个以AD2c为焦距，2a为长轴的椭圆上运动，又ADBC，BCE为等腰三角形，且EBEC，BC2为定值，要使等腰三角形BCE面积最大，则底边BC上的高应最大，等价于腰BE(CE)最大，由椭圆知识可知
16、当ABBDACCDa时，BECEa2c2 为最大值，此时截面BCE面积最大，为 122a2c21 a2c21，此时四面体ABCD的体积最大，为13SBCEAD2c3 a2c21.9如图所示，在四棱锥SABCD中，ABAD，ABCD，CD3AB，平面SAD平面ABCD，M是线段AD上一点，AMAB，DMDC，SMAD.(1)证明：BM平面SMC.(2)设三棱锥CSBM与四棱锥SABCD的体积分别为V1与V，求V1V 的值【解析】(1)平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，SM平面SAD，SMAD，SM平面ABCD.BM平面ABCD，SMBM.四边形 ABCD 是直角梯形，ABCD，AMAB，DMDC，MAB，MDC 都是等腰直角三角形，AMBCMD45，BMC90，BMCM，SM平面 SMC，CM平面 SMC，SMCMM，BM平面 SMC.(2)三棱锥 CSBM 与三棱锥 SCBM 的体积相等，由(1)知，SM平面 ABCD，故V1V 13SM12BMCM13SM12（ABCD）AD，设 ABa，由 CD3AB，AMAB，DMDC，得 CD3a，BM 2a，CM3 2a，AD4a，从而V1V 2a3 2a（a3a）4a38.