1、3.1 任意角与弧度制、任意角的三角函数 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 3.1 任意角与弧度制、任意角的三角函数双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1角的概念(1)角的分类角按旋转方向不同可分为_、_、_(2)终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合_正角负角零角|k360，kZ2象限角及终边落在坐标轴上的角终边位置集合表示第一象限第二象限_第三象限第四象限_|2k2k2，kZ|2k22k，kZ|2k2k32，kZ|2k32 2k2，kZ终边位置 集合表示 x轴 正半轴|2k，kZ 负半轴 _y轴 正半轴 负半轴 _坐标轴|k2，kZ|2k2，kZ|2k2，
2、kZ|2k，kZ思考感悟1如何表示终边在x轴上、y轴上的角的集合？提示：终边在 x 轴上的角的集合为|k，kZ；终边在 y 轴上的角的集合为|k2，kZ3角度制与弧度制的互化360_，180_，1_rad，1rad()57.35718.4弧长及扇形面积公式弧长公式：l|r，扇形面积公式：S_，其中l为扇形弧长，为圆心角的弧度数，r为扇形半径218018012lr12|r25任意角的三角函数三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 定义 在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角，使角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(x，y)_叫作的正弦函数，记作sin _叫作的余弦函数，
3、记作cos _叫作的正切函数，记作tan(k，kZ)yrxryx2三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 各象限符号 口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦都为正值 终边相同角的三角函数值(kZ)sin(2k)_ cos(k2)cos tan(2k)_ sintan思考感悟2根据三角函数的定义，三角函数在各象限的符号与此象限点的坐标的符号有怎样的关系？提示：根据三角函数的定义，ysinx在各象限的符号与此象限点的纵坐标符号相同，ycosx在各象限的符号与此象限点的横坐标符号相同，ytanx在各象限的符号与此象限点的纵坐标与横坐标商的符号相同6三角函数线图中有向线段MP、OM、AT分别表示_、_、
4、_正弦线余弦线正切线1(2011年蚌埠质检)若k18045(kZ)，则是()A第一或第三象限角 B第一或第二象限角C第二或第四象限角D第三或第四象限角答案：A课前热身 答案：D2cos 390等于()A12B.12C 32D.323若sin0，则是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角答案：C4(教材习题改编)若角 的终边经过点 P(3，m)，且 sin 34 m(m0)，则 cos _.答案：34答案：第二象限5已知 sin45，cos35，则角 2 所在的象限是_。考点探究挑战高考 考点突破 角的集合表示1相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个
5、，它们之间相差360的整数倍2角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在 y轴的负半轴上的角的集合可以表示为x|x2k2，kZ，也可以表示为x|x2k32，kZ3.2角所在象限 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 第一或第三象限角 第一或第三象限角 第二或第四象限角 第二或第四象限角 2(2011年亳州质检)如图所示，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且AOx45.点P从点A出发，依逆时针方向等速地沿单位圆周旋转已知P在1秒钟内转过的角度为(0180)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又回到出发点A，求.例1【思路点拨】先把实际语言转化为数学语言，即14秒钟后P在角1445的终
6、边上，由此可得到等量关系，再注意到角的范围便可确定的值【解】由题意，有 1445k36045(kZ)，k1807(kZ)又 180245270，即 67.5112.5.67.5k1807112.5，且 kZ，k3 或 k4.故所求的 值为 5407 或 7207.【名师点评】解答这类问题，关键在于抓住终边相同的角的一般表示，即与角终边相同的角的一般形式为k360(kZ)另外，对于角的概念，还要注意区分几个易混淆的概念：(1)正角、负角是以射线绕端点的旋转方向定义的，零角是射线没有做任何旋转；其顶点都在原点，始边为x轴的正半轴，所不同的是终边的旋转方向不同一个角是第几象限角，关键是看这个角的终边
7、落在第几象限；(2)“小于90的角”“锐角”“第一象限角”的根本区别在于其范围的不同，它们的范围分别是：“90”“090”“k360k36090(kZ)”任意角三角函数的定义是锐角三角函数定义的推广，利用任意角三角函数的定义可以解决与30，45，60等特殊角相关的三角函数求值问题，如计算sin150，cos135，tan120等已知角终边上一点的坐标，也可计算角的三角函数值等三角函数的定义【思路点拨】先根据三角函数的定义求出x的值，再求sin，tan的值已知角 的终边经过点 P(x，2)(x0)，且 cos 36 x，求 sin，tan 的值例2【解】P(x，2)(x0)，P 到原点距离 rx
8、22.又 cos 36 x，cosxx22 36 x.x0，x 10，r2 3.当 x 10时，P 点坐标为(10，2)，由三角函数定义，有 sin 66，tan 55，当 x 10时，P 点坐标为(10，2)，sin 66，tan 55.【名师点评】(1)在利用三角函数的定义求角的三角函数值时，若角的终边上点的坐标是以参数的形式给出的，则要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论(2)任意角的三角函数值仅与角的终边位置有关，而与角终边上点P的位置无关若角已经给出，则无论点P选择在终边上的什么位置(原点除外)，角的三角函数值都是确定的互动探究 1 将例 2 中 cos 36 x 换为 si
9、n 36 x，其他条件不变，求 cos、tan 的值解：P 到原点的距离 r x22，又 sin 36 x，2x22 36 x，解得 x24，又 36 x0，x2，则 cos2222 63，tan 22.1熟记各个三角函数在每个象限内的符号是关键2判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限3对于已知三角函数式的符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在象限三角函数值符号的判定(1)已知 sin235，cos245，则 角所在象限为_；(2)如果点 P(sincos，2cos)位于第三象限，试判断角 所在的象限；(3)若 是第二象限角，则 sincoscoss
10、in2的符号是什么？例3【思路点拨】(1)由 sin2，cos2的值确定2所在的象限，进而求出 所在象限(2)由点 P 所在的象限，知道 sincos，2cos 的符号，从而可求 sin 与 cos 的符号(3)由 是第二象限角，可求 cos，sin2 的范围，进而把 cos，sin2 看作一个用弧度制的形式表示的角，并判断其所在的象限，从而 sin(cos)，cos(sin2)的符号可定【解】(1)由条件知2是第二象限角，又由 sin235 22 sin34，知 2k34 22k，kZ，所以4k32 4k2，kZ，故角 在第四象限(2)点 P(sincos，2cos)位于第三象限，sinco
11、s0 且 cos0，cos0 得 位于第一、二象限或 y 轴正半轴上，由 cos0 得 位于第二、三象限或 x 轴负半轴上 为第二象限角(3)2k22k(kZ)，1cos0，4k24k2(kZ)，1sin20.sin(cos)0，sincoscossin20，即 sincoscossin2的符号是负号【误区警示】在第(1)问中，易忽视 sin2350，cos0 时，易漏写 位于 y 轴正半轴上和 x 轴负半轴上；第(3)问中，易出现找不到解题方向，而无法解答，实质上21cos0，21sin20,这里应把 cos，sin2 看作角这类问题主要是利用周长和面积公式，找出扇形半径、圆心角、周长和面积
12、的联系，建立函数关系式已知一扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形周长为20 cm，当圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？弧度制的应用例4【思路点拨】利用弧度制下扇形弧长及面积公式【解】(1)603，lR310 cm103cm.(2)由 题 意 得：l 2R 20 cm，则 l 20 2R(0R0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：(1)设弧长为 l，弓形面积为 S 弓，603，R10，l103(cm)，S 弓S 扇S12103 1012102sin350(3 32)(cm2)(2)法一：扇形周长 c2Rl2RR，R c2，S 扇
13、12R212(c2)2c22 1442c22 144c216，当且仅当 4，即 2(2 舍去)时，扇形面积有最大值c216.法二：由已知 2Rlc，Rcl2(l0 时，r5a，sinyr45，cosxr35，tanyx43；7 分(2)当 a0 时，r5a，sinyr45，cosxr35，tanyx43.10 分【名师点评】(1)由终边上一点求三角函数值时，由于没有考虑参数的取值情况，从而求出 r3a24a3 25a25a，结果得到下列错误的解法：sinyr45，cosxr35，tanyx43.(2)角的终边是一条射线，而不是直线该题中，我们只能确定角的终边所在直线，若将已知改为角的终边在直线
14、 4x3y0 上，则解题过程仍然不变，应分两种情况讨论(3)如果是在单位圆中定义任意角的三角函数，设角 的终边与单位圆的交点坐标为(x，y)，则 sin y，cos x，tan yx，但如果不是在单位圆中，设角 的终边经过点 P(x，y)，|OP|r，则 sin yr，cosxr，tan yx.在这个定义中最容易弄错的就是正弦和余弦的定义，在解决与三角函数定义有关的试题时，一定要注意准确性，不要把 x，y 的位置颠倒解析：选A.sin(2191)sin(636031)sin31.故选A.名师预测1下列各选项中，与 sin(2191)的值最接近的数是()A.12 B.22C12D 222角 的终边过点 P(1,2)，则 sin()A.55B.2 55C 55D2 55解析：选 B.r1222 5.sinyr 252 55.3若角与角的终边在同一条直线上，则角与角满足关系式_解析：由条件知角与角的终边或重合或共线且反向，于是有2k1或2k2(2k21)(k1、k2Z)，即k(kZ)答案：k(kZ)4已知圆的半径是6 cm，则15的圆心角与圆弧围成的扇形面积是_解析：15 12 rad，S 扇12r212 1236 32 cm2.答案：32 cm2本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用