1、3.1.3简单的分段函数新课程标准解读核心素养通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用数学抽象、数学运算某村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度时，每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元收取方案二：不收管理费，每度0.58元问题(1)老王家九月份按方案一交费35元，问老王家该月用电多少度？(2)老王家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？知识点分段函数1定义：一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数2图象：分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成在同一直角坐标系中，根据
2、每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象对分段函数的再理解(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系； (2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围；(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式；(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集函数y是分段函数吗？它是一个函数还是两个函数？提示：函数y是分段函数，它
3、是一个函数1已知f(x)则f(2)_答案：22函数y的定义域为_，值域为_答案：(，0)(0，)2(0，)3下列图形是函数yx|x|的图象的是_(填序号)答案：分段函数的定义域、值域例1(1)已知函数f(x)，则其定义域为()ARB(0，)C(，0) D(，0)(0，)(2)函数f(x)的定义域为_，值域为_解析(1)要使f(x)有意义，需x0，故定义域为(，0)(0，)(2)由已知定义域为x|0x10x|1x0x|1x1，即(1，1)又0x1时，0x211，1x0时，1x210，x0时，f(x)0，故值域为(1，0)0(0，1)(1，1)答案(1)D(2)(1，1)(1，1)1分段函数定义域
4、、值域的求法(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；(2)分段函数的值域是各段函数值域的并集2绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决 跟踪训练函数f(x)的值域是()AR B0，)C0，3 D0，23解析：选D当x0，1时，f(x)2x20，2，所以函数f(x)的值域为0，22，30，23分段函数求值问题例2已知函数f(x)(1)求f(f(f(2)的值；(2)若f(a)，求a.解(1)21时，f(a)1，a21；当1a1时，f(a)a21，a1，1；当a1(舍去)综上，a2或a.1求分段函数的函数值的方法(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间；(2)代入该段的解析式求值，直
5、到求出值为止当出现f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值2已知函数值求字母取值的步骤(1)先对字母的取值范围分类讨论；(2)代入到不同的解析式中；(3)通过解方程求出字母的值；(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内 跟踪训练1已知函数f(x)设f(0)a，则f(a)()A2 B1C. D0解析：选Aaf(0)0311，f(a)f(1)2(1)2，故选A.2设f(x)若f(a)f(a1)，则f()A2 B4C6 D8解析：选C当0a1，则f(a)，f(a1)2(a11)2a，f(a)f(a1)，2a，解得a.ff(4)2(41)6.当a1时，a12，f(a)2(a1)，f(a1)2(a11)
6、2a，则2(a1)2a，无解综上，f6.分段函数的图象及应用例3(链接教科书第74页例6、例7)已知函数f(x)1(2x2)(1)用分段函数的形式表示该函数；(2)画出函数的图象；(3)写出该函数的值域解(1)当0x2时，f(x)11，当2x0时，f(x)11x.f(x)(2)函数f(x)的图象如图所示：(3)由(2)知，f(x)在(2，2上的值域为1，3)母题探究(变条件)若本例条件变为“已知函数f(x)|x|2”，如何求解？解：(1)f(x)|x|2(2)函数的图象如图所示：(3)由图可知，f(x)的值域为2，)分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意
7、义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象；(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏 跟踪训练1设xR，定义符号函数sgn x则函数f(x)|x|sgn x的图象大致是()解析：选C函数f(x)|x|sgn x故函数f(x)|x|sgn x的图象为yx所在的直线，故选C.2(多选)已知f(x)则不等式xf(x)x2的解可以是()A1 B2C1 D3解析：选AC当x0时，原不等式可化为xx2，x1，0x1；当x0时，原不等式可化为x2，x0.综上，不
8、等式的解集为(，1故可选A、C.分段函数的应用问题例4(链接教科书第73页例5)某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时(1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12x30)，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12x30)，试求f(x)与g(x)的解析式；(2)问该企业选择哪家俱乐部比
9、较合算，为什么？解(1)由题意f(x)6x，x12，30，g(x)(2)12x20时，6x90，解得x15，即当12x15时，f(x)g(x)，当x15时，f(x)g(x)，当15g(x)当20g(x)，故当12x15时，选A俱乐部合算，当x15时，两家俱乐部一样合算，当15100时，设函数解析式为yaxb(a0)将x100，y65和x130，y89代入，得解得所以y0.8x15.综上可得y(2)由(1)知电力公司采取的收费标准为用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.80元1设函数f(x)则f(f(3)()A.B3C. D解析：选D由题意得f(3
10、)，从而f(f(3)f1.2(多选)下列给出的函数是分段函数的是()Af(x)Bf(x)Cf(x)Df(x)解析：选AD对于B，取x2，得f(2)3或4，对于C，取x1，f(1)5或1，所以B、C都不合题意，故选A、D.3函数f(x)|x1|的图象是()解析：选B法一：函数的解析式可化为y画出此分段函数的图象，故选B.法二：由f(1)2，知图象过点(1，2)，排除A、C、D.4.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是_解析：由题图可知，f(x)的图象是由两条线段组成的当1x0时，设f(x)axb(a0)，将(1，0)，(0，1)代入解析式，得解得当0x1时，设f(x)kx(k0)，将(1，1)代入，得k1.所以f(x)的解析式为f(x)答案：f(x)