1、31函数31.1对函数概念的再认识新课程标准解读核心素养1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，会判断两个函数是否为同一函数数学抽象2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用数学抽象、数学建模3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域，值域数学抽象、数学运算微信是即时聊天工具，通过微信，我们可以结交很多全国各地的新朋友，可以与远方的亲朋好友面对面交流，省钱、快捷、方便，可以传送文件，还可以通过聊天练习打字、学会上网等，通过微信，我们开心的时候可以找人分享，不开心的时候可以找人倾诉，所以说现在微信成了我们生活不可缺少的一部分大部分
2、同学都有微信号，这样微信号与同学之间就有对应关系，即微信号(可能不止一个)对应唯一一位同学在数学领域也有类似的对应问题，即实数x(可能不止一个)对应实数y(唯一一个)问题你知道这种对应关系在数学中叫什么吗？知识点一函数的有关概念1定义：设A，B是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，那么称这样的对应f：AB为定义于A取值于B的函数2记法：yf(x)(xA，yB)3定义域：叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域4函数值(值域)：与xA对应的数叫作函数值，记作f(x)，所有函数值组成的集合f(x)|xA叫作函数的值域值域是
3、集合B的子集对函数概念的3点说明(1)当A，B为非空数集时，符号f：AB表示从集合A到集合B的一个函数；(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性；(3)符号“f”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样 1有人认为“yf(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？提示：这种看法不对符号yf(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值yf(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘
4、积”在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数2f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当xa时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)3x4，当x8时，f(8)38428是一个常数1下图中能表示函数关系的是_解析：由于中的2与1和3同时对应，故不是函数答案：2函数f(x)的定义域是_解析：由4x0，解得x4，所以原函数的定义域为x|x4答案：x|x43已知f(x)x21，则f(1)_解析：f(x)x21，f(1)(1
5、)212.答案：2知识点二函数相等两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个xU都有f(x)g(x)时，叫作相等定义域和值域分别相同的两个函数是相等函数吗？提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是相等函数给出下列三组函数，其中表示相等函数的是_(填序号)f(x)x，g(x)；f(x)2x1，g(x)2x1；f(x)x，g(x).解析：两函数的定义域不同，f(x)与g(x)不是相等函数；两函数的解析式不同(对应关系不同)，f(x)与g(x)不是相等函数；f(x)与g(x)不但定义域相同，而且对应关系也相同，故f(x)与g(x)是相等函数答案：函数关系的判断例1(1)设
6、Mx|0x2，Ny|0y2，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是()A0B1C2 D3(2)(多选)下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有()AA1，0，1，B1，0，1，f：A中的数的平方BA0，1，B1，0，1，f：A中的数的开方CAZ，BQ，f：A中的数的倒数DA1，2，3，4，B2，4，6，8，f：A中的数的2倍解析(1)中，因为在集合M中当1x2时，在N中无元素与之对应，所以不是；中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以是；中，x2对应元素y3N，所以不是；中，当x1时，在N中有两个元素与之对应，所以不是因此只有是，故选B.(2
7、)A中，可构成函数关系；B中，对于集合A中元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系；C中，A中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，因此不是函数关系；D中，可构成函数关系，故选A、D.答案(1)B(2)AD1判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集；(2)A中的任意一个元素在B中有且只有一个元素与之对应2根据图形判断是否为函数的方法(1)任取一条垂直于x轴的直线l；(2)在定义域内平行移动直线l；(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数注意对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一
8、对多”的不是函数关系 跟踪训练1下列对应或关系式中是A到B的函数的是()AAR，BR，x2y21BA1，2，3，4，B0，1，对应关系如图：CAR，BR，f：xyDAZ，BZ，f：xy解析：选BA错误，x2y21可化为y，显然对任意xA，y值不唯一；B正确，符合函数的定义；C错误，2A，但在B中找不到与之相对应的数；D错误，1A，在B中也找不到与之相对应的数2下列各题中的对应关系是不是实数集R上的函数？为什么？(1)f：把x对应到3x1；(2)g：把x对应到|x|1；(3)h：把x对应到；(4)r：把x对应到.解：(1)是，它的对应关系f是把x乘3再加1，对于任意的xR，3x1是唯一确定(2)
9、是，理由同上(3)不是，当x0时，无意义(4)不是，当x1且x1，函数的定义域为x|x1且x1求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合；(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集；(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义 跟踪训练1已知函数f(x)的定义域为x|2x2，函数g(x)，则函数g(x)的定义域为()A. Bx|x1C. D解析：选A由题可得解得0)的定义域思路点拨由f(x)的定义
10、域为0，1可知对应关系f作用的范围为0，1，而f(xm)f(xm)的定义域是指当x在什么范围内取值时，才能使xm，xm都在0，1这个区间内，从而使f(xm)f(xm)有意义解由题意得m0，mm，1m1m，而m与1m的大小不确定，对m与1m的大小讨论若m1m，即m，则xm；若m1m，即0m1m，即m，则x，与题意不符，故m不可能大于.综上所述，当0m时，函数g(x)的定义域为x|mx1m1(多选)下列等式中的变量x，y不具有函数关系的是()Ayx1 ByCy24x Dy2x2解析：选CD选项C中，当x1时，y2，不符合函数的定义；选项D中，当x1时，y1，不符合函数的定义故选C、D.2函数y的定
11、义域为()Ax|x1 Bx|x0Cx|x1或x0 Dx|0x1解析：选D由题意可知解得0x1.3下列各组函数中是相等函数的是()Ayx1与yByx21与st21Cy2x与y2x(x0)Dy(x1)2与yx2解析：选B对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为x|x1，不是相等函数；对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是相等函数；对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是相等函数；对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数4已知函数f(x)x2mxn，且f(1)1，f(n)m，则f(f(1)_，f(f(x)_解析：由题意知解得所以f(x)x2x1，故f(1)1.f(f(1)1，f(f(x)f(x2x1)(x2x1)2(x2x1)1x42x32x23x1.答案：1x42x32x23x1