1、二十一 圆与圆的位置关系(15 分钟 25 分)1已知 r0，圆心 O1：x2y2r2 与圆心 O2：(x3)2(y4)2(2r1)2 有两个不同的交点，则实数 r 的取值范围是()A43，B(0，4)C43，4D(4，)【解析】选 C.由题意得，(2r1)r|O1O2 r(2r1)，即 r153r1，解得43 r0，若圆 C 上存在点 P，使得APB90，则 m 的最大值为()A7 B4 C5 D6 【解析】选 D.若APB90，则点 P 的轨迹是以 AB 为直径的圆，其方程为 x2y2m2.由题意知圆 C：(x3)2(y4)21 与圆 O：x2y2m2 有公共点，所以|m1|OC|m1，易
2、知|OC 5，所以 4m6，故 m 的最大值为 6.2已知圆 C：x2y28x150，直线 ykx2 上至少存在一点 P，使得以点P 为圆心，半径为 1 的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最小值是()A43 B54C35 D53【解析】选 A.圆心(4，0)，半径 1.圆心到直线的距离|4k02|k212，解得43 k0.所以 k 的最小值为43.3两圆 x2y24x4y70 与 x2y24x4y10 的公共切线有_条()A1 B2 C3 D4【解析】选 C.圆 x2y24x4y70 的圆心(2，2)，半径为 1；圆 x2y24x4y10 的圆心(2，2)，半径为 3.圆心距（22）2（22）
3、2 413，所以两圆外切，公切线有 3 条4已知圆心 O：x2y24，点 P(1，4)，从点 P 引圆心 O 的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为()Ax4y40 Bx4y40Cx4y40 Dx4y80【解析】选 A.连接 OA，OB，OP(图略)，由题意可得，OAPA，OBPB，则可得 P，A，O，B 四点共圆，且 PO 为该圆的直径，故该圆的方程为x122(y2)2174 与 x2y24 相减，得 x4y40，即直线 AB 的方程为 x4y40.【误区警示】根据 P，A，O，B 四点共圆，转化为两圆相交弦所在直线比较好二、多选题(每小题 5 分，共 10 分，全部选对得
4、5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分)5已知圆 O1 的方程为 x2y24，圆 O2 的方程为(xa)2y21，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么实数 a 的取值可能是()A2 B1 C1 D3【解析】选 BCD.由题意得两圆内切或外切，所以|O1O2|21 或|O1O2|21，所以|a|3 或|a|1，所以 a3 或 a1.6已知圆 C1：x2y2r2 和圆 C2：(xa)2(yb)2r2(r0)交于不同的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列结论正确是()Ax1x2a，y1y2bB2ax12by1a2b20C2ax22by2a2b20Da(x1x2)b(y1y2)
5、0【解析】选 ACD.因为圆 C1：x2y2r2 和圆 C2：(xa)2(yb)2r2(r0)交于不同的两点 A，B，所以两圆方程相减可得直线 AB 的方程为 a2b22ax2by0，即 2ax2bya2b20，分别把点 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点坐标代入 2ax2bya2b20 得：2ax12by1a2b20，2ax22by2a2b20，所以选项 C 正确，上面两式相减得：2a(x1x2)2b(y1y2)0，即 a(x1x2)b(y1y2)0，所以选项 D 正确，因为两圆的半径相等，所以由圆的性质可知，线段 AB 与线段 C1C2 互相平分，所以x1x220a2，y1y220b2
6、，所以 x1x2a，y1y2b，所以 A 正确 三、填空题(每小题 5 分，共 10 分)7已知圆 C1：x2y26x70 与圆 C2：x2y26y270 相交于 A，B 两点，则线段 AB 的中垂线方程为_【解析】线段 AB 的中垂线就是两圆圆心连线，所以方程为 xy30.答案：xy308已知圆 O：x2y21，圆 M：(xa)2(y2)22.若圆 M 上存在点 P，过点 P作圆 O 的两条切线，切点为 A，B，使得 PAPB，则实数 a 的取值范围为_【解析】因为 PAPB，所以 O，A，P，B 构成正方形，|OP|2.以 O 为圆心，2 为半径作圆，与圆 M 有交点，所以 0 a222
7、2 2，解得 a2，2.答案：2，2四、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9已知圆 C1：x2y22x10y240 和圆 C2：x2y22x2y80 相交于A，B 两点(1)求直线 AB 的方程，并求出|AB；(2)在直线 AB 上取点 P，过 P 作圆 C1 的切线 PQ(Q 为切点)，使得|PQ 15，求点 P 的坐标【解析】(1)两圆方程相减得 4x8y160 即 x2y40，此即为直线 AB的方程，由题意知：圆 C2：(x1)2(y1)210，圆心到直线的距离是 5，|AB2 5.(2)设 P(2y4，y)，15|PQ|PC1 2r12（2y41）2（y5）250，整理得 y22
8、y30，解得 y1，y3，从而 P(6，1)或(2，3).10已知以 C1 为圆心的圆 C1：(x6)2(y7)225 及其上一点 A(2，4).(1)设圆 C2 与 x 轴相切，与圆 C1 外切，且圆心 C2 在直线 x6 上，求圆 C2 的标准方程；(2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 C1 相交于 B，C 两点，且|BC|OA，求直线 l的方程【解析】(1)因为圆心 C2 在直线 x6 上，所以可设 C2(6，n)，因为圆 C2 与 x 轴相切，则圆 C2 为(x6)2(yn)2n2.又圆 C2 与圆 C1 外切，圆 C1：(x6)2(y7)225.则|7n|n 5，解得 n1.所以圆 C2 的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)因为直线 lOA，所以直线 l 的斜率为4020 2.设直线 l 的方程为 y2xb，则圆心 C1 到直线 l 的距离 d|127b2212|5b5.则|BC 2 52d2 225（5b）25，又|BC|OA 2 5，所以 225（5b）252 5，解得 b5 或 b15，即直线 l 的方程为：2xy50 或 2xy150.