1、2014-2015学年湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知非零实数a，b满足ab，则下列不等式成立的是（）Aa2b2BCa2bab2D考点：不等关系与不等式专题：计算题分析：举特列，令a=1，b=2，经检验 A、B、C 都不成立，只有D正确，从而得到结论解答：解：令a=1，b=2，经检验 A、B、C 都不成立，只有D正确，故选D点评：本题考查不等式与不等关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法2（2015春龙泉驿区校级期中）
2、若an是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的个数有（）2an+1，an+1an，2an+nA1个B2个C3个D4个考点：等差数列的性质专题：计算题；等差数列与等比数列分析：根据等差数列的定义，对每个数列进行判断，即可得出结论解答：解：根据等差数列的定义，（2an+1+1）（2an+1）=2d，所以2an+1是等差数列；=d（an+1+an），不是常数，故不是等差数列；an+1an=d，所以an+1an是常数数列，故是等差数列；（2an+1+n+1）（2an+n）=2d+1是常数，故2an+n是等差数列故选：C点评：本题考查等差数列的定义，考查学生的计算能力，正确理解与运用等差数列的定义是关键3
3、（2015春龙泉驿区校级期中）在ABC中，sin2Asin2B+sin2CsinBsinC，则A的取值范围是（）A（0，B（0，C，）D，）考点：正弦定理专题：解三角形分析：利用正弦定理化简已知的不等式，再利用余弦定理表示出cosA，将得出的不等式变形后代入表示出的cosA中，得出cosA的范围，由A为三角形的内角，根据余弦函数的图象与性质即可求出A的取值范围解答：解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，sin2Asin2B+sin2CsinBsinC，a2b2+c2bc，bcb2+c2a2，cosA=，AA，A的取值范围是）故选：D点评：本题主要考查了正弦定理
4、和余弦定理的应用作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆，属中档题4（2015春龙泉驿区校级期中）设an是由正数组成的等差数列，bn是由正数组成的等比数列，且a1=b1，a2015=b2015，则必有（）Aa1008b1008Ba1008=b1008Ca1008b1008Da1008b1008考点：等比数列的通项公式专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用分析：根据等差数列的等差中项，求出a1008的表达式，由基本不等式，再结合题中条件找出a1008与b1008的关系即可求出答案解答：解：由题意可知：a1=b1，a2015=b2015，且an是由正数组成的等差数列，bn是由正数组成的
5、等比数列，则a1008=b1008，故选C点评：本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，考查了学生的计算能力以及对数列的综合掌握，解题时注意转化思想的运用，属于中档题5（2015南昌校级二模）已知等比数列an的前n项和为Sn，且a1+a3=，则=（）A4n1B4n1C2n1D2n1考点：等比数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：设等比数列an的公比为q，可得q=，进而可得a1=2，可得an和Sn，相除化简即可解答：解：设等比数列an的公比为q，q=，a1+a3=a1（1+q2）=a1（1+）=，解得a1=2，an=2=，Sn=，=2n1故选：C点评：本题考查等比数列的性质和求和公式，属基础题
6、6（2014秋朝阳区期末）如图，塔AB底部为点B，若C，D两点相距为100m并且与点B在同一水平线上，现从C，D两点测得塔顶A的仰角分别为45和30，则塔AB的高约为（精确到0.1m，1.73，1.41）（）A36.5B115.6C120.5D136.5考点：解三角形的实际应用专题：应用题；解三角形分析：在RtADB中，DB=AB，RtACB中，CB=AB，根据CD=DBCB可以求出AE的长度，即可解题解答：解：在RtADB中，DB=AB，RtACB中，CB=AB，CD=DBCB，100=（1）ABAB=50（+1）米136.5米故选D点评：本题考查了特殊角的三角函数值，考查了三角函数在直角三
7、角形中的应用，本题中求DB、CB的长度是解题的关键7（2015春龙泉驿区校级期中）能使不等式f（x）M成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f（x）的上确界，若a0，b0且a+b=1，则的上确界为（）ABCD4考点：基本不等式专题：不等式的解法及应用分析：根据题意和基本不等式求出的范围，再求出的范围，由函数的上确界的定义即可求出答案解答：解：a0，b0且a+b=1，=（a+b）（）=+2=，当且仅当取等号，由题意可得，的上确界是，故选：A点评：本题考查新定义的应用，基本不等式和“1”的代换，注意基本不等式的三个条件，属于基础题8（2014秋文登市校级期末）已知等差数列an的前n项和为Sn且满
8、足S170，S180，则中最大的项为（）ABCD考点：等差数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：由题意可得a90，a100，由此可知0，0，0，0，0，即可得出答案解答：解：等差数列an中，S170，且S180即S17=17a90，S18=9（a10+a9）0 a10+a90，a90，a100，等差数列an为递减数列，故可知a1，a2，a9为正，a10，a11为负；S1，S2，S17为正，S18，S19，为负，0，0，0，0，0，又S1S2S9，a1a2a9，中最大的项为故选D点评：本题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，掌握等差数列的性质，属中档题9（2015春龙泉驿区校级期
9、中）在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，若，则a+c的最大值为（）AB3CD9考点：正弦定理；基本不等式；等差数列的通项公式；余弦定理专题：计算题；解三角形分析：由等差中项的定义得2bcosB=acosC+ccosA，结合正弦定理与两角和的正弦公式算出2sinBcosB=sin（A+C），利用诱导公式化简得cosB=根据余弦定理b2=a2+c22accosB的式子，结合化简得（a+c）2=3+3ac，再利用基本不等式加以计算，可得当a=c=时，a+c的最大值为2解答：解：在ABC中，acosC，bcosB，ccosA成等差数列
10、，即2bcosB=acosC+ccosA，根据正弦定理，可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosB=sin（A+C）又ABC中，sin（A+C）=sin（180B）=sinB02sinBcosB=sinB，两边约去sinB得2cosB=1，即cosB=，根据余弦定理，得b2=a2+c22accosB=a2+c2ac，a2+c2ac=3，可得（a+c）2=3+3ac根据基本不等式，得ac，（a+c）2=3+3ac3+（a+b）2，解之得（a+c）212由此可得当且仅当a=c=时，a+c的最大值为2故选：C点评：本题给出ABC满足的边角关系式，在已知边b长的情
11、况下求a+c的最大值，着重考查了正余弦定理、两角和的正弦公式与诱导公式、利用基本不等式求最值等知识，属于中档题10（2015春龙泉驿区校级期中）已知不等式，2x29x+m0，要使同时满足和的所有x都满足，则实数m的取值范围是（）Am9Bm9Cm10Dm10考点：其他不等式的解法专题：不等式的解法及应用分析：利用不等式的解法分别解出，再求出其交集；其交集是2x29x+m0解集的子集解出即可解答：解：由，得到x24x+30解得1x3；得到（x2）（x4）0，解得2x4；=（1，3）2，4=2，3）2，3）是2x29x+m0解集的子集令f（x）=2x29x+m，则，解得m9，故选：B点评：熟练掌握不
12、等式的解法、交集的运算、集合之间的关系等是解题的关键11（2015春龙泉驿区校级期中）在ABC中，若B=60，a=10，b=7，则该三角形有且有两解；若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为120；若ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是其中正确命题的个数是（）A0B1C2D3考点：命题的真假判断与应用专题：解三角形分析：根据解三角形的知识，分别对进行判断其正误即可解答：解：如图示：，由=，得：sinA=，A=arcsin60，C只能是钝角，该三角形有且只有一个解，故错误；不妨设：三角形的三边是：a=3，b=5，c=7，C最大，由cosC=，C=120，故正
13、确；由cosA0，cosB0且cosC0，结合余弦定理知，正确，故选：C点评：本题考查了解三角形问题，考查命题的真假的判断，是一道基础题12（2015春龙泉驿区校级期中）已知定义在0，+）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2）恒成立，且当x0，2）时，f（x）=2x2+4x，设f（x）在2n2，2n）上的最大值为an（nN*），且an的前n项和为Sn，若不等式对任意nN*恒成立，则t的取值范围是（）At5Bt4Ct3Dt2考点：利用导数求闭区间上函数的最值专题：函数的性质及应用；导数的综合应用；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用分析：由题意可知，函数图象向右平移2个单位，只是改变函数
14、的最大值，求出a1，公比q，推出an，然后求出Sn，判断数列n（422n）为递增数列，结合不等式恒成立思想，即可得到t的范围解答：解：因为f（x）=2f（x+2），所以f（x+2）=f（x），就是函数图象向右平移2个单位，最大值变为原来的，a1=f（1）=2，公比q=，所以an=2（）n1，即有Sn=2=422n，不等式对任意nN*恒成立，即为tnSn，由n（422n）（n1）（423n）=4+（n2）22n，由n2，可得n（422n）（n1）（423n），n（422n）为递增数列，则n=1为最小，且为2即有t4故选：B点评：本题是中档题，考查函数与数列的交汇题目，注意函数的图象的平移，改变的
15、是函数的最大值，就是数列的公比，考查不等式恒成立思想和计算能力，发现问题解决问题的能力二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（2013济南二模）在ABC中，AB=1，则BC=1或考点：余弦定理专题：解三角形分析：由三角形的面积求得sinA的值，可得cosA的值，再由余弦定理求得BC的值解答：解：由题意可得 =ABACsinA=，故sinA=，故cosA=，当cosA= 时，由余弦定理求得BC2=AB2+AC22ABACcosA=1+22=1，故BC=1当cosA= 时，由余弦定理求得BC2=AB2+AC22ABACcosA=5，故BC=，故答案为 1或点评：本题主要考查三角形的
16、面积公式、余弦定理、同角三角函数的基本关系的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题14（2015春龙泉驿区校级期中）如果直角三角形周长为2，则它的最大面积为考点：基本不等式专题：不等式的解法及应用分析：设直角三角形的两直角边为a、b，利用勾股定理求出斜边c的表达式，由周长和基本不等式求出ab的范围，根据三角形的面积即可求出直角三角形面积的最大值解答：解：设直角三角形的两直角边分别为a、b，则斜边c=，由已知得a+b+c=2，a+b+=2，a+b+2+（当且仅当a=b时取等号），2（2+），解得=2，则ab64，直角三角形的面积S=，直角三角形面积的最大值是，故答案为：点评：本题考查了基本不
17、等式的实际应用，列出有关量的函数关系式或方程式是解题关键，注意基本不等式的三个条件，属于基础题15（2015沈阳一模）已知an是等比数列，则a1a2+a2a3+anan+1=考点：数列的求和；等比数列的通项公式专题：计算题分析：首先根据a2和a5求出公比q，根据数列anan+1每项的特点发现仍是等比数列，根据等比数列求和公式可得出答案解答：解：由 ，解得 数列anan+1仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故答案为点评：本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息16（2012江苏一模）各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前
18、三项依次成公差为d（d0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列，若a4a1=88，则q的所有可能的值构成的集合为考点：等差数列与等比数列的综合专题：综合题；等差数列与等比数列分析：先假设数列的项，利用三项依次成公比为q的等比数列，建立等式，从而可得公差的范围及取值，由此，即可求得结论解答：解：设a1，a1+d，a1+2d，a1+88，其中a1，d均为正偶数，则后三项依次成公比为q的等比数列，整理得，所以（d22）（3d88）0，即，则d可能为24，26，28，当d=24时，a1=12，；当d=26时，（舍去）；当d=28时，a1=168，；所以q的所有可能值构成的集合为故答案为点评：本题
19、考查等差数列与等比数列的综合，考查学生分析解决问题的能力，正确设出数列是关键三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（2015春龙泉驿区校级期中）已知an是首项为a1，公差为d的等差数列，Sn是其前n项的和，且S5=5，S6=3（）求数列an的通项an及Sn；（）设bn2an是首项为1，公比为3的等比数列求数列bn的通项公式及其前n项和Tn考点：等差数列的性质；数列的求和专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（）由已知S6、S5的值联立方程组求解等差数列的首项和公差，则等差数列的通项公式和前n项和可求；（）由bn2an是等比数列写出其通项公式，在把a
20、n代入bn2an可求数列bn的通项公式，然后利用分组求和得到数列bn的其前n项和Tn解答：解：（）由S5=5，S6=3，有，解得a1=7，d=3，an=7+（n1）（3）=3n+10（3分）Sn=；（）由题意有bn2an=3n1，又由（1）有bn=3n1+206n（7分）Tn=b1+b2+bn=（1+2a1）+（3+2a2）+（3n1+2an）=1+3+3n1+2（a1+a2+an）=（10分）点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和公式，训练了数列的分组求和方法，是中档题18（2015春龙泉驿区校级期中）已知ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a
21、，b，c，且满足，（ba）（sinB+sinA）=（bc）sinC（）求sinB的值；（）求ABC的面积考点：余弦定理；正弦定理专题：解三角形分析：（）由正弦定理化简已知等式可得b2+c2a2=bc，由余弦定理得cosA，结合范围0A，可求A的值，由，可求sinC，由三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式即可求值（）在ABC中，由正弦定理可求c，由三角形面积公式即可得解解答：解：（）由正弦定理可得（ba）（b+a）=（bc）c，（2分）即b2+c2a2=bc，由余弦定理得，又0A，所以；（4分）因为，所以所以sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=（6分）（）在ABC中
22、，由正弦定理，得，解得，（9分）所以ABC的面积点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查19（2015春龙泉驿区校级期中）2014年，中国联想集团以28亿元收购摩托罗拉移动公司，并计划投资30亿元来发展该品牌；2014年摩托罗拉手机的销售量为100万部据专家预测，从2015年起，摩托罗拉手机的销售量每年比上一年增加100万部，每年的销售利润比上一年减少10%已知2014年销售利润平均每部为300元（）若把2014年看做第一年，第n年的销售利润为多少？（）到2020年年底，中国联想集团能否通过摩托罗拉手机实现盈利？（即销售利润
23、超过总投资，参考数据：0.960.53，0.970.47，0.980.43）考点：数列的应用专题：应用题；等差数列与等比数列分析：（）仔细阅读题意得出机的销售量构成了首项为100，公差为100的等差数列每部手机的销售利润构成首项为300，公比为0.9的等比数列求出关于n的通项公式即可得出第n年的销售利润（II）运用导数得出S=30000（1+20.9+30.92+40.93+50.94+60.95+70.96）再运用错位相减法求解即可解答：解：（）摩托罗拉手机的销售量每年比上一年增加100万部，因此手机的销售量构成了首项为100，公差为100的等差数列an=100n，手机销售利润按照每年比上一
24、年减10%，因此每部手机的销售利润构成首项为300，公比为0.9的等比数列第n年的销售利润记为cn，则（）到2020年年底，设销售利润总和为S万元，则S=30000（1+20.9+30.92+40.93+50.94+60.95+70.96），0.9S=30000（10.9+20.92+30.93+40.94+50.95+60.96+70.97）得S=30000（1001700.97）603000万元=60.3亿元 而总投资为28+30=58亿元，60.358，可以盈利答：（）第n年的销售利润为30000n0.9n1万元；（）到2020年年底，中国联想集团能通过摩托罗拉手机实现盈利点评：本题考察
25、了等差，等比数列的定义，通项公式，前n项和的求解，错位相减法的运用，考察了，阅读分析，计算化简能力20（2015春龙泉驿区校级期中）已知函数f（x）=（sinx+cosx）22cos2x（xR）（1）求函数f（x）的周期和递增区间；（2）若函数g（x）=f（x）m在0，上有两个不同的零点x1、x2，求tan（x1+x2）的值考点：三角函数中的恒等变换应用；函数零点的判定定理专题：三角函数的求值分析：（1）通过二倍角公式及平方关系化简可得f（x）=sin（2x）（xR），进而可得结论；（2）方程g（x）=f（x）m=0同解于方程f（x）=m在0，上有解，通过对称性可知x1与x2关于直线x=对称，
26、从而=，进而可得结论解答：解：（1）f（x）=（sinx+cosx）22cos2x=1+2sinxcosx2cos2x=sin2xcos2x=sin（2x）（xR），函数f（x）的周期T=，函数y=sinx的单调递增区间为：2k，2k+，函数f（x）的周递增区间由2k2x2k+，化简得：kxk+（kZ），即k，k+（kZ）（2）方程g（x）=f（x）m=0同解于f（x）=m；在直角坐标系中画出函数f（x）=sin（2x）在0，上的图象，由图象可知，当且仅当m1，）时，方程f（x）=m在0，上的区间，）和（，有两个不同的解x1、x2，且x1与x2关于直线x=对称，即=，x1+x2=，故tan（x
27、1+x2）=tan=1点评：本题考查三角函数恒等变换的应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题21（2015春抚州期末）已知函数f（x）=（a、b为常数）（1）若b=1，解不等式f（x1）0；（2）若a=1，当x1，2时，f（x）恒成立，求b的取值范围考点：函数恒成立问题；其他不等式的解法专题：综合题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：（1）f（x1）0即，按照1a与0的大小关系分三种情况讨论可解不等式；（2）a=1时不等式可化为（），由xb可知b2，1，分离出参数b后化为函数的最值即可，由基本不等式可求最值；解答：解：（1）f（x1）0即，当1a0，即a1时，不等式的解
28、集为：（0，1a）；当1a=0，即a=1时，不等式的解集为：x；当1a0，即a1时，不等式的解集为：（1a，0）（2）a=1时，f（x）即（）且xb，不等式恒成立，则b2，1；又当x=1时，不等式（）显然成立；当1x2时，故b1综上所述，b1x+b0，bx，又x1，2，x2，1，综上，b（1，+）为所求点评：该题考查函数恒成立、分式不等式的解法，考查分类讨论思想，考查学生对问题的转化能力22（2015春龙泉驿区校级期中）设数列an的首项a1，且an+1+2an=3n，anbn=，（nN*）（）证明：bn是等比数列；（）若a1=，数列an中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在
29、说明理由（）若an是递增数列，求a1的取值范围考点：数列递推式专题：等差数列与等比数列分析：（I）利用已知关系式证明为常数即可；（II）利用（I）可得bn，进而得到an若an中存在连续三项成等差数列，则必有2an+1=an+an+2，解出即可（III）如果an+1an成立，可得，对n分类讨论即可得出解答：（）证明：，且，数列bn是首项为，公比为2的等比数列；（）解：由（）知bn是首项为，公比为2的等比数列，若an中存在连续三项成等差数列，则必有2an+1=an+an+2，即解得n=4，即a4，a5，a6成等差数列（）解：如果an+1an成立，即对任意自然数均成立化简得，当n为偶数时，是递减数列，p（n）max=p（2）=0，即a10；当n为奇数时，是递增数列，q（n）min=q（1）=1，即a11；故a1的取值范围为（0，1）点评：本题考查了递推式的应用、等比数列与等差数列的通项公式、数列的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题