1、眉山市高中2021届第三次诊断性考试数学（理工类）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（ ）A.B.C.D.2.某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（ ）A.27B.23C.15D.73.在中，“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.某部门为了解某平台“直播带货”商品销售反馈情况，随机抽取了，这8类商品，收集了这几类商品分别在新规实
2、施前后的消费者评价得分，绘制成右图所示的雷达图.根据统计图判断，下面的叙述一定不正确的是（ ）A.新规实施后，类商品的评价得分提升幅度最大B.新规实施后，类商品的评价得分低于新规实施前C.这8类商品评价得分的平均分高于新规实施前的平均分D.有7类商品的评价得分高于新规实施前5.直线经过圆的圆心，且倾斜角为，则直线的方程为（ ）A.B.C.D.6.某四棱台的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.B.C.D.7.已知函数，若将的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后向右平移个单位长度，得到函数的图象，且函数的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）A.B.C.D.8.如图是在“赵爽弦图”的基
3、础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形内部为“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成），这4个角形和“赵爽弦图”涂色，且相邻区域（即图中有公共点的区域）不同色，已知有4种不同的颜色可供选择.则不同的涂色方法种数是（ ）A.48B.54C.72D.1089.已知双曲线，给出以下条件：实轴长为3；过点；渐近线方程为；离心率为.上述条件中，使双曲线的方程为的所有条件是（ ）A.B.C.D.10.2021年3月20日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现6个三星堆文化“祭祀坑”现已出土500余件重要文物.为推测文物年代，考古学者通常用碳14测年法推
4、算，碳14测年法是根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法.2021年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的68%，已知碳14的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间）是5730年，且属于指数型衰减.以此推算出该文物大致年代是（参考数据：，）（ ）A.公元前1400年到公元前1300年B.公元前1300年到公元前11200年C.公元前1200年到公元前1100年D.公元前1100年到公元前1000年11.阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动
5、点的轨迹.已知在中，角，所对的边分别为，且，则面积的最大值为（ ）A.3B.C.6D.12.若函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，且，则实数_.14.计算_.15.中国古代数学家刘徽所注释的九章算术中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑中，面，若，且顶点，均在球上，则球的表面积为_.16.已知是抛物线的焦点，是的准线上一点，面积为的等边的顶点恰在抛物线上，若直线与抛物线的另一个公共点为，则_.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都
6、必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知数列的前项和满足.（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列的通项公式.18.（本小题满分12分）某城市为改善保障性租赁住房的品质，对保障性租赁住房进行调研，随机抽取了200名保障性租赁住房的租赁人进行问卷调查，并对租赁房屋的品质进行满意度测评，收集整理得到如下22列联表：30岁及以下30岁以上小计满意60110不满意30小计（1）完成上述列联表；通过计算判断是否有90%的把握认为租赁人对保障性租赁住房品质的满意程度与年龄段（“30岁及以下”和“30岁以上”）有关系?（2）现从满意度评分为“
7、不满意”的人中按照表中年龄段分层抽取了6名租赁人进行座谈.若从这6人中随机抽取3人给予一定的租赁优惠，记“所抽取的3人中年龄在30岁及以下”的人数为，求的分布列和数学期望.附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819.（本小题满分12分）如图1是由正方形和长方形组成的平面图形，且，分别是，的中点.将其沿折起，使得二面角的平面角大小为60，如图2.在图2中，（1）判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知为坐标原点，分别为椭圆
8、的右顶点和上顶点，的面积为1.设，是椭圆上的两个动点，且，当时，.（1）求，的值；（2）过作线段的垂线，垂足为，求的取值范围.21.（本小题满分12分）已知，其中.（1）当时，求的极值；（2）若，求的值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，已知射线，曲线（为参数）.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出射线的极坐标方程以及曲线的普通方程；（2）设射线与交于点，与交于，求的值.23.选修4-5：不等式选讲（10分）已知.（1）解不等式；（
9、2）令的最小值为，正数，满足，求证：.数学（理工类）参考答案1.A 2.B 3.C 4.D 5.B 6.D 7.B 8.C 9.C 10.C11.A 12.D13.2或014.215.16.17.解析：（1）证明：当时，由得当时，由有，所以，即，所以，即，所以，又.所以数列是以-2为首项，-1为公差的等差数列.（2）由（1）知，所以.当时，.当时，也满足.所以数列的通项公式为.18.解析：（1）列联表如下：30岁及以下30岁以上小计满意6050110不满意603090小计12080200由题得所以，有90%的把握认为租赁人对保障性租赁住房品质的满意程度与年龄段有关系.（2）所抽取的6人中，30
10、岁及以下有4人，30岁以上有2人.可知的可能值为1，2，3，的分布列为123所以，数学期望.19.解析：（1）平面.取的中点，连接，则.而，故为平行四边形，从而.而平面，平面，所以平面.（2）由题意，二面角的平面角为，所以.而，在中，由余弦定理得，从而.在图2中，根据线面垂直的判定定理可知面，于是，两两相互垂直.故可以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图的空间直角坐标系.由上可得，相关点的坐标分别为，.从而，.设面的法向量为，则即故可取.记直线与平面所成的角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.20.解析：（1）因为的面积为1，所以.由对称性，当，时，在直线上，而，故不妨取.代入得，解得，.（2
11、）设，当直线的斜率存在时，设直线.由得，所以，.由，得，代入整理得.所以原点到直线的距离，故点在圆运动.当直线的斜率不存在时，由（1）知，点仍在圆上运动.记线段的中点为，则.注意到直线与圆相切，则，而，故.21.解析：（1）由题，则，令，则，因为，所以函数也即是为上的增函数，又，则时，单调递减；时，单调递增.所以当时，取极小值，无极大值.（2）令，则，且，由得.当时，由（1）知的极小值为0，则，即，符合题意.令，则，当时，所以函数即为上的增函数，又，所以存在，使得，则时，为减函数，所以当时，不符合题意，舍去.当时，为上的增函数，则，所以也即为上的增函数，又，故存在，使得，则时，为增函数，所以时，不符合题意，舍去当时，由于，不符合题意，舍去.综上所述，的值为1.22解析：（1）射线，化为极坐标方程为：曲线化为普通方程得.（2）曲线的方程化为极坐标方程为，因为射线与交于，与交于，所以.23.解析：（1）当时，当，得；当时，得；当时，得，综上，原不等式的解集为.（2）由（1）可知，当时，；当时，；当时，.故的最小值，则.于是，则，当且仅当，时取“=”下面证明不等式方法1：令，当时，单调递减.故当时，取最小值，所以，当且仅当，时取“=”方法2：.当且仅当即，时取“=”所以，.
