1、2016-2017学年广西玉林市陆川中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1i是虚数单位， =（）ABCD2若椭圆=1上一点P到焦点F1的距离等于6，点P到另一个焦点F2的距离是（）A20B14C4D243在ABC中，一定成立的等式是（）AasinA=bsinBBacosA=bcosBCasinB=bsinADacosB=bcosA4“ab0”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不允分也不必要条件5已知a=，b=，则a，b的等差中项为（）ABCD6函数f（x）=cos
2、x，则f（）=（）AB1C0D7f（x）=x33x2+2在区间1，1上的最大值是（）A2B0C2D48已知双曲线=1上一点P与双曲线的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则三角形PF1F2的面积为（）A20B22C28D249两个圆C1：x2+y2+2x+2y2=0与C2：x2+y24x2y+1=0的公切线有且仅有（）A1条B2条C3条D4条10已知F是抛物线x2=y的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到x轴的距离为（）AB1CD11正三棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为3，底面边长为3，则该球的表面积为（）A4B8C16D12设aR，若函数y=ex+a
3、x，xR，有大于1的极值点，则（）Aa1Ba1CaDa二、填空题（每小题5分，共20分）13抛物线y=x2的焦点坐标为14一物体运动过程中位移h（米）与时间t（秒）的函数关系式为h=1.5t0.1t2，当t=3秒时的瞬时速度是（米/秒）15动圆M过点F（0，1）与直线y=1相切，则动圆圆心的轨迹方程是16命题“xR，ax22ax+30恒成立”是假命题，则a的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点，直线y=x为C的一条渐近线求双曲线C的方程18已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点（1，3），则
4、a，b的值分别为19求y=x36x2+9x5的单调区间和极值20（1）已知双曲线的一条渐近线方程是y=x，焦距为2，求此双曲线的标准方程；（2）求以双曲线=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程21设函数f（x）=（1）求函数f（x）的单调区间（2）若方程f（x）=0有且仅有三个实根，求实数a的取值范围22已知椭圆C： +=1（ab0）的焦点和短轴端点都在圆x2+y2=4上（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P（3，2），若斜率为1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且ABP是以AB为底边的等腰三角形，求直线l的方程2016-2017学年广西玉林市陆川中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与
5、试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1i是虚数单位， =（）ABCD【考点】复数代数形式的混合运算【分析】化简复数的分母为实数，即可【解答】解：i是虚数单位， =，故选A2若椭圆=1上一点P到焦点F1的距离等于6，点P到另一个焦点F2的距离是（）A20B14C4D24【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意可知：椭圆=1焦点在x轴上，a=10，b=6，c=8，丨PF1丨=6，由由椭圆的性质可知：丨PF1丨+丨PF2丨=2a=20，因此丨PF2丨=14，即点P到另一个焦点F2的距离14【解答】解：由椭圆=1焦点在x轴上，a=1
6、0，b=6，c=8，P到焦点F1的距离等于6，即丨PF1丨=6，由椭圆的性质可知：丨PF1丨+丨PF2丨=2a=20，丨PF2丨=14，点P到另一个焦点F2的距离14，故选：B3在ABC中，一定成立的等式是（）AasinA=bsinBBacosA=bcosBCasinB=bsinADacosB=bcosA【考点】正弦定理【分析】根据正弦定理表示出a，b，sinA及sinB的关系式，变形后即可得到答案C一定正确【解答】解：根据正弦定理得：=，即asinB=bsinA故选C4“ab0”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不允分也不必要条件【考点】基本不等式；必要条件、
7、充分条件与充要条件的判断【分析】为基本的不等式，成立的充要条件为a，bR且ab，故只要判“ab0”和“a，bR且ab”的关系即可【解答】解：由ab0能推出；但反之不然，因此平方不等式的条件是a，bR且ab故选A5已知a=，b=，则a，b的等差中项为（）ABCD【考点】等差数列的性质【分析】由等差中项的性质可知a，b的等差中项为，代入即可求解【解答】解：由等差中项的性质可知a，b的等差中项为=故选A6函数f（x）=cosx，则f（）=（）AB1C0D【考点】导数的运算【分析】求函数的导数，根据函数的导数公式代入直接进行计算即可【解答】解：f（x）=cosx，f（x）=sinx，f（）=sin=，
8、故选：A7f（x）=x33x2+2在区间1，1上的最大值是（）A2B0C2D4【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已知函数，判断函数在区间上的增减性，比较函数值的大小，求出最大值，从而求解【解答】解：f（x）=3x26x=3x（x2），令f（x）=0可得x=0或2（2舍去），当1x0时，f（x）0，当0x1时，f（x）0，当x=0时，f（x）取得最大值为f（0）=2故选C8已知双曲线=1上一点P与双曲线的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则三角形PF1F2的面积为（）A20B22C28D24【考点】双
9、曲线的简单性质【分析】算出双曲线的焦距|F1F2|=2，利用勾股定理得出m2+n2=|F1F2|2=292，结合|mn|=2a=14，联解得出mn=48，即可算出PF1F2的面积【解答】解：双曲线=1中，a=7，b=2，c=，得焦距|F1F2|=2设|PF1|=m，|PF2|=n，PF1PF2，m2+n2=|F1F2|2=292由双曲线的定义，得|mn|=2a=14联立，得mn=48PF1F2的面积S=mn=24故选：D9两个圆C1：x2+y2+2x+2y2=0与C2：x2+y24x2y+1=0的公切线有且仅有（）A1条B2条C3条D4条【考点】圆的切线方程【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两
10、圆的位置关系，即可判定公切线的条数【解答】解：两圆的圆心分别是（1，1），（2，1），半径分别是2，2两圆圆心距离：，说明两圆相交，因而公切线只有两条故选B10已知F是抛物线x2=y的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到x轴的距离为（）AB1CD【考点】抛物线的简单性质【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点纵坐标，求出线段AB的中点到x轴的距离【解答】解：抛物线x2=y的焦点F（0，）准线方程y=，设A（x1，y1），B（x2，y2）|AF|+|BF|=y1+y2+=3解得y
11、1+y2=，线段AB的中点纵坐标为，线段AB的中点到x轴的距离为，故选：C11正三棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为3，底面边长为3，则该球的表面积为（）A4B8C16D【考点】球的体积和表面积【分析】设PABC的外接球心为O，则O在高PH上，延长AH交BC于D点，则D为BC中点，连接OA等边三角形ABC中，求出AH=，然后在RtAOH中，根据勾股定理建立关于外接球半径R的方程并解之得R，用球的表面积公式可得PABC的外接球的表面积【解答】解：设PABC的外接球球心为O，则O在高PH上，延长AH交BC于D点，则D为BC中点，连接OA，等边三角形ABC中，H为中心，AH=设外接球半径OA=R
12、，则OH=3R在RtAOH中，根据勾股定理得：OH2+AH2=OA2，即（3R）2+3=R2，解之得R=2PABC的外接球的表面积为：S=4R2=16故选C12设aR，若函数y=ex+ax，xR，有大于1的极值点，则（）Aa1Ba1CaDa【考点】利用导数研究函数的极值【分析】先对函数进行求导，令导函数等于0，原函数有大于1的极值点，故导函数有大于1的根【解答】解：y=ex+ax，y=ex+a由题意知ex+a=0有大于1的实根，由ex=a，得a=ex，x1，exa故选：C二、填空题（每小题5分，共20分）13抛物线y=x2的焦点坐标为【考点】椭圆的简单性质【分析】根据抛物线的标准方程，再利用抛
13、物线x2=2py的焦点坐标为（0，），求出物线y=x2的焦点坐标【解答】解：抛物线y=x2，即 x2=y，p=， =，焦点坐标是 （0，），故答案为：（0，）14一物体运动过程中位移h（米）与时间t（秒）的函数关系式为h=1.5t0.1t2，当t=3秒时的瞬时速度是0.9（米/秒）【考点】变化的快慢与变化率【分析】此类运动问题中瞬时速度问题的研究一般借助函数的导数求其某一时刻的瞬时速度，解答本题可以先求质点的运动方程为h=1.5t0.1t2的导数，再求得t32秒时的导数，即可得到所求的瞬时速度【解答】解：因为h=1.50.2t所以当t=3秒时的瞬时速度是1.50.23=0.9故答案为0.915
14、动圆M过点F（0，1）与直线y=1相切，则动圆圆心的轨迹方程是x2=4y【考点】轨迹方程【分析】先设出动圆圆心的坐标，根据题意可知圆心到定点P和到直线l的距离都等于半径，进而利用抛物线的定义可求得x和y的关系式【解答】解：设动圆圆心坐标为（x，y）动圆过定点P（0，1），且与定直线l：y=1相切，圆心到定点P和到直线l的距离都等于半径，根据抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹方程是x2=4y故答案为x2=4y16命题“xR，ax22ax+30恒成立”是假命题，则a的取值范围是（，0）3，+）【考点】全称命题【分析】将条件转化为“xR，ax22ax+30成立，检验a=0是否满足条件，当a0 时，必须a
15、0或，从而解出实数a的取值范围【解答】解：命题“ax22ax+30恒成立”是假命题，即“xR，ax22ax+30成立”是真命题 当a=0时，不成立，当a0 时，要使成立，必须a0或，a0或a3故答案为：（，0）3，+）三、解答题：本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点，直线y=x为C的一条渐近线求双曲线C的方程【考点】双曲线的标准方程【分析】求出椭圆的焦点坐标；据双曲线的系数满足c2=a2+b2；双曲线的渐近线的方程与系数的关系列出方程组，求出a，b，写出双曲线方程【解答】解：设双曲线方程为（a0，b0）由椭圆+=1，求得两焦
16、点为（2，0），（2，0），对于双曲线C：c=2又y=x为双曲线C的一条渐近线，= 解得a=1，b=，双曲线C的方程为18已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点（1，3），则a，b的值分别为1和3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】因为（1，3）是直线与曲线的交点，所以把（1，3）代入直线方程即可求出斜率k的值，然后利用求导法则求出曲线方程的导函数，把切点的横坐标x=1代入导函数中得到切线的斜率，让斜率等于k列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，然后把切点坐标和a的值代入曲线方程，即可求出b的值【解答】解：把（1，3）代入直线y=kx+1中，得到k=2，求导得：y=3
17、x2+a，所以y|x=1=3+a=2，解得a=1，把（1，3）及a=1代入曲线方程得：11+b=3，则b的值为3故答案为：1和319求y=x36x2+9x5的单调区间和极值【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性【分析】先求y，由y0可求得其递增区间，由y0可求得其递减区间，从而可求得极值【解答】解：y=x36x2+9x5，y=3x212x+9=3（x24x+3）=3（x3）（x1）令y0，解得1x3；令y0，解得x3或x1；函数y=x36x2+9x5的单调递增区间是（，1）或（3，+），函数y=x36x2+9x5的单调递减区间是（1，3）；当x=1时取得极大值1，当x=3时
18、取得极小f（x）极大值=f（1）=1； f（x）极小值=f（3）=520（1）已知双曲线的一条渐近线方程是y=x，焦距为2，求此双曲线的标准方程；（2）求以双曲线=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质【分析】（1）根据题意，设双曲线方程为，据此分两种情况讨论：当0时，其方程为：=1，由题意可得4+9=13，解可得的值，代入双曲线的方程可得一个双曲线的方程，当0时，方程为=1，同理计算可得的值，代入双曲线的方程可得另一个双曲线的方程，综合可得答案；（2）根据题意，由双曲线的方程，可得该双曲线的焦点、顶点的坐标，继而可得要求椭圆的焦点顶点的坐标，代入椭圆
19、的标准方程可得答案【解答】解：（1）根据题意，由于双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为；分两种情况讨论：当0时，其方程为：=1，焦点在x轴上，则有4+9=13，解可得=1，则双曲线方程为=1，当0时，方程为=1，则有（9）+（4）=1，解可得=1，则双曲线方程为=1，综上所述，双曲线方程为=1或=1；（2）已知双曲线=1，所以该双曲线的焦点坐标为（0，5）和（0，5），顶点为（0，4）和（0，4）所以椭圆的焦点坐标是（0，4）和（0，4），顶点为（0，5）和（0，5）所以该椭圆的标准方程为+=121设函数f（x）=（1）求函数f（x）的单调区间（2）若方程f（x）=0有且仅有三个实根，求实数
20、a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系【分析】（1）求导函数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间（2）求出函数的极大值与极小值，根据方程f（x）=0有且仅有三个实根，建立不等式，即可求实数a的取值范围【解答】解：（1）f（x）=，f（x）=3x29x+6=3（x1）（x2），令f（x）0，可得x1或x2；令f（x）0，可得1x2，（，1）和（2，+）是增区间；（1，2）是减区间（2）由（1）知 当x=1时，f（x）取极大值f（1）=a；当x=2时，f（x）取极小值f（2）=2a；方程f（x）=0仅有三个实根解得：22已知椭圆C： +=1（ab0）的焦点
21、和短轴端点都在圆x2+y2=4上（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P（3，2），若斜率为1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且ABP是以AB为底边的等腰三角形，求直线l的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）圆x2+y2=4与坐标轴的交点为：（2，0），（0，2）可得c=2，b=2，可得a2=b2+c2（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）线段MN的中点D（x0，y0）设直线l的方程为：y=x+m与椭圆方程联立化为：3x2+4mx+2m28=0，0，利用根与系数的关系及其中点坐标公式可得：D，利用ABP是以AB为底边的等腰三角形，可得kABkPD=1，即可得出【解答】解：（1）圆x2+y2=4与坐标轴的交点为：（2，0），（0，2）可得焦点：（2，0），短轴端点：（0，2）c=2，b=2，可得a2=b2+c2=8椭圆C的方程为=1（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）线段AB的中点D（x0，y0）设直线l的方程为：y=x+m联立，3x2+4mx+2m28=0，=16m212（2m28）0，化为：m212x1+x2=，x0=，y0=x0+m=ABP是以AB为底边的等腰三角形，kABkPD=1，1=1，解得m=3满足0直线l的方程为y=x+32017年2月18日
