1、第8课时空间几何中的角度计算与距离计算1.利用直线与平面的平行和垂直的判定定理、性质定理进行一些空间几何中的线面角和二面角的计算.2.空间几何中有关的点面距离、空间几何体的高和体积的计算.重点:(1)简单的线面角和二面角的计算;(2)会求一些空间几何体的高及空间几何体的体积.难点:二面角的计算.前面我们了解了直线与平面所成的角、二面角的概念,那么在实际应用中我们如何计算它们的角度呢?又有哪些方法技巧呢?我们在了解距离概念后,能否求出几何体的高,进一步求出空间几何体的体积呢?今天我们将初步揭开它们的面纱,探寻解这类问题的方法规律呢?问题1:空间几何体的角度和距离(1)空间几何中有关角度的类型有:
2、线线角:主要指两条异面直线所成角.线面角:直线与平面所成角.二面角:从一条直线出发的两个半平面所成的图形.(2)空间几何中有关距离的类型有:点到直线的距离、点到平面的距离、两平行线间的距离、两异面直线间的距离(不要求掌握)、直线与平面平行时的线面距离、两平行平面之间的距离.这些距离问题往往都会转化成点面、点线之间的距离来作解.问题2:求直线与平面所成角的基本思想和方法求直线和平面所成的角,几何法一般先定斜足,再作垂线找射影,然后通过解直角三角形求解,可以简述为“作(作出线面角)证(证所作为所求)求(解直角三角形)”.通常,通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线是产生线面角的关键
3、.问题3:求二面角的基本思想和方法求二面角时,关键是作出二面角的平面角,其常用作法有三种:(1)定义法:在二面角的棱上找一点(为了便于解决问题,可结合图形找某特殊的点),在两个半平面内过该点分别作与棱垂直的射线.(2)垂面法:过棱上一点作棱的垂面,该平面与二面角的两个半平面形成交线(实质是射线),这两条交线所成的角是二面角的平面角.(3)垂线法:如图,由一个半平面内不在棱上的点A向另一个半平面作垂线AB,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线BO,垂足为O,连接AO,易证AOB即为二面角的平面角.问题4:求空间中的点面距离的基本思想和方法空间中的距离问题都可以转化为点面距离,故解决点面距离问题是一
4、切距离问题的基础,通常有以下几种方法求空间中的点面距离:(1)找出该点到平面的垂线段,再找到垂线段所在的三角形,然后解直角三角形求出垂线段的长度,运用这种方法求解关键在于垂足是否容易找到及三角形是否易解.(2)该点的垂线段不容易寻找时,可以将该点等价转化为其他点到相应平面的距离.如:直线与平面平行时,该直线上任意一点到平面的距离相等;两平面平行时,其中一个平面上的任意一点到另一平面的距离相等;线段被平面平分时,线段两端的点到平面的距离相等.(3)体积法:根据体积公式,若求出该几何体的体积和底面积,也就可以求出高,即点到平面的距离.在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射
5、影垂直,那么它也和这条斜线垂直,这就是著名的三垂线定理,图解如下:该定理是证明线面垂直的一种重要定理,值得注意的是,它的逆定理也是正确的,即如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直,那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影.1.已知A,P,PA与平面所成的角为60,PA=4,则PA在平面上的射影的长度为().A.2B.2C.3D.4【解析】 作PB,垂足为B,则PA在平面上的射影为AB,且PAB=60,所以AB=PAcos 60=2.【答案】A2.已知平面ABC平面ABD=AB,直线m,n满足:m平面ABC,n平面ABD,直线m,n所成的角为60,则二面角C-AB-D的大小为().A.3
6、0B.60C.120D.60或120【解析】 两个半平面的垂线所成的角,与二面角相等或互补,故选D.【答案】D3.在三棱锥A-BCD中,AD底面BCD,BDDC,AD=BD=DC=1,则点D到平面ABC的距离h=.【解析】等体积法:VA-BCD=VD-ABC,所以ADSBCD=hSABC.显然ABC为等边三角形,边长为,则SABC=()2=,又SBCD=,代入解得h=.【答案】4.四面体ABCD中,已知棱AC=BC=,其余各棱长都为1,求二面角A-CD-B的大小.【解析】 因为AD=CD=1,AC=,所以AD2+CD2=AC2,所以ADCD,同理可得BDCD,所以ADB是二面角A-CD-B的平
7、面角.又因为AB=BD=AD=1,所以ADB=60,所以二面角A-CD-B的大小为60.求直线与平面所成的角如图,二面角-l-的大小为45,AB,BC,ABl,BCl,AB=,BC=1+.求直线AC与平面所成角的大小.【方法指导】求直线与平面所成角的大小,关键是找到它们的平面角.【解析】 作ADBC交BC于点D,因为ABl,BCl,ABBC=B,所以l平面ABC,又AD平面ABC,所以lAD,且ADBC,lBC=B,所以AD,所以ACD为直线AC与平面所成的平面角,所以ABC为二面角-l-的平面角,所以ABC=45,所以AD=BD=ABsin 45=,所以CD=BC-BD=1,tanACD=,
8、所以ACD=60.故直线AC与平面所成角的大小为60.【小结】通过斜线上的点作平面的垂线,找到直线与平面所成角的平面角,运用解三角形求解.求二面角如图,在ABC中,ABBC,SA平面ABC,DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于点D、E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小.【方法指导】本题的关键是找出(或作出)二面角的平面角,可结合图中的垂直关系,根据定义作出二面角的平面角.【解析】SA平面ABC,SAAC,SABC,SAAB,SABD.ED垂直平分SC,SE=EC.SB=BC,SCBE,SC平面BDE,SCBD.又SABD,BD平面SAC,BDAC,BDDE,EDC是二面角
9、E-BD-C的平面角.设SA=1,则SA=AB=1,而SAAC,SABC,SAAB,SB=BC=,SC=2,在RtSAC中,ECA=30,EDC=60,即二面角E-BD-C的大小为60.【小结】作为本题载体的三棱锥是一个非常重要的三棱锥,一般称为“双直三棱锥”,其特点是,SA平面ABC,ABC=90,对二面角的平面角的证明涉及了垂直关系的相互转化,因此它是我们需要熟练掌握的一个几何图形.求点到直线的距离如图,底面是正方形ABCD,PC平面ABCD,E,F是AB,AD的中点,AB=4,PC=3.(1)求证:EF平面PCH;(2)求点B到平面PEF的距离.【方法指导】(1)根据EF垂直于平面PCH
10、内两条相交直线易证;(2)本题中点B到平面PEF的距离不宜直接求,可以转化为直线BD上其他的点到平面PEF的距离或用等体积法.【解析】 (1)E,F是AB,AD的中点,EFBD,且在正方形ABCD中,ACBD,EFHC.又PC平面ABCD,EF平面ABCD,EFPC,HCPC=C,EF平面PCH.(2)由(1)知EFBD,BD平面PEF,BD平面PEF,设AC,BD交于点O,则点B到平面PEF的距离等于点O到平面PEF的距离,作OGPH交PH于点G,EF平面PCH,OG平面PCH,OGEF,且PHEF=H,OG平面PEF,点O到平面PEF的距离就是OG的长,由AB=4,PC=3易求得HC=3,
11、OH=,PH=3.由OGHPCH得:OG=.点B到平面PEF的距离等于.【小结】对于不易寻找到点到面的垂线段时的点面距离问题,通常会等价地转化成其他的点到平面的距离,即平移法,或者采用等体积法,根据题设合理选择.在三棱锥P-ABC中,侧面PAC与面ABC垂直,PA=PB=PC=3.(1)求证:ABBC;(2)若AC=4,求PB与平面ABC所成角的余弦值.【解析】 (1)如图所示,取AC中点D,连接BD,PD.PA=PC,PDAC.又平面PAC平面ABC,PD平面ABC.PA=PB=PC,DA=DB=DC,AC为ABC的外接圆直径,ABBC.(2)PD平面ABC,PBD即为PB与平面ABC所成角
12、的平面角,在RtABC中,D是斜边AC的中线,BD=AC=2,cosPBD=,即PB与平面ABC所成角的余弦值为.如图,在四面体ABCD中,ABD、ACD、BCD、ABC都全等,且AB=AC=,BC=2,求以BC为棱,以平面BCD和平面ABC为面的二面角的大小.【解析】取BC的中点E,连接AE、DE.AB=AC,AEBC.又ABDBCD,DB=DC,DEBC,DEA为二面角A-BC-D的平面角.由ABCDBC可知,AB=AC=DB=DC=.又ABDBDC,AD=BC=2,在RtDEB中,DB=,BE=1,DE=,同理AE=.在AED中,AE=DE=,AD=2,AD2=AE2+DE2,AED=9
13、0,以BC为棱,以平面BCD和平面ABC为面的二面角的大小为90.在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1底面ABC,AC=BC=2,AB=AA1=2,E是AA1的中点,连接C1E,求点B到平面B1C1E的距离.【解析】 设点B到平面B1C1E的距离为h,A1B1的中点为F,连接C1F,因为AC=BC=2,所以A1C1=B1C1=2,所以C1FA1B1,C1F=,又AA1底面ABC,所以AA1C1F,且AA1A1B1=A1,所以C1F平面AA1B1B,连接BE,则=,即h=C1F,因为AB=AA1=2,AC=BC=2,所以B1E=BE=,BB1=2,所以=22=4,又因为B1E=,C1E=,
14、B1C1=2,所以B1 E2 = C1 E2 + B1 ,所以C1EB1C1,=C1EB1C1=2=,所以h=4,解得h=.所以点B到平面B1C1E的距离为h=.1.线段AB的长等于它在平面内射影长的2倍,则AB所在直线与平面所成的角为(). A.30 B.45C.60D.120【解析】 由直角三角形的边角关系,可知直线与平面所成的角为60.【答案】C2.已知矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,在CD上截取CE=4,将BCE沿BE旋转90后如图所示,记旋转后的C的位置为C,则C到AB的距离为().A.2B.2C.2D.4【解析】 取BE中点为F,CE=CB=4,所以CFBE,所以CF平面AB
15、ED,作CGAB,连接FG,易证FGAB,所以FG=2,CF=2,所以CG=2.【答案】B3.三棱锥P-ABC,PA=PB=PC=,AB=10,BC=8,CA=6,则二面角P-AC-B的大小为.【解析】 易发现底面ABC是直角三角形,PA=PB=PC,所以P在底面ABC的射影是ABC的外心,即斜边AB的中点D,作DEAC,交AC于点E,则PED是所求二面角的平面角,求得DE=4,PE=8,cosPED=,所以PED=60,即二面角P-AC-B的大小为60.【答案】604.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA底面ABCD,PA=AB,Q是PC中点,AC,BD交于O点.求二面角Q-BD-C的大小.【解析】连接QO,则QOPA且QO=PA=AB.PA平面ABCD,QO平面ABCD.QO平面QBD,平面QBD平面ABCD.故二面角Q-BD-C的大小等于90.(2013年全国大纲卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于().A.B.C.D.【解析】连接AC交BD于O,连接C1O,则BD平面CC1O.过C作CEC1O,垂足为E,则CE平面BDC1,连接DE,则CDE为所求线面角,设CD=1,则CC1=2, CO=,C1O=,则CE=,sinCDE=.【答案】A