1、4.6 两条平行线间的距离 1.公垂线及公垂线段(1)定义：与两条平行直线都_的直线，叫做这两条平行直 线的公垂线，这时连接_的线段，叫做这两条平行直线 的公垂线段.(2)性质：两平行线的所有公垂线段都_.2.两平行线的_的_叫做两平行线的距离.垂直 两个垂足 相等 公垂线段 长度 利用公垂线段的性质解题【例】如图，MNAB，P，Q为直线MN上的任意两点，C是直线AB上的一点，并且AB=4 cm，BC=2 cm，三角形PAB的面积为24 cm2，求QBC的面积.【解题探究】(1)通过三角形PAB的面积和AB=4 cm，能否求出三角形PAB中AB边上的高？答：能求出.设该边上的高为h，则 ，所以
2、h=12 cm.(2)点Q到BC的距离是多少？答：点Q到BC的距离就是点P到BC的距离，即两平行线间的距离，故点Q到BC的距离是12 cm.14 h242 _(3)根据题意，可求出三角形QBC的面积为：答：三角形QBC的面积为12cm2.211BC 122 1212(cm).22 _【规律总结】1.在求两平行线间的距离时，一般要把问题转化到点到直线的距离.2.在两平行线中的一条直线上选择一个点，然后过该点作另一条平行线的垂线，这一点和垂足之间的线段就是两平行线的公垂线段.【跟踪训练】1.点P，M分别在直线AB和直线CD上，且ABCD，点P到CD的距离为5 cm，则点M到AB的距离为()(A)大
3、于5 cm (B)小于5 cm(C)5 cm (D)不确定【解析】选C.因为点P到CD的距离为5 cm，所以两平行线AB和CD的距离为5 cm，点M到AB的距离也等于两平行线的距离.2.直线AB直线CD，两平行线的公垂线可以画出()(A)一条 (B)两条(C)无数条 (D)不确定【解析】选C.只要同时和AB，CD垂直的直线就符合要求，这样的直线有无数条.3.已知a，b，c是三条互相平行的直线，如图所示，已知a与c的距离为15 cm，b与c的距离为5 cm，那么a与b的距离为_.【解析】在直线a上任取一点P，过P作PNc，分别与b，c交于 M，N两点，所以PN=15 cm，MN=5 cm，所以P
4、M=PN-MN=15 cm-5 cm=10 cm.答案：10 cm 1.在同一平面内，与已知直线的距离等于4 cm的直线有()(A)1条 (B)两条(C)无数条 (D)不能确定【解析】选B.在同一平面内，与已知直线的距离等于4 cm的直线有两条，分别在这条直线的两侧.2.如图，在面积为12 cm2的长方形ABCD中，AB=3 cm，BC=4 cm，则AD与BC之间的距离为()(A)3 cm (B)4 cm(C)6 cm (D)不能确定【解析】选A.AB是AD与BC之间的公垂线段，即AD与BC之间的距离为AB的长度.3.已知l1l2l3，l1与l2之间的距离为3 cm，l2与l3之间的距离为 4
5、 cm，则l1与l3之间的距离为_cm.【解析】若l1和l3分别在l2的两侧，则l1与l3的距离为3+4=7(cm)；若l1和l3在l2的同侧，则l1与l3的距离为4-3=1(cm).答案：7或1 4.已知三角形ABC的面积为15 cm2，AC=5 cm，直线DE过点B且平 行于AC，则DE与AC之间的距离为_.【解析】DE与AC之间的距离就是三角形ABC底边AC边上高线的长 度，设此高长为x cm，则 5x=15，解得x=6 答案：6 cm 125.如图，直线ABCDEF，AP与EP分别平分BAC和FEC，则AB与CD之间的距离和EF与CD之间的距离相等吗？请说明理由.【解析】相等,理由如下：作PMAB于点M，PNEF于点N，PQAE于点Q.因为AP平分BAC，所以PM=PQ，同理，可得PN=PQ.所以PM=PN，所以AB与CD之间的距离和EF与CD之间的距离相等.
