1、(十四)数学归纳 加强更强速解技法学一招数列不等式常见的证明方法主要有数学归纳法、放缩法、分析法等，特别是数学归纳法，简单易操作，是证明该类问题的首选，不过在处理 a1a2ancc时数学归纳法往往不能轻易过渡，所以常需要加强命题，去证明 a1a2anc1 gnc1 gn，除去第一数学归纳法，有时还需要用到第二数学归纳法，见本节“记一点常用结论”.典例 已知数列an的各项均为正数，bnn11nnan(nN*)，e 为自然对数的底数(1)求函数 f(x)1xex 的单调区间，并比较11nn 与 e的大小；(2)计算b1a1，b1b2a1a2，b1b2b3a1a2a3，由此推测计算b1b2bna1a
2、2an的公式，并给出证明解(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1ex.当 x0，f(x)单调递增；当 x0 时，f(x)0 时，f(x)f(0)0，即 1xex.令 x1n(nN*)，得 11ne，即11nne.1n(2)由题意bnann11nn，则b1a111111112；b1b2a1a2b1a1b2a2221122(21)232；b1b2b3a1a2a3b1b2a1a2b3a33231133(31)343.由此推测：b1b2bna1a2an(n1)n.下面用数学归纳法证明.当 n1 时，左边右边2，成立假设当 nk(k1，kN*)时，成立，即b1b2bka1a2ak(k1)k.当 nk
3、1 时，bk1ak1(k1)1 1k1k1，由归纳假设可得b1b2bkbk1a1a2akak1b1b2bka1a2akbk1ak1(k1)k(k1)1 1k1k1(k2)k1，所以当 nk1 时，也成立综上可知对一切正整数 n 都成立用数学归纳法证明相关问题时的易错点有两处：(1)n0 的取值并不一定从 1 开始，应当视题目而定；(2)在证明当 nk1 时命题成立的过程中，一定要用上归纳假设，在推证 k 到 k1 的过程中，应分析清楚相关项数的变化，常用放缩法、分析法等证明当 nk1 时结论的成立技法领悟经典好题练一手设实数 a1，a2，an满足 a1a2an0，且|a1|a2|an|1(nN
4、*且 n2)，令 bnann(nN*)求证：|b1b2bn|12 12n(nN*)证明：(1)当 n2 时，a1a2，所以|a1|a2|2|a1|1，即|a1|12，所以|b1b2|a1a22|a1|2 1412 122，即当 n2 时，结论成立(2)假设当 nk(kN*且 k2)时，结论成立，即当 a1a2ak0，且|a1|a2|ak|1 时，有|b1b2bk|12 12k.则当 nk1 时，由 a1a2akak10，且|a1|a2|ak1|1，可得 2|ak1|a1a2ak|ak1|a1|a2|ak1|1，所以|ak1|12.又 a1a2ak1(akak1)0，且|a1|a2|ak1|akak1|a1|a2|ak1|1，由假设可得b1b2bk1akak1k12 12k，所以|b1b2bkbk1|b1b2bk1akk ak1k1b1b2bk1akak1kak1k1ak1k12 12kak1k1ak1k12 12k1k 1k1|ak1|12 12k1k 1k1 121212k1，即当 nk1 时，结论成立综上，由(1)和(2)可知，结论成立常用结论记一番第二数学归纳法的原理是假设一个与正整数 n 有关的命题，如果：当 n1 时，命题成立；假设当 nk(kN*)时，命题成立，由此可推得当 nk1 时，命题也成立那么根据可得，命题对于一切正整数 n 都成立
