1、第3课时 两角和与差的三角函数 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 第3课时1两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)cos()_，cos()_；(2)sin()_，sin()_；coscossinsincoscossinsinsincoscossinsincoscossin基础梳理 双基研习面对高考(3)tan()_，tan()_.(，均不等于 k2，kZ)其变形为：tantan_，tantan_.tantan1tantantantan1tantantan()(1tantan)tan()(1tantan)2二倍角的正弦、余弦和正切公式(1)sin2_；(2)cos2_11_；
2、(3)tan2_(k2 4且 k2，kZ)2sincoscos2sin22cos22sin22tan1tan2(1)sincos_cossin22sin；(2)降幂公式：sin2_，cos2_；升幂公式：1cos_,1cos_；变 形：1sin2 sin2 cos22sincos _.12sin21cos221cos222cos222sin22(sincos)23.公式的逆向变换及有关变形1(2010 年高考福建卷)计算 12sin222.5的结果等于()A.12 B.22 C.33 D.32答案：B课前热身 2(2010 年高考福建卷)计算 sin43cos13cos43sin13的结果等于
3、()A.12B.33C.22D.32答案：A3已知 x(2，0)，cosx45，则 tan2x()A247B 724C.724D.247答案：A4(教材习题改编)已知 sin35，cos45，(2，)，(，32)，则 sin()_.答案：24255若 cos12，其中(2，0)，则 sin2的值是_答案：12考点探究挑战高考 考点突破 三角函数式的化简 三角函数式的化简的要求：(1)能求出值的应求出值；(2)尽量使三角函数种数最少；(3)尽量使项数最少；(4)尽量使分母不含三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数化简：(1)1 2sin24cos；(2)2cos4x2cos2x122tan4
4、xsin24x.例1【思路分析】(1)利用两角差的正弦公式(2)先切化弦，再化角【解】(1)1 2sin24cos1 2 22 sin2 22 cos2cos1sin2cos2cos2cos22sincoscos2(cossin)(2)原式124cos4x4cos2x12sin4xcos4xcos24x2cos2x124sin4xcos4xcos22x2sin22xcos22x2cos2x12cos2x.【方法指导】化简三角函数式时，先统一角，再注意函数名称，最后关注三角函数式的结构，比如遇到分式时，通常将分子、分母因式分解两角和与差公式的活用 数学公式虽然不多，但是它们的变化却非常多，因为每
5、个公式不仅有正用，还有逆用和变形应用，因此我们要把握每个公式的特点，熟练掌握每个公式的各种应用(1)已知 是锐角，且sin2cos21sin2cos21sin4 3.求角 的值；(2)求值：tan20tan40 3tan20tan40.例2【思路分析】(1)先对左边进行化简，再求值；(2)可变形用两角和的正切公式进行化简【解】(1)sin2cos21sin2cos21sin4sin22cos2122sin2cos2sin22cos222cos212sin2cos22cos222cos22sin2cos21cos2sin2 2sin22sincossincostan，由已知可得 tan 3，又
6、是锐角，3.(2)tan20tan40 3tan20tan40tan60(1tan20tan40)3tan20tan40tan60 3tan20tan40 3tan20tan40 3.【方法指导】在三角求值、化简中，遇到切函数有两种常见的变形方法，一种是化弦，另一种是利用 tan()的变形公式；两角和与差的正弦、余弦公式的逆用在求值、化简中也经常遇到，特别是对形如 asinbcos，其中ab 33，1，3的三角式更应熟练掌握角的变换“角的变换”，即把待求函数值的角看成已知函数值的角的和与差的形式，常见的“角的变换”有：2()()，()等已知 0434，cos(4)35，sin(34)513，求
7、 sin()的值【思路分析】比较题设中的角与待求式中的角，不难发现(34)(4)2()或将cos(4)变形为 sin(4)，再由(4)(34)()求解例3【解】434，34 4，240.又cos(4)35，sin(4)45.04，34 34.又sin(34)513，cos(34)1213，sin()cos2()cos(34)(4)cos(34)cos(4)sin(34)sin(4)(1213)35 513(45)366520655665.【误区警示】在做题时，有时忽略求4，34 的范围，还有不能正确判断两角的范围解：434，34 4，240.又cos(4)35，sin(4)45.04，34 3
8、4.互动探究 在例3条件不变的情况下，求cos()的值又sin(34)513，cos(34)1213.cos()cos()cos()cos(34)(4)cos(34)cos(4)sin(34)sin(4)(1213)35 513(45)366520651665.1理解和运用两角和与差的公式需注意的几个问题(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系：掌握好公式的内在联系及其推导过程，能帮助我们理解和记忆公式，是学好这部分内容的关键诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特殊情况，、中若有2的整数倍角时，使用诱导公式更灵活、简便方法技巧方法感悟(2)公式的逆用及有关变形(如例 2)：tant
9、antan()(1tantan)；sincos12sin2；1 sin2 (sin cos)2,1 sin2(sin cos)2；sincos 2sin(4)(3)角的变换(如例 3)：()，()，2()()，2()()2理解和运用二倍角公式需注意的几个问题(1)掌握二倍角公式与两角和公式之间的内在联系能帮助我们理解与记忆公式(2)公式的逆用及有关变形：sin21cos22；cos21cos22；tan21cos21cos2(降幂公式)；1cos22sin2；1cos22cos2(升幂公式)(3)二倍角的相对性：422；224；3232；326.失误防范1运用公式时要注意审查公式成立的条件，要
10、注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变通2在(0，)范围内，sin()22 所对应的角 不是惟一的从近几年的高考来看，应用两角和、差、倍角公式求值，化简以及与三角函数知识的综合仍为高考的热点，题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏低客观题常以公式的直接应用形式出现，主要考查学生对公式的熟练应用，主观题常与三角函数的性质、向量等知识综合，所需要的性质和公式为多数考生所熟悉的，绝大多数考生都能入手解题如2010年四川、广东、课标全国卷等 考向瞭望把脉高考 考情分析 预测2012年高考仍将以公式的应用为主，考查学生对公式的理解、准确应用、逆用和变形应用，以化
11、简求值为主要内容(本题满分 12 分)(2010 年高考四川卷)(1)证 明两 角和 的余 弦公 式 C()：cos()coscossinsin；由 C()推导两角和的正弦公式 S()：sin()sincoscossin.(2)已知 cos45，(，32)，tan13，(2，)，求 cos()例规范解答【解】(1)证明：如图，在直角坐标系 xOy内作单位圆 O，并作出角，与，使 的始边为 Ox，交O 于点 P1，终边交O 于点P2；角 的始边为 OP2，终边交O 于点 P3；角 的始边为 OP1，终边交O 于点 P4.则 P1(1,0)，P2(cos，sin)，P3(cos()，sin()，P
12、4(cos()，sin().2 分由|P1P3|P2P4|及两点间的距离公式，得cos()12sin2()cos()cos2sin()sin2.4 分展开并整理，得22cos()22(coscossinsin)，cos()coscossinsin.6 分由易得，cos(2)sin，sin(2)cos.sin()cos2()cos(2)()cos(2)cos()sin(2)sin()sincoscossin，sin()sincoscossin.9 分(2)(，32)，cos45，sin35.(2，)，tan13，cos 310 10，sin 1010.cos()coscossinsin(45)(
13、3 1010)(35)1010 3 1010.12 分【名师点评】此题从知识点上看，主要考查了单位圆的运用，三角函数的定义，两点间的距离公式，诱导公式，同角关系式，两角和差公式同时考查了化简、计算及推理能力对这部分知识，绝大多数高考试题都是以“用公式”为主来考查此题一改常态，除考查公式的应用之外，主要考查了公式的推导，这提醒学生：平时学习要注重学习过程，注重知识的来源，完全符合当代教育改革的主题思想此题难度并不大，入手点也多但学生并不容易得到满分主要因为太熟悉，很多学生对教材的内容不重视，公式推导过程不规范1已知 为第二象限角，sin()2425，则 cos2的值为()A.35 B.45C35
14、D45名师预测 解析：选 C.为第二象限角，2为第一、三象限角cos2的值有两个由 sin()2425，可知 sin2425，cos 725.2cos221825.cos235.2已知、均为锐角且 tancossincossin，则 tan()_.解析：tancossincossin1tan1tantan(4)，因为、均为锐角，所以 4，即 4，tan()1.答案：13在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(12，cos2)在角 的终边上，点 Q(sin2，1)在角 的终边上，且OP OQ 12.(1)求 cos2 的值；(2)求 sin()的值解：(1)因为OP OQ 12，所以12sin2cos212，即12(1cos2)cos212，所以 cos223，所以 cos22cos2113.(2)因为 cos223，所以 sin213，所以点 P(12，23)，点 Q(13，1)，又点 P(12，23)在角 的终边上，所以 sin45，cos35.同理 sin3 1010，cos 1010，所以 sin()sincoscossin45 1010 35(3 1010)1010.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用