1、(八)掌握规律 巧妙求和速解技法学一招求数列的前 n 项和的主要方法(1)公式法：对于等差数列或等比数列可用公式法(2)裂项相消法：将数列的每一项分解为两项的差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而累加相消(3)错位相减法：若an为等差数列，bn为等比数列，则对于数列anbn的前 n 项和可用错位相减法(4)倒序相加法：如果一个数列an与首末两端等“距离”的两项的和等于同一个常数，那么求这个数列前 n 项和即可用倒序相加法(5)分组求和法：将原数列分解成可用公式法求和的若干个数列例 1 已知等差数列an中，2a2a3a520，且前 10项和 S10100.(1)求数列an的通项公式；(2)求
2、数列an2的前 n 项和解(1)设等差数列an的公差为 d，由已知得2a2a3a54a18d20，10a11092d10a145d100，解得a11，d2，所以an的通项公式为 an12(n1)2n1.an(2)令 bn2，由(1)可知 anbn(2n1)22n1，设 Tn 为数列anbn的前 n 项和，所以 Tn121323525(2n3)22n3(2n1)22n1，4Tn123325527(2n3)22n1(2n1)22n1，得：3Tn22(232522n1)(2n1)22n1，an所以 Tn22232522n12n122n1322814n1142n122n1362814n16n322n1
3、9106n522n19.利用错位相减法求和应注意以下 3 点(1)判断模型，即判断数列an，bn中一个为等差数列，一个为等比数列；(2)错开位置，一般先乘以公比，再把前 n 项和退后一个位置来书写，这样避免两式相减时看错列；(3)相减，相减时定要注意式中最后一项的符号，考生常在此处出错，一定要细心技法领悟例 2 已知数列an满足 a112，an1a2nan，bn11an(nN*)，Snb1b2bn，Pnb1b2bn，求 2PnSn 的值解 因为 a112，an1a2nan，nN*，所以 an1an0，an1an(an1)，所以 bn11ana2nanan1an1ananan1 1an 1an1
4、.Pnb1b2bna1a2a2a3 anan112an1，Snb1b2bn1a1 1a2 1a2 1a3 1an 1an1 2 1an1，故 2PnSn 1an12 1an1 2.利用裂项相消法求和应注意以下 2 点(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等如：若an是等差数列，则1anan11d 1an 1an1，1anan2 12d 1an 1an2.技法领悟经典好题练一手1(2018 届高三湖南十校联考)数列 112，314，518，7 116，的前n 项和 Sn_.解析
5、：利用分组求和法，可得 Sn(1352n1)12 122 12n n21 12n.答案：n21 12n2(2017武汉调研)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a19，a2 为整数，且 SnS5，则数列1anan1 的前 9 项和为_解析：设数列an的公差为 d，由 SnS5，得a50，a60，即a14d0，a15d0，得94d95，又 a2 为整数，d2，ana1(n1)d112n，故1anan11d1an 1an1，数列1anan1 的前 n 项和Tn1d 1a1 1a2 1a2 1a3 1an 1an11d 1a1 1an1，T9121919 19.答案：193(2018 届高三
6、安徽名校阶段性测试)已知单调递增的等比数列an满足 a2a3a428，且 a32 是 a2，a4 的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)若 bnan1logan，求数列bn的前 n 项和 Sn.解：(1)设等比数列an的首项为 a1，公比为 q.依题意，有 2(a32)a2a4，代入 a2a3a428，得 a38.因此 a2a420，即有a1qa1q320，a1q28，12解得q2，a12或q12，a132，又数列an单调递增，则q2，a12，故 an2n.(2)bn2n1log2nn2n1，Sn122223324n2n1，2Sn123224325(n1)2n1n2n2.，得 Sn222
7、3242n1n2n2412n12 n2n2(1n)2n24.124在等差数列an中，a2a723，a3a829.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列anbn是首项为 1，公比为 q 的等比数列，求bn的前 n 项和 Sn.解：(1)设等差数列an的公差为 d.a3a8(a2a7)2d6.d3，a2a72a17d23，解得 a11，数列an的通项公式为 an3n2.(2)数列anbn是首项为 1，公比为 q 的等比数列，anbnqn1，即3n2bnqn1，bn3n2qn1.Sn147(3n2)(1qq2qn1)n3n12(1qq2qn1)，故当 q1 时，Snn3n12n3n2n2；当 q1 时，Snn3n121qn1q.常用结论记一番常用裂项公式(1)1nn11n 1n1；(2)1n1 n n1 n；(3)an (an an 1)(an 1 an 2)(a2 a1)a1 anan1an1an2a2a1a1；(4)n(n1)13n(n1)(n2)(n1)n(n1)；(5)1nn1n2121nn11n1n2；(6)2n22n12n111212n112n1.
