1、第一章单元质量测评(一)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1若物体的运动规律是sf(t)，则物体在时刻t0的瞬时速度可以表示为()(1) ；(2) ；(3)f(t0)；(4)f(t)A(1)(2) B(1)(3) C(2)(3) D(2)(4)答案B解析根据瞬时速度的概念及导数的意义易知(1)(3)正确，故选B.2以正弦曲线ysinx上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是()A. B0，)C. D.答案A解析ycosx，cosx1,1，切线的斜率范围是1,1，
2、倾斜角的范围是.3下列积分等于2的是()A.2xdx B.dxC.1dx D.dx答案C解析2xdxx2|4；dx|3；1dxx|2；dxln x|ln 2.4若函数f(x)x3f(1)x2x，则f(3)的值为()A0 B1 C8 D8答案C解析f(x)x22f(1)x1，则f(1)122f(1)11，得f(1)0，f(x)x3x，f(x)x21，f(3)8.5函数yx2ex的单调递减区间是()A(1,2) B(，1)与(1，)C(，2)与(0，) D(2,0)答案D解析y(x2ex)2xexx2exxex(x2)ex0，xex(x2)0，即2x0，故f(x)在(，0)上为增函数，A错误；在x
3、0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在x0处取极大值，B错误；在(4，)上，f(x)0，f(x)为减函数，C正确；在x2处取极小值，D错误7方程2x36x270在(0,2)内根的个数为()A0 B1 C2 D3答案B解析设f(x)2x36x27，则f(x)6x212x6x(x2)x(0,2)，f(x)0.f(x)在(0,2)上单调递减，又f(0)7，f(2)1，f(x)在(0,2)上有且只有一个零点，即方程2x36x270在(0,2)内只有一个根8设aR，若函数yex2ax有大于0的极值点，则()Aa BaCa Da答案C解析由yex2ax，得yex2a，由题意，得ex2a0有正数解当x0
4、时，ex2a1，即a.9已知函数f(x)x2cosx，f(x)是函数f(x)的导函数，则f(x)的图象大致是()答案A解析因为f(x)x2cosx，所以f(x)xsinx.因为f(x)为奇函数，所以排除B，D；设yxsinx，则ycosx，所以当0x时，y0，所以函数f(x)xsinx在上单调递减，排除C.故选A.10已知函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf，cf(3)，则a，b，c的大小关系为()A. abc B. cabC. cba D. bca答案B解析由f(x)f(2x)知函数f(x)图象关于x1对称当x1时，由(
5、x1)f(x)0，即x1时，f(x)单调递增af(0)，bf，cf(3)f(1)，10，cab，故选B.11若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是()A(，) B(2，)C(3，) D(1，)答案D解析2x(xa)x.令f(x)x(x0)，f(x)12xln 20，f(x)在(0，)上单调递增，f(x)f(0)011，a的取值范围为(1，)12把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为()A12 B1C21 D2答案C解析设圆柱的高为x，底面半径为r，则r，圆柱体积V2x(x312x236x)(0x0，得1x1，即函数f(x)的增区间为
6、(1,1)又f(x)在(m,2m1)上单调递增，所以解得1m0.16已知a0，函数f(x)ax3ln x，且f(1)的最大值为12，则实数a的值为_答案2解析f(x)3ax2，则f(1)3a.a0，f(1)212.当3a，即a2时，取“”三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知函数f(x)x32ax2bxc.(1)当c0时，f(x)在点P(1,3)处的切线平行于直线yx2，求a，b的值；(2)若f(x)在点A(1,8)，B(3，24)处有极值，求f(x)的表达式解(1)当c0时，f(x)x32ax2bx.所以f(x)3x24axb
7、.依题意可得f(1)3，f(1)1，即解得(2)f(x)x32ax2bxc，所以f(x)3x24axb.由题意知1,3是方程3x24axb0的两根，所以解得a，b9，由f(1)12abc8，a，b9，可得c3，所以f(x)x33x29x3.检验知，符合题意18(本小题满分12分)求曲线yx3x22x与x轴所围成的图形的面积解首先求出函数yx3x22x的零点：x11，x20，x32.又易判断出1x0时，图形在x轴下方，0x2时，图形在x轴上方，所以所求面积为S (x3x22x)dx(x3x22x)dx.19(本小题满分12分)当0xx.证明设函数f(x)sinxx，显然f(0)0，则f(x)co
8、sx12sin22.又因为0xsinx，所以sin0，220.故f(x)0，函数f(x)在上是增函数，所以f(x)f(0)0，即sinxx.20(本小题满分12分)已知函数f(x)ax22xln x.(1)当a0时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间上是增函数，求实数a的取值范围解(1)函数的定义域为(0，)，因为f(x)ax22xln x，当a0时，f(x)2xln x，则f(x)2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表：xf(x)0f(x)极小值所以当x时，f(x)的极小值为1ln 2，函数无极大值(2)由已知，得f(x)ax22xln x，且x0，则f(x)ax2，若a0，
9、由f(x)0得x，显然不符合题意，若a0，因为函数f(x)在区间上是增函数，所以f(x)0对x恒成立，即不等式ax22x10对x恒成立，即a21恒成立，故amax，而当x时，函数21的最大值为3，所以实数a的取值范围为a3.21(本小题满分12分)已知函数f(x)x3(a1)x23ax1，xR.(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)当a3时，若函数f(x)在区间m,2上的最大值为28，求m的取值范围解(1)由f(x)x3(a1)x23ax1，得：f(x)3x23(a1)x3a3(x1)(xa)令f(x)0，得x11，x2a.当a1，即a1时，f(x)3(x1)20，f(x)在(，)上单调递增
10、；当a1，即a1时，当xa或x1时，f(x)0，f(x)在(，a)，(1，)内单调递增当ax1时，f(x)0，f(x)在(a,1)内单调递减；当a1，即a1时，当x1或xa时，f(x)0，f(x)在(，1)，(a，)内单调递增当1xa时f(x)0，f(x)在(1，a)内单调递减综上，当a1时，f(x)在(，1)，(a，)内单调递增，f(x)在(1，a)内单调递减；当a1时，f(x)在(，)上单调递增；当a1时，f(x)在(，a)，(1，)内单调递增，f(x)在(a,1)内单调递减(2)当a3时，f(x)x33x29x1，xm,2，f(x)3x26x93(x3)(x1)，令f(x)0，得x11，
11、x23.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况列表如下：x(，3)3(3,1)1(1,2f(x)00f(x)极大极小由此表可得，f(x)极大值f(3)28，f(x)极小值f(1)4.又f(2)328，故区间m,2内必须含有3，即m的取值范围是(，322(本小题满分12分)已知函数f(x)ln xf(1)xln，g(x)f(x)(1)求f(x)的单调区间；(2)设函数h(x)x2xm，若存在x1(0,1，对任意的x21,2，总有g(x1)h(x2)成立，求实数m的取值范围解(1)f(x)f(1)，f(1)1f(1)，f(1)，f(x)ln xxln (x0)，f(x).当0x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.f(x)的单调增区间为(0,2)，单调减区间为(2，)(2)g(x)2xln xln (x0)，g(x)2.又2x2x2220，在(0,1上g(x)0，即函数g(x)在(0,1上单调递增，g(x)在(0,1上的最大值为g(1)ln 21.而“存在x1(0,1，对任意的x21,2，总有g(x1)h(x2)成立”等价于“g(x)在(0,1上的最大值不小于h(x)在1,2上的最大值”h(x)在1,2上的最大值为h(2)2m.ln 212m，mln 23.实数m的取值范围为(，ln 23