1、2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）第卷（选择题 共60分）注意事项：1. 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。参考公式：如果事件A、B互斥，那么，如果事件A、B相互独立，那么。柱体（棱柱、圆柱）的体积公式其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高。一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 设集合，那么下列结论正确的是A. B. C. D. 2. 不等式
2、的解集为A. B. C. D. 3. 对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是A.“”是“”的必要条件; B.“”是“”的必要条件C.“”是“”的充分条件; D.“”是“”的充分条件4. 若平面向量与向量的夹角是，且，则A. B. C. D. 5. 设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、 分别是双曲线的左、右焦点。若，则A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 96. 若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则A. B. C. D. 7. 若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是A. B. C. D. 8. 如图，定点A和B都在平面内，定点，C是内异于A和B
3、的动点，且。那么，动点C在平面内的轨迹是A. 一条线段，但要去掉两个点 B. 一个圆，但要去掉两个点C. 一个椭圆，但要去掉两个点 D. 半圆，但要去掉两个点9. 函数的反函数是A. B. C. D. 10. 函数 为增函数的区间是A. B. C. D. 11. 如图，在长方体中，。分别过BC、的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，。若，则截面的面积为A. B. C. D. 12. 定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数。若的最小正周期是，且当时，则的值为A. B. C. D. 第卷（非选择题 共90分）二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。13
4、. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品。产品数量之比依次为。现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中A种型号产品有16件。那么此样本的容量 。14. 已知向量，若与垂直，则实数等于 。15. 如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数的取值范围是 。16. 从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有 个。（用数字作答）三. 解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）已知（1）求的值；（2）求的值。18.（本小题满分12分） 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛。（1）求所
5、选3人都是男生的概率；（2）求所选3人中恰有1名女生的概率；（3）求所选3人中至少有1名女生的概率。19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，是PC的中点。（1）证明平面EDB；（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值。20.（本小题满分12分）设是一个公差为的等差数列，它的前10项和且，成等比数列。（1）证明；（2）求公差的值和数列的通项公式。21.（本小题满分12分）已知函数是R上的奇函数，当时取得极值。（1）求的单调区间和极大值； （2）证明对任意，不等式恒成立。22.（本小题满分14分）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相
6、交于点A，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线PQ的方程。2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考解答一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。1. D 2. A 3. B 4. A 5. C 6. A 7. A8. B 9. D 10. C 11. C 12. D二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。13. 80 14. 15. 16. 36三. 解答题17. 本小题考查两角和正切公式，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。（1）解：由，有解得（2
7、）解法一：解法二：由（1），得 于是 代入得 18. 本小题考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力，满分12分。（1）解：所选3人都是男生的概率为 （2）解：所选3人中恰有1名女生的概率为 （3）解：所选3人中至少有1名女生的概率为19. 本题考查直线与平面平行、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力，满分12分。方法一：（1）证明：连结AC、AC交BD于O。连结EO 底面ABCD是正方形 点O是AC的中点。在中，EO是中位线 而平面EDB且平面，所以，平面EDB。（2）解：作交CD于F。连结BF，设正方形ABCD的边长为。 底面ABCD F为DC的中点 底面
8、ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故为直线EB与底面ABCD所成的角。在中， 在中 所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设（1）证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。依题意得， 底面ABCD是正方形 G是此正方形的中心，故点G的坐标为 这表明而平面且平面EDB 平面EDB（2）解：依题意得，取DC的中点 连结EF，BF ， ， ， 底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故为直线EB与底面ABCD所成的角。在中， 所以，EB与底面ABCD所成的角的正切值为。20. 本小题主要考查等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公
9、式以及等比中项等基础知识，考查运算能力和推理论证能力，满分12分。（1）证明：因，成等比数列，故而是等差数列，有，于是 即化简得 （2）解：由条件和，得到 由（1），代入上式得故 ，因此，数列的通项公式为，。21. 本小题主要考查函数的单调性及奇偶性，考查运用导数研究函数单调性及极值等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，满分12分。（1）解：由奇函数的定义，应有，即 因此， 由条件为的极值，必有，故解得，因此，当时，故在单调区间上是增函数当时，故在单调区间上是减函数当时，故在单调区间上是增函数所以，在处取得极大值，极大值为（2）解：由（1）知，是减函数，且在上的最大值 在上的最小值所以，对任意的，恒有22. 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力，满分14分。（1）解：由题意，可设椭圆的方程为 由已知得 解得，所以椭圆的方程为，离心率（2）解：由（1）可得，设直线PQ的方程为，由方程组 得依题意，得设，则 由直线PQ的方程得，于是 由得，从而所以直线PQ的方程为或