1、题型专题(五)解三角形与平面向量主要考查基础知识、基本技能，应用所学分析解决问题的能力 数量积运算不用慌，两种方法细思量 (1)平面向量的数量积有两种运算形式，一种形式是数量积的定义：ab|a|b|cos(其中为向量a，b的夹角)；另一种形式是坐标运算：a(x1，y1)，b(x2，y2)时，abx1x2y1y2.(2)向量a在向量b方向上的投影为ab|b|a|cos.考点一：平面向量的数量积典例(1)(2015浙江高考)已知e1，e2是平面单位向量，且e1e212.若平面向量b满足be1be21，则|b|_.解析 e1e212，|e1|e2|cose1，e2 12，e1，e2 60.又be1b
2、e210，b，e1 b，e2 30.由 be11，得|b|e1|cos 301，|b|1322 33.答案 2 33(2)(2015天津高考)在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AB2，BC1，ABC60.点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且BE23BC，DF 16DC，则AEAF的值为_解析 法一：作COAB于O，建立如图所示的平面直角坐标系，则A32，0，B12，0，C0，32，D1，32，所以E16，33，F56，32，所以AEAF 53，33 23，32109 122918.法二：取BA，BC为一组基底，则AEBEBA23BCBA，AF ABBCCF BABC 51
3、2BA 712BABC，AEAF 23 BCBA 712 BABC 712|BA|22518BABC23|BC|2 712425182112232918.答案 2918(1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路：直接利用数量积的定义；建立坐标系，通过坐标运算求解(2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算 1(2015郑州质量预测)在RtABC中，CACB3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN 2，则 CM CN 的取值范围为()A.2，52 B.2，4C.3，6D.4，6即时应用解析：记MN的中点为E，则有 CM CN 2 CE，CM CN
4、 14(CM CN)2(CM CN)2CE 214MN 2CE 212.又|CE|的最小值等于点C到AB的距离，即3 22，故CM CN 的最小值为3 222124.当点M与点A(或B)重合时，|CE|达到最大，|CE|的最大值为3 222 22132，故CM CN 的最大值为1322126.因此CM CN 的取值范围是4,6，选D.答案：D2平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m_.解析：由已知可以得到c(m4,2m2)，且cosc，acosc，b，所以 ca|c|a|cb|c|b|，又|b|2|a|，所以2cacb，即2m422m2 4(
5、m4)2(2m2)，解得m2.答案：23已知向量a(2,1)，b(1,2)，若a，b在向量c上的投影相等，且(ca)(cb)52，则向量c的坐标为_解析：设 c(x，y)，由已知有ac|c|bc|c|，即(ab)c0，即 3xy0，由已知(ca)(cb)52，即 x2y2x3y520，联立得 x12，y32，即 c12，32.答案：12，32审设问锁定方向，用定理实现互化 1.正弦定理在ABC中，asin Absin Bcsin C2R(R为ABC的外接圆半径)；变形：a2Rsin A，sin A a2R，abcsin Asin Bsin C 等考点二：正(余)弦定理求解三角形2.余弦定理在A
6、BC中，a2b2c22bccos A；变形：b2c2a22bccos A，cos Ab2c2a22bc.典例(2015全国卷)ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍(1)求sin Bsin C；(2)若AD1，DC 22，求BD和AC的长解(1)SABD12ABADsinBAD，SADC12ACADsinCAD.因为SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.由正弦定理，得sin Bsin CACAB12.(2)因为SABDSADCBDDC，所以BD 2.在ABD和ADC中，由余弦定理，知AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADD
7、CcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26.由(1)知，AB2AC，所以AC1.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口 (2015郑州第一次质量预测)在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，D为边AC的中点，a32，cosABC 24.(1)若c3，求sinACB的值；(2)若BD3，求ABC的面积即时应用解：(1)由题意知a3 2，cosABC 24，c3，由b2c2a22accos ABC32(3 2)223 2
8、3 24 18，得b3 2.又ABC(0，)，所以sinABC 1cos2ABC 144，由正弦定理：csinACBbsinABC，得sinACBcsinABCb 74.(2)以BA，BC为邻边作如图所示的平行四边形ABCE，如图，则cosBCEcosABC24，BE2BD6.在BCE中，BE2CB2CE22CBCEcosBCE，即36CE21823 2CE 24，解得CE3，即AB3，所以SABC12acsinABC9 74.通晓术语揭题面，文图转换不犯难考点三：三角形中的实际应用问题典例(2015湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西
9、偏北30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m.解析 由题意，在ABC 中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又 AB600 m，故由正弦定理得600sin 45BCsin 30，解得 BC300 2 m.在 RtBCD 中，CDBCtan 30300 2 33 100 6(m)答案 100 6解三角形实际问题三步骤(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余
10、弦定理等有关知识正确求解 1.如图，为测量山高 MN，选择 A和另一座山的山顶 C 为测量观测点从 A 点测得 M 点的仰角MAN60，C 点的仰角CAB45以及MAC75；从 C 点测得MCA60，已知山高 BC100 m，则山高 MN_m.即时应用解析：在ABC 中，ACBCsinCAB100 2 m，在MAC 中，由正弦定理得MAsin 60ACsin 45，解得 MA100 3 m，在MNA 中，MNMAsin60150 m.即山高 MN 为 150 m.答案：1502.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站 A，发现其北偏东 45，与观测站 A 距离 20 2 海里的 B 处有一货船正匀
11、速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站 A 东偏北(045)的 C 处，且 cos 45.已知 A，C 两处的距离为 10 海里，则该货船的船速为_海里/小时解析：因为cos 45，045，所以sin 35，cos(45)22 45 22 357 210，在ABC中，BC2800100220 2107 210 340，所以BC2 85，该货船的船速为4 85海里/小时答案：4 85一、平面向量与其他知识的交汇点平面向量具有代数形式与几何形式的“双重型”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”为：一是作为解决问题的工具，二是通过运算作为命题条件
12、.主要考查迁移思维、数学素养，多角度、创造性地思考和解决问题的能力 例 1 已知向量 a，b 满足|a|2|b|0，且关于 x 的函数 f(x)2x33|a|x26abx5在 R上单调递减，则向量 a，b 夹角的取值范围是()A.0，6 B.0，3C.0，6D.23，学审题fx递减 fx0 0cos 的取值范围为a，b的夹角 的取值范围解析 设向量a，b的夹角为，因为f(x)2x33|a|x26abx5，所以f(x)6x26|a|x6ab，又函数f(x)在R上单调递减，所以f(x)0在R上恒成立，所以36|a|24(6)(6ab)0，解得ab14|a|2，因为ab|a|b|cos，且|a|2|
13、b|0，所以|a|b|cos 12|a|2cos 14|a|2，解得cos 12，因为0，所以向量a，b的夹角的取值范围是23，故选D.答案 D本题是平面向量和函数的交汇，由函数的性质把问题转化为平面向量问题，求解时应注意0，1(2015洛阳统考)在平面直角坐标系xOy中，点A与点B关于y轴对称，若向量a(1，k)，则满足不等式OA2a AB0的点A(x，y)的集合为()A(x，y)|(x1)2y21B(x，y)|x2y2k2C(x，y)|(x1)2y21D(x，y)|(x1)2y2k2即时应用解析：由条件得B(x，y)，所以OA(x，y)，OB(x，y)，所以 AB(2x,0)，所以OA2a
14、ABx2y22x0，即(x1)2y21，故选C.答案：C 二、新定义下的平面向量的创新问题近年，高考以新定义的形式考查向量的概念、线性运算、数量积运算的频率较大，其形式体现了“新”.解决此类问题，首先要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，通过转化思想解决，这是破解新定义信息题的关键所在.例 2 定义平面向量的一种运算 ab|ab|ab|sin a，b，其中 a，b 是 a 与 b 的夹角，给出下列命题：若 a，b 90，则 aba2b2；若|a|b|，则(ab)(ab)4ab；若|a|b|，则 ab2|a|2；若 a(1,2)，b(2,2)，则(ab)b 10.其中真命题的序号
15、是_解析 中，因为 a，b 90，则 ab|ab|ab|a2b2，所以成立；中，因为|a|b|，所以(ab)，(ab)90，所以(ab)(ab)|2a|2b|4|a|b|，所以不成立；中，因为|a|b|，所以 ab|ab|ab|sina，b|ab|ab|ab|2|ab|222|a|2，所以成立；中，因为 a(1,2)，b(2,2)，所以 ab(1,4)，sin(ab)，b 3 3434，所以(ab)b3 5 53 3434 45 3434，所以不成立答案 本题是新定义下平面向量的运算，解答本题关键是把此定义运算转化为我们所学的平面向量数量积运算，命题便可判断 2.如图，设(0，)，且2.当xO
16、y时，定义平面坐标系xOy为-仿射坐标系，在-仿射坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：e1，e2分别为x轴，y轴正方向上的单位向量，若OP xe1ye2，则记为 OP(x，y)，那么在以下的结论中，正确的是_(填序号)即时应用设a(m，n)，b(s，t)，若ab，则ms，nt；设a(m，n)，则|a|m2n2；设a(m，n)，b(s，t)，若ab，则mtns0；设a(m，n)，b(s，t)，若ab，则msnt0；设a(1,2)，b(2,1)，若a与b的夹角为3，则23.解析：显然正确；|a|me1ne2|m2n22mncos，因为 2，所以错误；由 ab，得 ba(R)，所以 sm，tn，所以 mtns0，故正确；因为 ab(me1ne2)(se1te2)msnt(mtns)cos msnt，所以错误；根据夹角公式 ab|a|b|cosa，b，又|a|b|54e1e2，ab45e1e2，所以 45e1e2(54e1e2)cos 3，故 e1e212，即 cos 12，所以 23，正确答案：THANKS!谢谢观看