1、目标导航(1)会用样本的数字特征估计总体的数字特征；(2)体会数字特征的随机性和对实际问题进行判断决策时的应用；(3)了解收集数据的方式，体会收集数据的过程1说基础名师导读 知识点 1样本平均数、样本的方差与标准差(1)n 个样本数据 x1，x2，xn 的平均数为 x 1n(x1x2xn)，则有 n x x1x2xn.(2)设样本的元素为 x1，x2，xn，样本的平均数为 x，则样本的方差s21n(x1 x)2(x2 x)2(xn x)2.样本方差的算术平方根即为样本的标准差，即s1nx1 x 2x2 x 2xn x 2.讲重点 利用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)中位数：在频率分布直方
2、图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标知识点 2统计活动统计活动的步骤：(1)明确调查的目的，确定调查的对象(2)利用随机抽样抽取样本，收集数据(3)整理数据，用表格来表示数据(4)分析数据，其方法有两种：一是用统计图表来分析，二是计算数据特征(5)作出推断，通过分析数据作出推断.2说方法分类探究 类型一由频率分布直方图求样本平均数、众数和中位数【例 1】一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 1 000人，并根据所得数据画出样本频率分布直方图(如图所示)试根据
3、上图，求该地居民月收入的众数、中位数和平均数思维启迪：解答本题可以利用众数、中位数和平均数与频率分布直方图的关系来求众数可从图中直接求出，中位数、平均数需根据图中信息按定义计算解析：(1)从图中可知，组距为 500，2 000，2 500)和2 500,3 000)的 fixi值一样，故众数是 2 500 元；(2)求中位数时，由中位数所在位置，划一直线将整个面积划分为相等的两部分总的 fixi值0.000 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 50.002，相应一半的值为 0.001，1 000,2 000)的 fixi和为 0.000 6，故此线在2 000
4、,2 500)这组距间的0.0010.000 60.000 545处，其值为 2 000455002 400(元)(3)求平均数时，可用各组中值乘以频率来计算，故平均数为1 2500.000 2500 1 7500.000 4500 2 2500.000 55002 7500.000 55003 2500.000 35003 7500.000 1500(0.250.71.1251.3750.9750.375)5002 400(元).点评 1.利用频率分布直方图求样本的数字特征就要清楚它们之间的联系，例如：众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标对于中位数，由于样本中的个体有
5、 50%小于或等于中位数因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积应该相等，由此可以估计样本的中位数的值2.利用直方图求得的众数、中位数和平均数均是其近似值，这是因为直方图只是直观地表明分布的特征，但从直方图本身得不到原始数据的内容，所以由直方图得到的众数、中位数与样本平均数往往与由实际数据得出的不一致，但它们可粗略估计其众数、中位数与样本平均数变式训练 1 从高三抽出 50 名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图：试利用频率分布直方图求：(1)这 50 名学生成绩的众数与中位数；(2)这 50 名学生的平均成绩解析：(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数在
6、直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求，所以众数应为 75.由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求0.004100.006100.02100.040.060.20.3，前三个小矩形面积的和为 0.3，而第四个小矩形面积为 0.03100.3,0.30.30.5，中位数应位于第四个小矩形内，设其底边为 x，高为 0.03，令 0.03x0.2 得 x6.7，中位数应为 706.776.777.(2)样本平
7、均数应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可平均成绩为45(0.00410)55(0.00610)65(0.0210)75(0.0310)85(0.02110)95(0.01610)74，众数是 75，中位数约为 77，平均成绩约为 74.类型二计算样本的标准差(方差)【例 2】某班 40 人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况见下表：统计量组别平均分数标准差第一组906第二组804求全班的平均成绩和标准差思维启迪：由样本的数字特征(平均数、标准差)计算全班的数字特征(平均数和标准差)解析：设第一组 20 名学生的成绩为 xi(
8、i1,2，20)，第二组 20 名学生的成绩为 yi(i1,2，20)依题意有：120(x1x2x20)90，120(y1y2y20)80，故全班平均成绩为：140(x1x2x20y1y2y20)140(90208020)85.又设第一组学生成绩的标准差为 s1，平均数为 x；第二组学生成绩的标准差为 s2，平均数为 y，则 s21 120(x1 x)2(x2 x)2(x20 x)2120 x21x22x22020 x 22 x(x1x2x20)120(x21x22x22020 x 2)，s22 120(y1 y)2(y2 y)2(y20 y)2 120y21y22y22020 y 22 y(
9、y1y2y20)120(y21y22y22020 y 2)又设全班 40 名学生的标准差为 s，平均成绩 x 085，故有 s2 140(x21x22x220y21y22y22040 x 20)140(20s2120 x 220s2220 y 240 x 20)12(62902428022852)51，则 s 51.点评 1.本题中计算全班的平均成绩和标准差时用到了整体思想2.求样本数据 x1，x2，xn 的标准差的步骤(1)求平均数 x；(2)求方差 s21n(x1 x)2(x2 x)2(xn x)2；(3)s2 的算术根，即为标准差 s.3.方差公式的变形 s21n(x1 x)2(x2 x
10、)2(xnx)2 1n(x21x22x2n)n x 2 1n(x21x22x2n)x 2.变式训练 2 某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习，每人投 10 次，投中的次数如下表：学生1 号2 号3 号4 号5 号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为 s2_.解析：x 甲6778757，s2甲672020287202525.x 乙6767957，s2乙6720267202972565.答案：25类型三估计总体的数字特征【例 3】要从甲、乙两名划艇运动员中选拔一名去参加比赛，为此对甲、乙两人在相同的条件下进行了 6 次测试，测得他们
11、最大速度(m/s)的数据如下：甲：27,38,30,37,35,31；乙：33,29,38,34,28,36.这两名划艇运动员谁更优秀？思维启迪：通过样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差，当总体的平均数相差无几时，总体的方差小的成绩稳定，更优秀解析：x 甲16(273830373531)33，x 乙16(332938342836)33.由此估计两人划艇的最大速度的平均数相同，在这种情况下要进一步比较两人成绩的稳定程度s2甲16(2733)2(3833)2(3033)2(3733)2(3533)2(3133)215.67，s2乙16(3333)2(2933)2(3833)2(3433)2(2
12、833)2(3633)212.67.由此估计甲运动员划艇的最大速度的方差大于乙运动员划艇的最大速度的方差，所以乙的成绩要比甲的成绩稳定一些，即乙比甲更优秀.点评 1.由于方差是每一个数据与平均数的差的平方和的平均数，故要特别细心数据上的细小差别即可引起结果的大变化2.对两个样本进行评比时，先比较它们的平均值，再比较它们的方差(标准差)变式训练 3 甲、乙两种冬小麦试验品种连续 5 年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm2)：品种第一年第二年第三年第四年第五年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8根据这组数据判断应该选择哪一种小麦进行推广解析：甲种冬小麦的平均产量x 甲9.89.910.11010.2510，乙种冬小麦的平均产量x 乙9.410.310.89.79.8510，则甲、乙两种冬小麦平均单位面积产量相同甲种冬小麦平均单位面积产量的方差为s2甲15(9.810)2(9.910)2(10.110)2(1010)2(10.210)20.02，乙种冬小麦产量的方差为s2乙15(9.410)2(10.310)2(10.810)2(9.710)2(9.810)20.244，则 s2甲s2乙，所以甲种小麦的平均单位面积产量比较稳定因此选择甲种小麦进行推广