1、第2节空间几何体的表面积与体积【选题明细表】知识点、方法题号空间几何体的侧面积与表面积1,3,4,5,9空间几何体的体积2,8,10,11与球有关的面积、体积问题6,12,13,14,15折叠与展开问题7基础巩固(时间:30分钟)1.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84,则圆台较小底面的半径为(A)(A)7(B)6(C)5(D)3解析:设圆台较小底面半径为r,则另一底面半径为3r.由S=(r+3r)3=84,解得r=7.选A.2.如图是某一几何体的三视图,则这个几何体的体积为(B)(A)4(B)8(C)16(D)20解析:由三视图知,此几何体是一个三棱锥,底
2、面为一边长为6,高为2的三角形,三棱锥的高为4,所以体积为V=624=8.故选B.3.(2017湖南娄底二模)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图都是腰长为2的等腰直角三角形,俯视图是圆心角为的扇形,则该几何体的表面积为(D)(A)2(B)+4(C)+4(D)(+1)+4解析:该几何体是一个底面半径和高都是2的圆锥的四分之一,所以该几何体的表面积为(22+22)+222=(+1)+4,故选D.4.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积为(D)(A)17(B)22(C)14+2(D)22+2解析:作出四棱锥P-ABCD的直观图如图所示,AB=4,BC=2,PC=3,S矩形ABCD=
3、24=8,SBCP=23=3,SABP=4=2,SCDP=34=6,SADP=2=5,故四棱锥的表面积S=8+3+2+6+5=22+2,故选D.5.(2017福建南平模拟)如图,一个几何体的三视图分别为两个等腰直角三角形和一个边长为2的正方形(含一条对角线),则该几何体的侧面积为(B)(A)8(1+)(B)4(1+)(C)2(1+)(D)1+解析:由已知中的三视图可得该几何体的直观图如图所示.底面为正方形,AB=AD=2,棱锥的高为SA=2.SB=SD=2,CDSD,CBSB,所以S侧=SSAB+SSAD+SSCB+SSCD=2SSAB+2SSCB=222+222=4+4.故选B.6.如图,已
4、知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球,则平面ACD1截球O的截面面积为(C)(A)(B)(C) (D)解析:平面ACD1截球O的截面为ACD1的内切圆.因为正方体的棱长为1,所以AC=CD1=AD1=,所以内切圆的半径r=,所以S=r2=.故选C.7.如图,三棱锥S-ABC中,SA=AB=AC=2,ASB=BSC=CSA=30,M,N分别为SB,SC上的点,则AMN周长的最小值为.解析:展开三棱锥的侧面,如图所示.因为原三棱锥中ASB=BSC=CSA=30,SA=AB=AC=2,所以ASA是等腰直角三角形,连接AA可得AMN周长的最小值为2.答案:28.(2016四川卷)
5、已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是.解析:由题知三棱锥高为1,底面积S=21=,V=1=.答案:能力提升(时间:15分钟)9.(2017深圳一模)祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求上半球的体积时,需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视图如图所示,用一个与该几何体的下底面平行相距为h(0h2)的平面截该几何体,则截面面积为(D)(A)4(B)h2(C)
6、(2-h)2(D)(4-h2)解析:由三视图知,这是一个底面半径为2,高为2的圆柱挖去一个底面半径为2高为2的圆锥,所以平行底面的平面截得一个圆环,其面积为两个圆面积之差,根据比例关系知截圆锥所得圆的半径为h,所以面积为4-h2=(4-h2),故选D.10.导学号 94626186(2017柳州市、钦州市一模)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则它的体积为(B)(A)48 (B)16(C)32 (D)16解析:根据三视图得出:该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O-ABCD,正方体的棱长为4,O,A,D分别为棱的中点,所以OD=2,AB=DC=OC=2.作OECD,垂
7、足是E.因为BC平面ODC,所以BCOE,BCCD,则四边形ABCD是矩形.因为CDBC=C,所以OE平面ABCD.因为ODC的面积S=44-22-242=6,所以6=CDOE=2OE,得OE=,所以此四棱锥O-ABCD的体积V=S矩形ABCDOE=42=16.故选B.11.(2017云南师大附中适应性考试)已知三棱锥O-ABC的顶点A,B,C都在半径为2的球面上,O是球心,AOB=120,当AOC与BOC的面积之和最大时,三棱锥O-ABC的体积为(B)(A)(B)(C)(D)解析:设球O的半径为R,因为SAOC+SBOC=R2(sinAOC+sinBOC),所以当AOC=BOC=90时,SA
8、OC+SBOC取得最大值,此时OAOC,OBOC,OBOA=O,所以OC平面AOB,所以=OCOAOBsinAOB=R3sinAOB=,故选B.12.(2018兰州市实战考试)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形,则该几何体外接球的体积为(A)(A)(B)(C)3(D)3解析:由题意得,该几何体为四棱锥,且该四棱锥的外接球即为棱长为1的正方体的外接球,其半径为,故体积为()3=,故选A.13.(2017安徽淮北二模)中国古代数学经典九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bi no).
9、若三棱锥P-ABC为鳖臑,且PA平面ABC,ABBC,PA=AB=2,又该鳖臑的外接球的表面积为24,则该鳖臑的体积为.解析:由题意得24=4R2R2=6,所以由PA2+AB2+BC2=(2R)2得4+4+BC2=24,BC=4,因此鳖臑的体积为224=.答案:14.一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图为等腰直角三角形,正视图和侧视图是全等的等腰三角形,则此三棱锥外接球的表面积为.解析:该三棱锥的直观图如图所示,其中底面ABC为以C为直角顶点的等腰直角三角形,侧面PAB底面ABC,顶点P在底面上的射影为AB的中点O.该三棱锥的外接球的球心一定在PO上,且满足OP=OA=r.在RtOOA中,OA=,OO=2-r,所以r2=2+(2-r)2,解得r=,所以其外接球的表面积为4()2=9.答案:915.(2017武汉调研)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上,且该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为.解析: 如图,正四棱锥P-ABCD的外接球的球心O在它的高PO1上,设球的半径为R,因为底面边长为2,所以AC=4.在RtAOO1中,R2=(4-R)2+22,所以R=,所以球的表面积S=4R2=25.答案:25