1、3.2数学归纳法的应用课时过关能力提升1.用数学归纳法证明2nn2(n5,nN+)成立时,第二步归纳假设的正确写法是()A.假设当n=k时,命题成立B.假设当n=k(kN+)时,命题成立C.假设当n=k(k5)时,命题成立D.假设当n=k(k5)时,命题成立解析:由题意,知n5,nN+,故应假设当n=k(k5)时命题成立.答案:C2.欲用数学归纳法证明:对于足够大的自然数n,总有2nn3成立.n0为验证的第一个值,则()A.n0=1B.n0为大于1小于10的某个整数C.n010D.n0=2答案:C3.平面内原有k条直线,它们的交点个数记为f(k),则增加一条直线l后,它们的交点个数最多为()A
2、.f(k)+1B.f(k)+kC.f(k)+k+1D.kf(k)解析:第(k+1)条直线与前k条直线都相交于不同的交点,此时应比原来增加k个交点.答案:B4.用数学归纳法证明“2n+1n2+n+2(nN+)”时,第一步验证为.答案:当n=1时,左边=21+1=4,右边=12+1+2=4,不等式成立5.利用数学归纳法证明35(2n-1)24(2n-2)0,n1.因此n的最小值n0=2.此时原不等式为323成立.答案:26.已知数列an的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an(nN+),用归纳猜想得Sn的表达式为.解析:由S2=a1+a2=22a2,得a2=13,S2=1+13=43,由S3=
3、32a3=a1+a2+a3,得a3=16,S3=S2+16=32,可归纳出Sn=2nn+1.答案:Sn=2nn+17.证明不等式:1+12+13+1n2n(nN+).证明(1)当n=1时,左边=1,右边=2,左边右边,不等式成立.(2)假设当n=k(k1,kN+)时,不等式成立,即1+12+13+1k2k成立.则当n=k+1时,左边=1+12+13+1k+1k+12k+1k+1=2k(k+1)+1k+12,b22,b32,猜想bn2(nN+).下面用数学归纳法证明.(1)当n=1时,因为b1=2,所以2b1,猜想成立.(2)假设当n=k(k1,且kN+)时猜想成立,即2bk,所以00,所以bk
4、+12,即当n=k+1时猜想成立.由(1)(2)知,bn2对一切nN+都成立.9.设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf(x),x0,其中f(x)是f(x)的导函数.令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x),nN+,猜想gn(x)的表达式,并利用数学归纳法加以证明.解由题设,得g(x)=x1+x(x0).由已知,得g1(x)=x1+x,g2(x)=g(g1(x)=x1+x1+x1+x=x1+2x,g3(x)=x1+3x,可得gn(x)=x1+nx.下面用数学归纳法证明上述猜想.(1)当n=1时,g1(x)=x1+x,结论成立.(2)假设当n=k(kN+,且k1)时结论成立
5、,即gk(x)=x1+kx.则当k=k+1时,gk+1(x)=g(gk(x)=gk(x)1+gk(x)=x1+kx1+x1+kx=x1+(k+1)x,即结论成立.由(1)(2)可知,结论对nN+成立.10.已知数列an的各项均为正数,bn=n1+1nnan(nN+).计算b1a1,b1b2a1a2,b1b2b3a1a2a3,由此推测计算b1b2bna1a2an的公式,并利用数学归纳法给出证明.解b1a1=11+111=1+1=2;b1b2a1a2=b1a1b2a2=221+122=(2+1)2=32; b1b2b3a1a2a3=b1b2a1a2b3a3=3231+133=(3+1)3=43. 由此推测:b1b2bna1a2an=(n+1)n.下面用数学归纳法证明上述推测.(1)当n=1时,左边=右边=2,推测成立.(2)假设当n=k(kN+,且k1)时,推测成立,即b1b2bka1a2ak=(k+1)k. 则当n=k+1时,bk+1=(k+1)1+1k+1k+1ak+1,由归纳假设可得b1b2bkbk+1a1a2akak+1=b1b2bka1a2akbk+1ak+1=(k+1)k(k+1)1+1k+1k+1=(k+2)k+1.所以当n=k+1时,推测也成立.根据(1)(2),可知推测对一切正整数n都成立.4