1、3.2.5距离(选学)课时目标掌握向量长度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、异面直线(已知公垂线段)间的距离和点到平面的距离1一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的_值，叫做图形与图形的距离若两个图形相交，则距离一定为_2一点到它在一个平面内_的距离，叫做这点到这个平面的距离3一条直线上的_，与它_的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离4和两个平行平面同时_的直线，叫做这两个平面的公垂线公垂线夹在_，叫做这两个平面的公垂线段，两平行平面的_，叫做两平行平面的距离5设a(a1，a2，a3)，则|a|_，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则dAB_.6.点到平面的距离
2、：一点到它在一个平面内的_的距离叫做这一点到这个平面的距离，如图所示，设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离d_.若n0是平面的单位法向量，则d_.7异面直线的距离(1)和两条异面直线都_的直线叫做两条异面直线的公垂线任意两条异面直线有且只有_公垂线(2)两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的_ _，两条异面直线的公垂线段的_叫做两条异面直线的距离一、选择题1.若O为坐标原点，(1,1，2)，(3,2,8)，(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为()A. B2 C. D.2在直角坐标系中，设A(2,3)，B(3，2)，沿x轴把直角坐标平面
3、折成120的二面角后，则A、B两点间的距离为()A2 B.C. D33已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是()A. B. C. D.4.如图所示，在直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AEB是等腰直角三角形，其中AEB90，则点D到平面ACE的距离为()A. B.C. D25.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是()A. B.C. D.6若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，则A1C1到底面ABCD的距离为
4、()A. B1 C. D.题号123456答案二、填空题7已知夹在两平行平面、间的斜线段AB8 cm，CD12 cm，AB和CD在内的射影长的比为35，则和的距离为_8已知A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(5，4,8)，则点D到平面ABC的距离为_9棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为_三、解答题10已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，求点B到平面EFG的距离11已知正方形ABCD与正方形CDEF构成120的二面角，CDa，求CD到平面AE
5、F 的距离能力提升12.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PAAB，点E是棱PB的中点求直线AD与平面PBC的距离13如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNa(0a )(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小1求点到平面的距离的方法有三种：(1)定义法：这是常规方法，首先过点向平面作垂线，确定垂足的位置，然后把该垂线段归结到一个直角三角形中，解三角形求得(2)等体积法：把点到平面的距离视为一个三棱锥底面的高，利用三棱锥转换底面求体积，进而求得距离(3)向量法：这是我们常
6、用到的方法，利用向量法求点到平面的距离的一般步骤为：求出该平面的一个法向量；找出从该点出发的平面任一条斜线段对应的向量；求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离2异面直线间的距离就是两异面直线公垂线段的长度其向量求法如下：设l1、l2是两条异面直线，n是l1与l2公垂线段AB的方向向量，又C、D分别是l1、l2上的任意两点，则l1、l2的距离d.32.5距离(选学)知识梳理1最小零2正射影3任一点平行4垂直平行平面间的部分公垂线段的长度5.6正射影|n0|7(1)垂直相交一条(2)公垂线段长度作业设计1D由题意()(2，3)，(2，3)，PC=| .2A
7、作AEx轴交x轴于点E，BFx轴交x轴于点F，则，22222222222925423244，|2.3B如图所示，(2,0,0)，(1,0,2)，cos ，sin ，A到直线BE的距离d|sin 2.4B建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，1,0)，E(1,0,0)，D(0，1，2)，C(0,1,2). (0,0,2)，(1,1,0)，(0,2,2)，设平面ACE的法向量n(x，y，z)，则即令y1，n(1,1，1)故点D到平面ACE的距离d.5B以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有D1(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(
8、1,1,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)因O为A1C1的中点，所以O(，1)，(，0)，(1,0,1)，(0,1,0)设平面ABC1D1的法向量为n(x，y，z)，则有即取x1，则n(1,0,1)O到平面ABC1D1的距离为d.6D如图所示，直线AB1与底面ABCD所成的角为B1AB，而A1C1到底面ABCD的距离为AA1，在RtABB1中，B1BABtan 60.所以AA1BB1.7. cm8.解析设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，可取n，又(7，7,7)点D到平面ABC的距离d.9.解析如图，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系则平面ACD
9、1的一个法向量为(1,1,1)，M，A(1,0,0)，(0,1，)，点M到平面ACD1的距离为d.又綊，MN平面ACD1.故MN平面ACD1，故MN到平面ACD1的距离也为.10解如图所示，以C为原点，CB、CD、CG所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Cxyz.由题意知C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(4,2,0)，F(2,4,0)，G(0,0,2)(0,2,0)，(4,2，2)，(2,2,0)设平面GEF的法向量为n(x，y，z)，则有即令x1，则y1，z3，n(1,1,3)点B到平面EFG的距离为11解如图所示，CDEF，CD平面AEF，
10、EF平面AEF，CD平面AEF.在平面ADE内，过点D作DHAE，垂足为H.CDAD，DCDE，CD平面AED.又EFCD，EF平面AED，EFHD.又DHAE，DH平面AEF，HD的长就是CD到面AEF的距离又DCAD，DCED，ADE是两正方形所在面组成的二面角的平面角，ADE120.在DAE中，HDADsin 30.CD到平面AEF的距离为.12解如图所示，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系A-xyz.设D(0，a,0)，则B(，0,0)，C(，a,0)，P(0,0，)，E(，0，)于是(，0， )， (0，a,0)，(，a，)，则0，
11、0.所以AE平面PBC.又由ADBC知AD平面PBC.故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为|.13解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1)，CMBNa(0a)，且四边形ABCD、ABEF为正方形，M(a,0,1a)，N(a，a,0)，(0，a，a1)，|.即MN的长为.(2)由(1)知|MN|，所以，当a时，|MN|.即M、N分别移到AC、BF的中点时，|MN|的长最小，最小值为.章末总结知识点一空间向量的计算空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算
12、，是用向量法求解立体几何问题的基础例1沿着正四面体OABC的三条棱、的方向有大小等于1、2和3的三个力f1，f2，f3.试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱夹角的余弦值知识点二证明平行、垂直关系空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决例2如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点(1)用向量法证明平面A1BD平面B1CD1；(2)用向量法证明MN面A1BD.例3如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1
13、中，P是侧棱CC1上的一点，CPm.试确定m使得直线AP与平面BDD1B1所成的角为60.例4正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED平面A1FD1.知识点三空间向量与空间角求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，一般有两种方法：即几何法和向量法，几何法求角时，需要先作出(或证出)所求空间角的平面角，费时费力，难度很大而利用向量法，只需求出直线的方向向量与平面的法向量即可求解，体现了向量法极大的优越性例5如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB5，AD8，AA14，M为B1C1上一点且B1M2，点N在线段A1D上，A1DAN.（1）求cos，；(2)求直线AD与平面ANM所成角的余弦值；(3)求平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值知识点四空间向量与空间距离近年来，对距离的考查主要体现在两点间的距离和点到平面的距离，两点间的距离可以直接代入向量模的公式求解，点面距可以借助直线的方向向量与平面的法向量求解，或者利用等积求高的方法求解例6如图，PA平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PAAD2，M、N分别是AB、PC的中点(1)求二面角PCDB的大小；(2)求证：平面MND平面PCD；(3)求点P到平面MND的距离