1、2010-2011学年度第一学期南通市六所省重点高中联考试卷数 学试题（ 附 加 题）一、选答题：本大题共4小题，请从这4题中选做两小题，如果多做，则按所做的前两题记分，每小题10分，共20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明步骤或演算步骤1（选修41：几何证明选讲）如图，O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交O于N，过OCMNAPB（第1题）N点的切线交CA的延长线于P（1）求证：；（2）若O的半径为，OA=OM，求MN的长解：（1）由条件得矩阵，它的特征值为和，对应的特征向量为及；5分（2），椭圆在的作用下的新曲线的方程为10分2. （选修42：矩阵与
2、变换）设是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐标伸长到倍的伸压变换（1）求矩阵的特征值及相应的特征向量；（2）求逆矩阵以及椭圆在的作用下的新曲线的方程 3（选修44：不等式选讲）设a，b，c均为正实数 （1）若，求的最小值； （2）求证：4（选修44：坐标系与参数方程）已知椭圆的长轴长为6，焦距,过椭圆左焦点F1作一直线，交椭圆于两点M、N，设,当为何值时，MN与椭圆短轴长相等？（用极坐标或参数方程方程求解）解：以椭圆的左焦点为极点长轴所在直线为F1F2xMN极轴建立极坐标系（如图）这里:a=3,c=,2分所以椭圆的极坐标方程为：分设M点的极坐标为，N点的极坐标为，分解法二：设椭圆的方程为，
3、其左焦点为，直线MN的参数方程为：， 分将此参数方程代人椭圆方程并整理得：，设M、N对应的参数分别为，则2011届江苏省苏州市迎二模六校联考数学试题数学附加题，选做题21A选修41：（几何证明选讲）如图，AD是BAC的平分线，O过点A且与BC边相切于点D，与AB，AC分别交于E，F，求证：EFBC证明：如图，连结DF因为BC与圆相切，ABDCEFO所以CDFDAF4分因为EFD与EAD为弧DE所对的圆周角，所以EFDEAD又因为AD是BAC的平分线，故EADDAF 8分所以CDFEFD，所以EFBC 10分B选修42：(矩阵与变换) 已知a，bR，若矩阵M= 所对应的变换把直线l：2xy=3变
4、换为自身，求a，b的值解：（方法一）在直线l上取两点(，0)，(0，3)因为 ， ，6分因为M对应的变换把直线变换为自身，所以点(，b)，(3a，9)仍在直线l上代入直线方程得解得 10分（方法二）设(x，y)为直线l上任意一点，则 ， 3分因为M对应的变换把直线变换为自身，所以点(xay，bx3y)仍在直线l上，代入直线方程得：2(xay)(bx3y)3， 7分化简得(2b)x(2a3)y3，又直线l：2xy3，所以解得 10分C选修44：(坐标系与参数方程) 将参数方程(t为参数)化为普通方程解：（方法一） 因为(t)2(t)24， 5分 所以()2()24 8分 化简得普通方程为1 10
5、分 （方法二） 因为，所以t， 5分 相乘得1 8分化简得普通方程为1 10分D选修45：(不等式选讲)已知a，b是正数，求证(a)(2b)证明：（方法一） 因为a，b是正数，利用均值不等式， (a)(2b)2ab2 5分 (2ab)2所以 (a)(2b) 10分 （方法二） 因为a，b是正数，利用柯西不等式，(a)(2b)()2()2()2()2 5分 ()2()2所以(a)(2b) 10分江苏省2011届高三上学期苏北大联考（数学）数学试题（附加题）1、已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为求矩阵A，并写出A的逆矩阵解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向
6、量为可得，即cd6； 2分由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为，可得，即3c2d2， 6分解得 8分A的逆矩阵 2、过点P（3，0）且倾斜角为30直线和曲线相交于A、B两点求线段AB的长解：直线的参数方程为，3分曲线可以化为5分将直线的参数方程代入上式，得设A、B对应的参数分别为，8分AB10分2011年江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学高三调研测试数学（加试部分）BCEDA21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题l0分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A.选修4 1几何证明选讲如图，ABC的外接圆的切线AE与BC的
7、延长线相交于点E,BAC的平分线与BC交于点D.求证：ED2= EBEC.B矩阵与变换已知矩阵，求满足的二阶矩阵C.选修4 4 参数方程与极坐标若两条曲线的极坐标方程分别为r = 1与r = 2cos(q + ),它们相交于A，B两点，求线段AB的长.D.选修4 5 不等式证明选讲设a,b,c为正实数,求证:a3 + b3 + c3 + 2.江苏省常州市2011届高三复习迎考试卷数学试题(附加题)21【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41几何证明选讲ABCDDFO如图，AB是O的直径，C、F为O上的点，且CA平分
8、BAF，过点C作CDAF交AF的延长线于点D. 求证：DC是O的切线.【证明】连结OC，所以OAC=OCA.又因为CA平分BAF，所以OAC=FAC，于是FAC=OCA，所以OC/AD. 又因为CDAF，所以CDOC，故DC是O的切线 10分 B选修42矩阵与变换变换T是绕坐标原点逆时针旋转的旋转变换，求曲线在变换T作用下所得的曲线方程【解】变换T所对应变换矩阵为，设是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是，则，即，代入，即，所以变换后的曲线方程为 10分C选修44参数方程与极坐标（本题满分10分）已知圆和圆的极坐标方程分别为，（1）把圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交
9、点的直线的极坐标方程【解】（1），所以；因为，所以，所以 5分（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为 化为极坐标方程为，即 10分D选修45不等式证明选讲（本题满分10分）已知，求证：.【解】因为，所以，所以要证，即证， 即证， 即证，而显然成立，故 10分江苏省高淳高级中学2011届高三上学期第二次质量检测(数学理)附加题21本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤PCADBOA选修41：几何证明选讲如图，PA切O于点，D为的中点，过点D引割线交O于、两点求证
10、: 【证明】因为与圆相切于， 所以， 2分 因为D为PA中点，所以DP=DA， 所以DP2=DBDC，即 5分因为， 所以 8分所以 10分B选修42：矩阵与变换曲线在二阶矩阵的作用下变换为曲线，求实数的值；解：设为曲线上任意一点，为曲线 上与对应的点，则，即 6分代入的得， 及方程，从而，解得， 10分C选修44参数方程与极坐标圆和圆的极坐标方程分别为（1）把圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过圆，圆两个交点的直线的直角坐标方程解：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位（1），由得所以即为圆的直角坐标方程 3分同理为圆的直角坐标方程 6分（2）由相减得过交点的直线的直角坐标方程为 10分D 选修45：不等式选讲已知实数（）求证：；（）求函数的最小值答：（）证明：因为，利用柯西不等式，得，所以 5分（）由（），函数，所以函数的最小值为25，当且仅当时取得10分版权所有：高考资源网()版权所有：高考资源网()