1、4用向量讨论垂直与平行课后训练案巩固提升A组1.已知a,b,c分别为直线a,b,c的方向向量,且a=b(0),bc=0,则a与c的位置关系是() A.垂直B.平行C.相交D.异面解析:由a=b(0),知ab.由bc=0,知bc,所以ac.故选A.答案:A2.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是()A.33,33,-33B.33,-33,33C.-33,33,33D.-33,-33,-33解析:AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1),BC=(0,-1,1).设平面ABC的一个单位法向量为u=(x,y,z),则uAB=0,uAC=0,可得
2、x,y,z间的关系,且x2+y2+z2=1,再求出x,y,z的值.答案:D3.若平面的法向量为u=(1,-3,-1),平面的法向量为v=(8,2,2),则()A.B.与相交C.D.不确定解析:平面的法向量为u=(1,-3,-1),平面的法向量为v=(8,2,2),uv=(1,-3,-1)(8,2,2)=8-6-2=0.uv,.答案:C4.给出下列命题:若n1,n2分别是平面,的法向量,则n1n2;若n1,n2分别是平面,的法向量,则n1n2=0;若n是平面的法向量,且向量a与平面共面,则an=0;若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4
3、解析:不正确.答案:B5.导学号90074037如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则A1MD1P;A1MB1Q;A1M平面DCC1D1;A1M平面D1PQB1.以上结论正确的是.(填序号)解析:A1M=AM-AA1=DP-DD1=D1P,A1MD1P.又D1P平面D1PQB1,A1M平面D1PQB1.又D1P平面DCC1D1,A1M平面DCC1D1.D1B1与PQ平行不相等,B1Q与D1P不平行.A1M与B1Q不平行.答案:6.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),BP=(x-1,y,-3).若AB
4、BC,且BP平面ABC,则实数x,y,z的值分别为.解析:AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),ABBC,(1,5,-2)(3,1,z)=0,即3+5-2z=0,z=4.又BP=(x-1,y,-3),BP平面ABC,BPAB=0,即(x-1,y,-3)(1,5,-2)=0,x-1+5y+6=0.BPBC=0,即(x-1,y,-3)(3,1,4)=0,3x-3+y-12=0.由得x=407,y=-157,z=4.答案:407,-157,47.如图,PA平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当BFPE时,AFFD的值为.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设
5、正方形边长为1,PA=a.则B(1,0,0),E12,1,0,P(0,0,a).设点F的坐标为(0,y,0),则BF=(-1,y,0),PE=12,1,-a.BFPE,BFPE=0,解得y=12,则点F的坐标为0,12,0,F为AD的中点,AFFD=1.答案:18.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90,BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点.求证:平面EGF平面ABD.证明如图所示,由条件知BA,BC,BB1两两互相垂直,以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.由条件知
6、B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),E(0,0,3),F(0,1,4),设BA=a,则A(a,0,0),Ga2,1,4.所以BA=(a,0,0),BD=(0,2,2),B1D=(0,2,-2),EG=a2,1,1,EF=(0,1,1).(方法一)因为B1DBA=0,B1DBD=0+4-4=0,所以B1DBA,B1DBD.因为BABD=B,所以B1D平面ABD.又B1DEG=0+2-2=0,B1DEF=0+2-2=0.所以B1DEG,B1DEF.又EGEF=E,所以B1D平面EFG,可知平面EGF平面ABD.(方法二)设平面EGF的法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1E
7、F=0,n1EG=0,y1+z1=0,a2x1+y1+z1=0,即x1=0,y1=-z1,令y1=1,则n1=(0,1,-1).设平面ABD的法向量为n2=(x2,y2,z2),则n2BA=0,n2BD=0,ax2=0,2y2+2z2=0, 即x2=0,y2=-z2,令y2=1,则n2=(0,1,-1).所以n1=n2,所以平面EGF平面ABD.9.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1平面A1BD.证明如图所示,取BC的中点O,连接AO.因为ABC为正三角形,所以AOBC.因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC平面BCC1B1,所以AO平
8、面BCC1B1.取B1C1的中点O1,以O为原点,以OB,OO1,OA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,3),A(0,0,3),B1(1,2,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),BA1=(-1,2,3),BD=(-2,1,0).因为nBA1,nBD,故nBA1=0,nBD=0-x+2y+3z=0,-2x+y=0.令x=1,则y=2,z=-3,故n=(1,2,-3)为平面A1BD的一个法向量,而AB1=(1,2,-3),所以AB1=n,所以AB1n,故AB1平面A1BD.B组1.设平面的一个法向量为(1,2,-2),平面的一
9、个法向量为(-2,-4,k),若,则k=()A.2B.-4C.4D.-2解析:,存在实数,使(1,2,-2)=(-2,-4,k),k=4.答案:C2.如图,AB是O的直径,VA垂直O所在的平面,点C是圆周上不同于A,B的任意一点,M,N分别为VA,VC的中点,则下列结论正确的是()A.MNABB.MN与BC所成的角为45C.OC平面VACD.平面VAC平面VBC解析:因为M,N分别为VA,VC的中点,所以MNAC.因为ABAC=A,所以A选项不正确.因为ACBC,所以MN与BC所成的角为90,B选项不正确.又因为OC不垂直于AC,所以选项C不正确.因为VA垂直O所在的平面,依题意可得平面VAC
10、平面VBC.答案:D3.如图,定点A和B都在平面内,定点P,PB,C是内异于A和B的动点,且PCAC,那么C在平面内的轨迹是()A.一条线段,但要去掉两个点B.一个圆,但要去掉两个点C.一个椭圆,但要去掉两个点D.半圆,但要去掉两个点解析:连接BC(图略),根据题意BC为PC在平面内的射影.PCAC,根据三垂线定理的逆定理知ACBC,点C在以AB为直径的圆上.又C是不同于点A和B的动点,因此应去掉端点A和B.答案:B4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.若在棱AA1上取一点P,使得DP平面B1AE,此时AP的长为.解析:以A为原点,AB,AD,AA1
11、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示).设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),Ea2,1,0,B1(a,0,1),故AD1=(0,1,1),B1E=-a2,1,-1,AB1=(a,0,1),AE=a2,1,0.再设P(0,0,z0),使得DP平面B1AE.此时DP=(0,-1,z0).又设平面B1AE的法向量为n=(x,y,z),则nAB1=0,nAE=0,ax+z=0,ax2+y=0.取x=1,得n=1,-a2,-a.要使DP平面B1AE,只要nDP,有a2-az0=0,解得z0=12.又DP平面B1AE,存在点P,满足DP平面B1
12、AE,此时AP=12.答案:125.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CEAC,EFAC,AB=2,CE=EF=1.求证:(1)AF平面BDE;(2)CF平面BDE.证明(1)设AC与BD交于点G.因为EFAG,且EF=1,AG=12AC=1,所以四边形AGEF为平行四边形,所以AFEG.因为EG平面BDE,AF平面BDE,所以AF平面BDE.(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,且CEAC,所以CE平面ABCD.如图,以C为原点,建立空间直角坐标系C-xyz,则C(0,0,0),A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,0,1)
13、,F22,22,1.所以CF=22,22,1,BE=(0,-2,1),DE=(-2,0,1).所以CFBE=0-1+1=0,CFDE=-1+0+1=0.所以CFBE,CFDE.又BEDE=E,所以CF平面BDE.6.导学号90074038如图,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,ABAC.(1)求证:ACPB;(2)设O,D分别为AC,AP的中点,点G为OAB内一点,且满足OG=13(OA+OB),求证:DG平面PBC.证明(1)因为PA平面ABC,AC平面ABC,所以PAAC.又因为ABAC,且PAAB=A,所以AC平面PAB.又因为PB平面PAB,所以ACPB.(2)证法一:因为PA平面
14、ABC,所以PAAB,PAAC.又因为ABAC,所以建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.设AC=2a,AB=b,PA=2c,则A(0,0,0),B(0,b,0),C(2a,0,0),P(0,0,2c),D(0,0,c),O(a,0,0),又因为OG=13(OA+OB),所以Ga3,b3,0.于是DG=a3,b3,-c,BC=(2a,-b,0),PB=(0,b,-2c).设平面PBC的一个法向量n=(x0,y0,z0),则有nBC=0,nPB=0,即2ax0-by0=0,by0-2cz0=0.不妨设z0=1,则有y0=2cb,x0=ca,所以n=ca,2cb,1.因为nDG=ca,2cb,1a3,b3,-c=caa3+2cbb3+1(-c)=0,所以nDG.又因为DG平面PBC,所以DG平面PBC.证法二:取AB中点E,连接OE,则OE=12(OA+OB).由已知OG=13(OA+OB)可得OG=23OE,则点G在OE上.连接AG并延长交CB于点F,连接PF.因为O,E分别为AC,AB的中点,所以OEBC,即G为AF的中点.又因为D为线段PA的中点,所以DGPF.又DG平面PBC,PF平面PBC,所以DG平面PBC.
