1、第三章测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.方程 x2+(x2+y2-1)2=0 所确定的曲线是()A.y 轴或圆B.两点(0,1)与(0,-1)C.y 轴或直线 y=1D.以上都不正确答案:B2.如图,已知圆 O 的方程为 x2+y2=100,点 A(-6,0),M 为圆 O 上任一点,AM 的垂直平分线交 OM 于点 P,则点 P 的轨迹是()A.圆B.抛物线C.椭圆D.两条直线解析:P 为 AM 垂直平分线上的点,|PM|=|PA|.又|OP|+|PM|=10,
2、|PA|+|PO|=106=|AO|.故 P 点的轨迹是以 A,O 为焦点,长轴长为 10 的椭圆.答案:C3.双曲线 =1(mn0)的离心率为 2,有一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合,则 mn 的值为()A.B.C.D.解析:抛物线 y2=4x 的焦点为(1,0),双曲线 =1 的焦点在 x 轴上.m0,n0,a=,b=,c=1,e=2,mn=.答案:A4.若抛物线 y2=4x 上一点 P 到焦点 F 的距离为 10,则 P 点坐标为()A.(9,6)B.(9,6)C.(6,9)D.(6,9)解析:抛物线的焦点坐标为(1,0),准线为 x=-1.P 到 F 的距离为 10,设 P 为
3、(x,y),x+1=10,x=9.又 P 在抛物线上,y2=36,y=6,P 点坐标为(9,6).答案:B5.以双曲线 =-1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:椭圆的顶点和焦点分别是 =-1 的焦点和顶点,椭圆的长半轴长为 4,半焦距为 2,且焦点在 y 轴上,故所求方程为 =1.答案:D6.若点 P 是以 F1,F2为焦点的椭圆 =1(ab0)上一点,且 =0,tanPF1F2=,则此椭圆的离心率 e=()A.B.C.D.解析:由 =0 得 .则 tanPF1F2=.设|PF2|=m,则|PF1|=2m,|F1F2|=m.所以 e=.答案:A7.
4、已知双曲线 =1(a0,b0)的一条渐近线为 y=kx(k0),离心率 e=k,则双曲线方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:由题意,知 k=.又 e=k=,所以 ,即 c=b.易知 a2=5b2-b2=4b2.答案:C8.抛物线 y=x2上到直线 2x-y-4=0 的距离最近的点的坐标是()A.()B.(1,1)C.()D.(2,4)解析:设 P(x,y)为抛物线 y=x2上任意一点,则 P 到直线 2x-y-4=0 的距离 d=-,当 x=1 时 d 最小,此时 y=1,故选 B.答案:B9.已知点 M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆 C 与直线 MN 相切于点 B
5、,过 M,N 与圆 C 相切的两直线相交于点P,则点 P 的轨迹方程为()A.x2-=1(x1)B.x2-=1(x0)D.x2-=1(x1)解析:设圆与直线 PM,PN 分别相切于 E,F,则|PE|=|PF|,|ME|=|MB|,|NB|=|NF|.|PM|-|PN|=|PE|+|ME|-(|PF|+|NF|)=|MB|-|NB|=4-2=2,点 P 的轨迹是以 M(-3,0),N(3,0)为焦点的双曲线的右支,且 a=1,c=3,b2=8.故双曲线的方程是 x2-=1(x1).答案:A10.若点 P 为共焦点的椭圆 C1和双曲线 C2的一个交点,F1,F2分别是它们的左、右焦点,设椭圆的离
6、心率为 e1,双曲线的离心率为 e2,若 =0,则 =()A.1B.2C.3D.4解析:设椭圆的方程为 =1(a1b10),双曲线的方程为 =1(a20,b20),它们的半焦距为 c,不妨设 P 为它们在第一象限的交点,因为 =0,故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2.由椭圆和双曲线的定义知,-解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2,代入式,得(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c2,即 =2c2,所以 =2.答案:B11.设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则OAB 的面积为()A.B
7、.C.D.解析:由已知得 F(),故直线 AB 的方程为 y=tan 30(-),即 y=x-.设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立 -将代入并整理得 x2-x+=0,x1+x2=,线段|AB|=x1+x2+p=12.又原点(0,0)到直线 AB 的距离为 d=,SOAB=|AB|d=12 .答案:D12.导学号 90074088 在平面直角坐标系中,两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L-距离”定义为|P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|,则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1,F2的“L-距离”之和等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可以是()解析:不妨设
8、F1(-a,0),F2(a,0),其中 a0,点 P(x,y)是其轨迹上的点,P 到 F1,F2的“L-距离”之和等于定值b(大于|F1F2|),所以|x+a|+|y|+|x-a|+|y|=b,即|x-a|+|x+a|+2|y|=b.当 xa,y0 时,上式可化为 x+y=;当 x-a,y0 时,上式可化为 x+y=-;当-axa,ya,y0 时,上式可化为 x-y=;可画出其图像.(也可利用前三种情况,再关于 x 轴对称)故选 A.答案:A二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案:填在题中的横线上)13.平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0)的距离和到
9、直线 x=-1 的距离相等.若机器人接触不到过点 P(-1,0)且斜率为 k 的直线,则 k 的取值范围是 .解析:由题意知,机器人行进的路线为抛物线 y2=4x.由题意知过点 P 的直线为 y=kx+k(k0),要使机器人接触不到过点 P 的直线,则直线与抛物线无公共点,联立方程得 y2-y+k=0,即=1-k21 或kb0),则 e=.因为c=1,所以 a=.所以 b=-=1.故所求椭圆的方程为 +y2=1.答案:+y2=115.在抛物线 y2=16x 内,通过点 M(2,4)且在此点被平分的弦所在直线方程是 .解析:设所求直线与 y2=16x 相交于点 A,B,且 A(x1,y1),B(
10、x2,y2),代入抛物线方程得 =16x1,=16x2,两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=16(x1-x2),即 -,又M(2,4)是 A,B 的中点,y1+y2=24=8,kAB=-=2.所求直线方程为 y=2x.答案:y=2x16.导学号 90074089 已知双曲线 C1:=1(a0,b0)与双曲线 C2:=1 有相同的渐近线,且 C1的右焦点为 F(,0),则 a=,b=.解析:与双曲线 =1 有相同的渐近线的双曲线方程可设为 =(0).C1的右焦点为(,0),0.a2=4,b2=16,c2=20=5.=,即 a2=1,b2=4,a=1,b=2.答案:1 2三、解答题(本大题共
11、6 个小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(满分 10 分)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2在坐标轴上,一条渐近线方程为 y=x,且过点(4,-).(1)求双曲线方程;(2)若点 M(3,m)在此双曲线上,求 .解(1)双曲线的一条渐近线方程为 y=x,a=b,设双曲线方程为 x2-y2=(0).把(4,-)代入双曲线方程得 42-(-)2=,=6,所求双曲线方程为 x2-y2=6,即 =1.(2)由(1)知双曲线方程为 x2-y2=6,双曲线的焦点为 F1(-2,0),F2(2,0).点 M 在双曲线上,32-m2=6,m2=3,=(-2-3,-m)(
12、2-3,-m)=(-3)2-(2)2+m2=-3+3=0.18.(满分 12 分)如图,已知抛物线 C1:x2+by=b2经过椭圆 C2:=1(ab0)的两个焦点.(1)求椭圆 C2的离心率;(2)设点 Q(3,b),又 M,N 为 C1与 C2不在 y 轴上的两个交点,若QMN 的重心在抛物线 C1上,求 C1和 C2的方程.解(1)因为抛物线 C1经过椭圆 C2的两个焦点 F1(-c,0),F2(c,0),所以 c2+b0=b2,即 c2=b2.由 a2=b2+c2=2c2,得椭圆 C2的离心率 e=.(2)由(1)可知 a2=2b2,则椭圆 C2的方程为 =1.联立抛物线 C1的方程 x
13、2+by=b2得 2y2-by-b2=0,解得 y=-或 y=b(舍去),所以 x=b,即 M(-),N(-).所以QMN 的重心坐标为(1,0).因为重心在抛物线 C1上,所以 12+b0=b2,得 b=1.所以 a2=2.所以抛物线 C1的方程为 x2+y=1,椭圆 C2的方程为 +y2=1.19.(满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C:2x2-y2=1.(1)设 F 是 C 的左焦点,M 是 C 右支上一点,若|MF|=2,求点 M 的坐标;(2)设斜率为 k(|k|)的直线 l 交 C 于 P,Q 两点,若 l 与圆 x2+y2=1 相切,求证:OPOQ.(1)
14、解双曲线 C:-y2=1,左焦点 F(-),设 M(x,y),则|MF|2=()+y2=(),由点 M 是双曲线右支上一点,知 x ,所以|MF|=x+=2,得 x=,则 y=-=.所以 M().(2)证明设直线 PQ 的方程是 y=kx+b.因为直线 PQ 与已知圆相切,故 =1,即 b2=k2+1.(*)由 -得(2-k2)x2-2kbx-b2-1=0.设 P(x1,y1),Q(x2,y2),又|k|0)交于 A,B 两点,O 为坐标原点,=(-4,-12).(1)求直线 l 和抛物线 C 的方程;(2)抛物线上一动点 P 从点 A 到点 B 运动时,求ABP 面积的最大值.解(1)由 -
15、得 x2+2pkx-4p=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-2pk,y1+y2=k(x1+x2)-4=-2pk2-4.因为 =(x1+x2,y1+y2)=(-2pk,-2pk2-4)=(-4,-12),所以-解得 所以直线 l 的方程为 y=2x-2,抛物线 C 的方程为 x2=-2y.(2)设点 P(x0,y0),依题意,抛物线过点 P 的切线与直线 l 平行时,ABP 的面积最大.设切线方程是 y=2x+t,由 -得 x2+4x+2t=0,=42-42t=0,t=2.此时,点 P 到直线 l 的距离为两平行线间的距离,d=.由 -得 x2+4x-4=0,|AB|
16、=|x1-x2|=-=-=4 ,ABP 面积的最大值为 4 =8.22.导学号 90074090(满分 12 分)如图,O 为坐标原点,双曲线 C1:=1(a10,b10)和椭圆 C2:=1(a2b20)均过点 P(),且以 C1的两个顶点和 C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形.(1)求 C1,C2的方程;(2)是否存在直线 l,使得 l 与 C1交于 A,B 两点,与 C2只有一个公共点,且|=|?证明你的结论.解(1)设 C2的焦距为 2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而 a1=1,c2=1.因为点 P()在双曲线 x2-=1 上,所以()=1.故 =3.由椭圆的
17、定义知 2a2=()-()=2.于是 a2=2.故 C1,C2的方程分别为 x2-=1,=1.(2)不存在符合题设条件的直线.若直线 l 垂直于 x 轴,因为 l 与 C2只有一个公共点,所以直线 l 的方程为 x=或 x=-.当 x=时,易知 A(),B(,-),所以|=2,|=2.此时,|.当 x=-时,同理可知,|.若直线 l 不垂直于 x 轴,设 l 的方程为 y=kx+m.由 -得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.当 l 与 C1相交于 A,B 两点时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2是上述方程的两个实根,从而x1+x2=-,x1x2=-.于是 y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=-.由 得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.因为直线 l 与 C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.化简,得 2k2=m2-3,因此 =x1x2+y1y2=-0,于是 +2 -2 ,即|,故|.综合可知,不存在符合题设条件的直线.
